1、.,運 籌 學 ( Operations Research ),經(jīng)濟學核心課程,.,緒 論,（1）運籌學簡述 （2）運籌學的主要內(nèi)容 （3）本課程的教材及參考書 （4）本課程的特點和要求 （5）本課程授課方式與考核 （6）運籌學在工商管理中的應用,本章主要內(nèi)容：,.,運籌學簡述,運籌學（Operations Research） 系統(tǒng)工程的最重要的理論基礎之一，在美國有人把運籌學稱之為管理科學(Management Science)。運籌學所研究的問題，可簡單地歸結為一句話： “依照給定條件和目標，從眾多方案中選擇最佳方案” 故有人稱之為最優(yōu)化技術。,.,運籌學簡述,運籌學的歷史,“運作研究(O

2、perational Research)小組”:解決復雜的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術問題。例如： 如何合理運用雷達有效地對付德軍德空襲 對商船如何進行編隊護航，使船隊遭受德國潛艇攻擊時損失最少； 在各種情況下如何調(diào)整反潛深水炸彈的爆炸深度，才能增加對德國潛艇的殺傷力等。,.,運籌學的主要內(nèi)容,數(shù)學規(guī)劃（線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等） 圖論 存儲論 排隊論 對策論 排序與統(tǒng)籌方法 決策分析,.,本課程的教材及參考書,選用教材 運籌學基礎及應用胡運權主編 哈工大出版社 參考教材 運籌學教程胡運權主編 （第2版）清華出版社 管理運籌學韓伯棠主編 （第2版）高等教育出版社 運籌學(修訂版) 錢頌迪主編 清

3、華出版社,.,本課程的特點和要求,先修課：高等數(shù)學，基礎概率、線性代數(shù) 特點：系統(tǒng)整體優(yōu)化；多學科的配合；模型方法的應用 運籌學的研究的主要步驟：,.,本課程授課方式與考核,講授為主，結合習題作業(yè),.,運籌學在工商管理中的應用,運籌學在工商管理中的應用涉及幾個方面： 生產(chǎn)計劃 運輸問題 人事管理 庫存管理 市場營銷 財務和會計 另外，還應用于設備維修、更新和可靠性分析，項目的選擇與評價，工程優(yōu)化設計等。,.,運籌學在工商管理中的應用,Interface上發(fā)表的部分獲獎項目,.,“管理運籌學”軟件介紹,“管理運籌學”2.0版包括：線性規(guī)劃、運輸問題、整數(shù)規(guī)劃（0-1整數(shù)規(guī)劃、純整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)

4、規(guī)劃）、目標規(guī)劃、對策論、最短路徑、最小生成樹、最大流量、最小費用最大流、關鍵路徑、存儲論、排隊論、決策分析、預測問題和層次分析法，共15個子模塊。,.,Chapter1 線性規(guī)劃 (Linear Programming),LP的數(shù)學模型 圖解法 單純形法 單純形法的進一步討論人工變量法 LP模型的應用,本章主要內(nèi)容：,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,1. 規(guī)劃問題,生產(chǎn)和經(jīng)營管理中經(jīng)常提出如何合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，獲得最大的效益，這就是規(guī)劃問題。,線性規(guī)劃通常解決下列兩類問題：,（1）當任務或目標確定后，如何統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源 （如資金、設備、原標材料、人工

5、、時間等）去完成確定的任務或目標,（2）在一定的資源條件限制下，如何組織安排生產(chǎn)獲得最好的經(jīng)濟效益（如產(chǎn)品量最多 、利潤最大.）,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,例1.1 如圖所示，如何截取x使鐵皮所圍成的容積最大？,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,例1.2 某企業(yè)計劃生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品分別要在A、B、C、D、四種不同的設備上加工。按工藝資料規(guī)定，單件產(chǎn)品在不同設備上加工所需要的臺時如下表所示，企業(yè)決策者應如何安排生產(chǎn)計劃，使企業(yè)總的利潤最大？,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,解：設x1、x2分別為甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量，則數(shù)學模型為：,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,2. 線性規(guī)劃的數(shù)學模型由三個要

6、素構成,決策變量 Decision variables 目標函數(shù) Objective function 約束條件 Constraints,其特征是： （1）問題的目標函數(shù)是多個決策變量的線性函數(shù)，通常是求最大值或最小值； （2）問題的約束條件是一組多個決策變量的線性不等式或等式。,怎樣辨別一個模型是線性規(guī)劃模型？,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,目標函數(shù)：,約束條件：,3. 線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式,簡寫為：,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,向量形式：,其中：,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,矩陣形式：,其中：,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,3. 線性規(guī)劃問題的標準形式,特點： (1) 目標函數(shù)求最大值（

7、有時求最小值） (2) 約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項bi都大于或等于零 (3) 決策變量xj為非負。,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,（2）如何化標準形式,目標函數(shù)的轉換,如果是求極小值即 ，則可將目標函數(shù)乘以(-1)，可化為求極大值問題。,也就是：令 ，可得到上式。,即,若存在取值無約束的變量 ，可令 其中：,變量的變換,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,約束方程的轉換：由不等式轉換為等式。,稱為松弛變量,稱為剩余變量,變量 的變換,可令 ，顯然,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,例1.3 將下列線性規(guī)劃問題化為標準形式,用 替換 ，且,解:（）因為x3無符號要求 ，即x3取正值也可取負值，標準型中要

8、求變量非負，所以,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,(2) 第一個約束條件是“”號，在“”左端加入松馳變量x4，x40,化為等式； (3) 第二個約束條件是“”號，在“”左端減去剩余變量x5，x50； (4) 第3個約束方程右端常數(shù)項為-5，方程兩邊同乘以(-1),將右端常數(shù)項化為正數(shù)； (5) 目標函數(shù)是最小值，為了化為求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即當z達到最小值時z達到最大值，反之亦然;,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,標準形式如下：,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,4. 線性規(guī)劃問題的解,線性規(guī)劃問題,求解線性規(guī)劃問題，就是從滿足約束條件(2)、(3)的方程組中找出一個解，使目標函數(shù)(

9、1)達到最大值。,.,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,可行解：滿足約束條件、的解為可行解。所有可行解的集合為可行域。 最優(yōu)解：使目標函數(shù)達到最大值的可行解。 基：設A為約束條件的mn階系數(shù)矩陣(m0,40,10,換出行,將3化為1,5/3,1,18,0,1/3,0,1/3,10,1,1/3,30,30,0,5/3,0,4/3,乘以1/3后得到,1,0,3/5,1/5,18,0,1,1/5,2/5,4,0,0,1,1,.,單純形法的計算步驟,例1.9 用單純形法求解,解：將數(shù)學模型化為標準形式：,不難看出x4、x5可作為初始基變量，列單純形表計算。,.,單純形法的計算步驟,20,x2,2,1/3,1,5

10、,0,1,20,75,3,0,17,1,3,1/3,0,9,0,2,25,60,x1,1,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,-1/9,2/3,35/3,0,0,-98/9,-1/9,-7/3,.,單純形法的計算步驟,學習要點： 1. 線性規(guī)劃解的概念以及3個基本定理 2. 熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟,.,單純形法的進一步討論人工變量法,人工變量法： 前面討論了在標準型中系數(shù)矩陣有單位矩陣，很容易確定一組基可行解。在實際問題中有些模型并不含有單位矩陣，為了得到一組基向量和初基可行解，在約束條件的等式左端加一組虛擬變量，得到一組基變量。這種人為加的變量稱為人工變量，構

11、成的可行基稱為人工基，用大M法或兩階段法求解，這種用人工變量作橋梁的求解方法稱為人工變量法。,.,單純形法的進一步討論人工變量法,例1.10 用大M法解下列線性規(guī)劃,解：首先將數(shù)學模型化為標準形式,系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣，無法建立初始單純形表。,.,單純形法的進一步討論人工變量法,故人為添加兩個單位向量，得到人工變量單純形法數(shù)學模型：,其中：M是一個很大的抽象的數(shù)，不需要給出具體的數(shù)值，可以理解為它能大于給定的任何一個確定數(shù)值；再用前面介紹的單純形法求解該模型，計算結果見下表。,.,單純形法的進一步討論人工變量法,.,單純形法的進一步討論人工變量法,解的判別： 1）唯一最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中所

12、有非基變量的檢驗數(shù)非零,則線 規(guī)劃具有唯一最優(yōu)解。 2）多重最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中存在非基變量的檢驗數(shù)為零,則線則性規(guī)劃具有多重最優(yōu)解（或無窮多最優(yōu)解）。 3）無界解判別：某個k0且aik（i=1，2,m）則線性規(guī)劃具有無界解。 4）無可行解的判斷：當用大M單純形法計算得到最優(yōu)解并且存在Ri0時，則表明原線性規(guī)劃無可行解。 5）退化解的判別：存在某個基變量為零的基本可行解。,.,單純形法的進一步討論人工變量法,單純性法小結:,A,.,線性規(guī)劃模型的應用,一般而言，一個經(jīng)濟、管理問題凡是滿足以下條件時，才能建立線性規(guī)劃模型。,要求解問題的目標函數(shù)能用數(shù)值指標來反映，且為線性函數(shù) 存在著多種方案 要

13、求達到的目標是在一定條件下實現(xiàn)的，這些約束可用線性等式或不等式描述,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,人力資源分配問題,例1.11 某晝夜服務的公交線路每天各時間段內(nèi)所需司機和乘務人員人數(shù)如下表所示：,設司機和乘務人員分別在各時間段開始時上班，并連續(xù)工作8小時，問該公交線路應怎樣安排司機和乘務人員，即能滿足工作需要，又使配備司機和乘務人員的人數(shù)減少?,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,解：設xi表示第i班次時開始上班的司機和乘務人員人數(shù)。,此問題最優(yōu)解：x150， x220， x350， x40， x520， x610，一共需要司機和乘務員150人。,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,2. 生產(chǎn)計劃問題,某廠生

14、產(chǎn)、三種產(chǎn)品，都分別經(jīng)A、B兩道工序加工。設A工序可分別在設備A1和A2上完成，有B1、B2、B3三種設備可用于完成B工序。已知產(chǎn)品可在A、B任何一種設備上加工；產(chǎn)品可在任何規(guī)格的A設備上加工，但完成B工序時，只能在B1設備上加工；產(chǎn)品只能在A2與B2設備上加工。加工單位產(chǎn)品所需工序時間及其他各項數(shù)據(jù)如下表，試安排最優(yōu)生產(chǎn)計劃，使該廠獲利最大。,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,解：設xijk表示產(chǎn)品i在工序j的設備k上加工的數(shù)量。約束條件有：,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,目標是利潤最大化，即利潤的計算公式如下：,帶入數(shù)據(jù)整理得到：,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,因此該規(guī)劃

15、問題的模型為：,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,3. 套裁下料問題,例：現(xiàn)有一批某種型號的圓鋼長8米，需要截取2.5米長的毛坯100根，長1.3米的毛坯200根。問如何才能既滿足需要，又能使總的用料最少？,解：為了找到一個省料的套裁方案，必須先設計出較好的幾個下料方案。其次要求這些方案的總體能裁下所有各種規(guī)格的圓鋼，以滿足對各種不同規(guī)格圓鋼的需要并達到省料的目的，為此可以設計出4種下料方案以供套裁用。,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,設按方案、下料的原材料根數(shù)分別為xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的數(shù)學模型：,.,線性規(guī)劃在管理中的應用,4. 配料問題,例：某人每天食用甲、乙兩種食物（如豬肉、

16、雞蛋），其資料如下：問兩種食物各食用多少，才能既滿足需要、又使總費用最?。?.,線性規(guī)劃在管理中的應用,解：設Xj 表示Bj 種食物用量,.,Chapter2 對偶理論 ( Duality Theory ),線性規(guī)劃的對偶模型 對偶性質 對偶問題的經(jīng)濟解釋影子價格 對偶單純形法,本章主要內(nèi)容：,.,線性規(guī)劃的對偶模型,設某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品甲和乙，生產(chǎn)中需4種設備按A，B，C，D順序加工，每件產(chǎn)品加工所需的機時數(shù)、每件產(chǎn)品的利潤值及每種設備的可利用機時數(shù)列于下表 ：,產(chǎn)品數(shù)據(jù)表,問：充分利用設備機時，工廠應生產(chǎn)甲和乙型產(chǎn)品各多少件才能獲得最大利潤？,1. 對偶問題的現(xiàn)實來源,.,線性規(guī)劃的對偶模

17、型,解：設甲、乙型產(chǎn)品各生產(chǎn)x1及x2件，則數(shù)學模型為：,反過來問：若廠長決定不生產(chǎn)甲和乙型產(chǎn)品，決定出租機器用于接受外加工，只收加工費，那么種機器的機時如何定價才是最佳決策？,.,線性規(guī)劃的對偶模型,在市場競爭的時代，廠長的最佳決策顯然應符合兩條： （1）不吃虧原則。即機時定價所賺利潤不能低于加工甲、乙型產(chǎn)品所獲利潤。由此原則，便構成了新規(guī)劃的不等式約束條件。 （2）競爭性原則。即在上述不吃虧原則下，盡量降低機時總收費，以便爭取更多用戶。,設A、B、C、D設備的機時價分別為y1、y2、y3、y4，則新的線性規(guī)劃數(shù)學模型為：,.,線性規(guī)劃的對偶模型,把同種問題的兩種提法所獲得的數(shù)學模型用表2表

18、示，將會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象。,原問題與對偶問題對比表,.,線性規(guī)劃的對偶模型,2. 原問題與對偶問題的對應關系,原問題 （對偶問題）,對偶問題 （原問題）,.,線性規(guī)劃的對偶模型,（1）對稱形式,特點：目標函數(shù)求極大值時，所有約束條件為號，變量非負;目標函數(shù)求極小值時，所有約束條件為號，變量非負.,已知P，寫出D,.,線性規(guī)劃的對偶模型,例2.1 寫出線性規(guī)劃問題的對偶問題,解：首先將原問題變形為對稱形式,.,線性規(guī)劃的對偶模型,.,線性規(guī)劃的對偶模型,(2) 非對稱型對偶問題,若給出的線性規(guī)劃不是對稱形式，可以先化成對稱形式再寫對偶問題。也可直接按教材表2-2中的對應關系寫出非對稱形式的對偶

19、問題。,.,線性規(guī)劃的對偶模型,.,線性規(guī)劃的對偶模型,例2.2 寫出下列線性規(guī)劃問題的對偶問題.,解：原問題的對偶問題為,.,對偶性質,例2.3 分別求解下列2個互為對偶關系的線性規(guī)劃問題,分別用單純形法求解上述2個規(guī)劃問題，得到最終單純形表如下表：,.,對偶性質,原問題最優(yōu)表,對偶問題最優(yōu)表,.,對偶性質,原問題與其對偶問題的變量與解的對應關系： 在單純形表中，原問題的松弛變量對應對偶問題的變量，對偶問題的剩余變量對應原問題的變量。,.,對偶性質,性質1 對稱性定理：對偶問題的對偶是原問題,.,對偶性質,性質2 弱對偶原理(弱對偶性)：設 和 分別是問題(P)和(D)的可行解，則必有,推論

20、1: 原問題任一可行解的目標函數(shù)值是其對偶問題目標函數(shù)值的下屆；反之，對偶問題任意可行解的目標函數(shù)值是其原問題目標函數(shù)值的上界。,推論2: 在一對對偶問題（P）和（D）中，若其中一個問題可行但目標函數(shù)無界，則另一個問題無可行解；反之不成立。這也是對偶問題的無界性。,.,對偶性質,推論3：在一對對偶問題（P）和（D）中，若一個可行（如P），而另一個不可行（如D），則該可行的問題目標函數(shù)值無界。,性質3 最優(yōu)性定理：如果 是原問題的可行解， 是其對偶問題的可行解，并且:,則 是原問題的最優(yōu)解， 是其對偶問題的最優(yōu)解。,.,對偶性質,性質4 強對偶性：若原問題及其對偶問題均具有可行解，則兩者均具有最

21、優(yōu)解，且它們最優(yōu)解的目標函數(shù)值相等。,還可推出另一結論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解。,性質5 互補松弛性：設X0和Y0分別是P問題 和 D問題 的可行解，則它們分別是最優(yōu)解的充要條件是：,其中：Xs、Ys為松弛變量,.,對偶性質,性質5的應用： 該性質給出了已知一個問題最優(yōu)解求另一個問題最優(yōu)解的方法，即已知Y求X或已知X求Y,互補松弛條件,由于變量都非負，要使求和式等于零，則必定每一分量為零，因而有下列關系： 若Y0，則Xs必為0；若X0，則Ys必為0 利用上述關系，建立對偶問題（或原問題）的約束線性方程組，方程組的解即為最優(yōu)解。

22、,.,對偶性質,例2.4 已知線性規(guī)劃,的最優(yōu)解是X=(6,2,0)T,求其對偶問題的最優(yōu)解Y。,解：寫出原問題的對偶問題，即,標準化,.,對偶性質,設對偶問題最優(yōu)解為Y(y1，y2),由互補松弛性定理可知，X和 Y滿足：,即：,因為X10，X20，所以對偶問題的第一、二個約束的松弛變量等于零，即y30，y40，帶入方程中：,解此線性方程組得y1=1,y2=1,從而對偶問題的最優(yōu)解為： Y=(1,1)，最優(yōu)值w=26。,.,對偶性質,例2.5 已知線性規(guī)劃,的對偶問題的最優(yōu)解為Y=(0,-2)，求原問題的最優(yōu)解。,解: 對偶問題是,標準化,.,對偶性質,設對偶問題最優(yōu)解為X(x1，x2 ，x3

23、)T ,由互補松弛性定理可知，X和 Y滿足：,將Y帶入由方程可知，y3y50，y41。,y2=-20 x50 又y4=10 x20,將x2，x5分別帶入原問題約束方程中，得：,解方程組得：x1=-5,x3=-1, 所以原問題的最優(yōu)解為,X=(-5,0,-1)，最優(yōu)值z=-12,.,對偶性質,原問題與對偶問題解的對應關系小結,.,思考題,判斷下列結論是否正確，如果不正確，應該怎樣改正？,1）任何線性規(guī)劃都存在一個對應的對偶線性規(guī)劃. 2）原問題第i個約束是“”約束，則對偶變量yi0. 3）互為對偶問題，或者同時都有最優(yōu)解，或者同時都無最優(yōu)解. 4）對偶問題有可行解，則原問題也有可行解. 5）原問

24、題有多重解，對偶問題也有多重解. 6）對偶問題有可行解，原問題無可行解，則對偶問題具有無界解. 7）原問題無最優(yōu)解，則對偶問題無可行解. 8）對偶問題不可行，原問題可能無界解. 9）原問題與對偶問題都可行，則都有最優(yōu)解. 10）原問題具有無界解，則對偶問題不可行. 11）對偶問題具有無界解，則原問題無最優(yōu)解. 12）若X*、Y*是原問題與對偶問題的最優(yōu)解，則X*=Y*.,.,對偶問題的經(jīng)濟解釋影子價格,1. 影子價格的數(shù)學分析：,定義：在一對 P 和 D 中，若 P 的某個約束條件的右端項常數(shù)bi （第i種資源的擁有量）增加一個單位時，所引起目標函數(shù)最優(yōu)值z* 的改變量稱為第 i 種資源的影子

25、價格，其值等于D問題中對偶變量yi*。,由對偶問題得基本性質可得：,.,對偶問題的經(jīng)濟解釋影子價格,2. 影子價格的經(jīng)濟意義 1）影子價格是一種邊際價格 在其它條件不變的情況下，單位資源數(shù)量的變化所引起的目標函數(shù)最優(yōu)值的變化。即對偶變量yi 就是第 i 種資源的影子價格。即：,.,對偶問題的經(jīng)濟解釋影子價格,2）影子價格是一種機會成本 影子價格是在資源最優(yōu)利用條件下對單位資源的估價，這種估價不是資源實際的市場價格。因此，從另一個角度說，它是一種機會成本。,若第i 種資源的單位市場價格為mi ，則有當yi* mi 時，企業(yè)愿意購進這種資源，單位純利為yi*mi ，則有利可圖；如果yi* mi 則

26、購進資源i，可獲單位純利yi*mi 若yi* mi則轉讓資源i ，可獲單位純利miyi,.,對偶問題的經(jīng)濟解釋影子價格,3）影子價格在資源利用中的應用 根據(jù)對偶理論的互補松弛性定理: Y*Xs=0 , YsX*=0 表明生產(chǎn)過程中如果某種資源bi未得到充分利用時，該種資源的影子價格為0；若當資源資源的影子價格不為0時，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費完。,.,對偶問題的經(jīng)濟解釋影子價格,4）影子價格對單純形表計算的解釋,單純形表中的檢驗數(shù),其中cj表示第j種產(chǎn)品的價格; 表示生產(chǎn)該種產(chǎn)品所消耗的各項資源的影子價格的總和,即產(chǎn)品的隱含成本。,當產(chǎn)值大于隱含成本時，即 ，表明生產(chǎn)該項產(chǎn)品有利，可在計劃中

27、安排；否則 ，用這些資源生產(chǎn)別的產(chǎn)品更有利，不在生產(chǎn)中安排該產(chǎn)品。,.,對偶單純形法,對偶單純形法是求解線性規(guī)劃的另一個基本方法。它是根據(jù)對偶原理和單純形法原理而設計出來的，因此稱為對偶單純形法。不要簡單理解為是求解對偶問題的單純形法。,對偶單純形法原理,對偶單純形法基本思路：,找出一個對偶問題的可行基，保持對偶問題為可行解的條件下，判斷XB是否可行（XB為非負），若否，通過變換基解，直到找到原問題基可行解（即XB為非負），這時原問題與對偶問題同時達到可行解，由定理4可得最優(yōu)解。,.,對偶單純形法,找出一個DP的可行基,LP是否可行 （XB 0）,保持DP為可行解情況下轉移到LP的另一個基本解

28、,最優(yōu)解,是,否,循 環(huán),結束,.,對偶單純形法,例2.9 用對偶單純形法求解：,解:（1）將模型轉化為求最大化問題，約束方程化為等式求出一組基本解，因為對偶問題可行，即全部檢驗數(shù)0（求max問題）。,.,對偶單純形法,.,對偶單純形法,.,對偶單純形法,原問題的最優(yōu)解為：X*=（2 , 2 , 2 , 0 , 0 , 0），Z* =72 其對偶問題的最優(yōu)解為：Y*= （1/3 , 3 , 7/3），W*= 72,.,對偶單純形法,對偶單純形法應注意的問題：,用對偶單純形法求解線性規(guī)劃是一種求解方法，而不是去求對偶問題的最優(yōu)解,初始表中一定要滿足對偶問題可行，也就是說檢驗數(shù)滿足最優(yōu)判別準則,最

29、小比值中 的絕對值是使得比值非負，在極小化問題j0，分母aij0 這時必須取絕對值。在極大化問題中， j0，分母aij0， 總滿足非負，這時絕對值符號不起作用，可以去掉。如在本例中將目標函數(shù)寫成,這里j 0在求k時就可以不帶絕對值符號。,.,對偶單純形法,對偶單純形法與普通單純形法的換基順序不一樣，普通單純形法是先確定進基變量后確定出基變量，對偶單純形法是先確定出基變量后確定進基變量；,普通單純形法的最小比值是 其目的是保證下一個原問題的基本解可行，對偶單純形法的最小比值是,其目的是保證下一個對偶問題的基本解可行,對偶單純形法在確定出基變量時，若不遵循 規(guī)則，任選一個小于零的bi對應的基變量出

30、基，不影響計算結果，只是迭代次數(shù)可能不一樣。,.,本章小結,學習要點： 1. 線性規(guī)劃解的概念以及3個基本定理 2. 熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟,.,Chapter3 運輸規(guī)劃 ( Transportation Problem ),運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型 表上作業(yè)法 運輸問題的應用,本章主要內(nèi)容：,.,運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型,例3.1 某公司從兩個產(chǎn)地A1、A2將物品運往三個銷地B1, B2, B3，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最??？,.,運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型,解：產(chǎn)銷平衡問題：總產(chǎn)量 = 總銷量500 設 xi

31、j 為從產(chǎn)地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列運輸量表：,Min C = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）,.,運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型,運輸問題的一般形式：產(chǎn)銷平衡,A1、 A2、 Am 表示某物資的m個產(chǎn)地； B1、B2、Bn 表示某物質的n個銷地；ai 表示產(chǎn)地Ai的產(chǎn)量； bj 表示銷地Bj 的銷量； cij 表

32、示把物資從產(chǎn)地Ai運往銷地Bj的單位運價。設 xij 為從產(chǎn)地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列一般運輸量問題的模型：,.,運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型,變化： 1）有時目標函數(shù)求最大。如求利潤最大或營業(yè)額最大等； 2）當某些運輸線路上的能力有限制時，在模型中直接加入約束條件（等式或不等式約束)； 3）產(chǎn)銷不平衡時，可加入假想的產(chǎn)地（銷大于產(chǎn)時）或銷地（產(chǎn)大于銷時）。,定理: 設有m個產(chǎn)地n個銷地且產(chǎn)銷平衡的運輸問題，則基變量數(shù)為m+n-1。,.,表上作業(yè)法,表上作業(yè)法是一種求解運輸問題的特殊方法，其實質是單純形法。,.,表上作業(yè)法,例3.2 某運輸資料如下表所示：,問：應如何調(diào)運可使總運輸費用最小

33、？,.,表上作業(yè)法,解：第1步 求初始方案,方法1：最小元素法 基本思想是就近供應，即從運價最小的地方開始供應（調(diào)運），然后次小，直到最后供完為止。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,3,4,1,6,3,3,.,表上作業(yè)法,總的運輸費(31)+(64) +(43) +(12)+(310)+(35)=86元,元素差額法對最小元素法進行了改進，考慮到產(chǎn)地到銷地的最小運價和次小運價之間的差額，如果差額很大，就選最小運價先調(diào)運，否則會增加總運費。例如下面兩種運輸方案。,15,5,10,總運費是z=108+52+151=105,最小元素法：,.,表上作業(yè)法,5,15,10,總運費z=

34、105+152+51=85,后一種方案考慮到C11與C21之間的差額是82=6，如果不先調(diào)運x21，到后來就有可能x110，這樣會使總運費增加較大，從而先調(diào)運x21，再是x22，其次是x12,用元素差額法求得的基本可行解更接近最優(yōu)解，所以也稱為近似方案。,.,表上作業(yè)法,方法2：Vogel法,1）從運價表中分別計算出各行和各列的最小運費和次最小運費的差額，并填入該表的最右列和最下行。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,.,表上作業(yè)法,2）再從差值最大的行或列中找出最小運價確定供需關系和供需數(shù)量。當產(chǎn)地或銷地中有一方數(shù)量供應完畢或得到滿足時，劃去運價表中對應的行或列。 重復1

35、)和2)，直到找出初始解為至。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,5,.,表上作業(yè)法,7,1,1,3,5,2,1,5,.,表上作業(yè)法,7,1,3,5,2,7,5,3,.,表上作業(yè)法,1,1,3,5,1,5,3,6,3,1,2,該方案的總運費: (13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,.,表上作業(yè)法,第2步 最優(yōu)解的判別（檢驗數(shù)的求法）,求出一組基可行解后，判斷是否為最優(yōu)解，仍然是用檢驗數(shù)來判斷，記xij的檢驗數(shù)為ij由第一章知，求最小值的運輸問題的最優(yōu)判別準則是：,所有非基變量的檢驗數(shù)都非負，則運輸方案最優(yōu),求檢驗數(shù)的方法有兩種： 閉回路法 位勢法（）,.

36、,表上作業(yè)法,閉回路的概念,為一個閉回路 ，集合中的變量稱為回路的頂點，相鄰兩個變量的連線為閉回路的邊。如下表,.,表上作業(yè)法,例下表中閉回路的變量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35, x31共有8個頂點，這8個頂點間用水平或垂直線段連接起來，組成一條封閉的回路。,一條回路中的頂點數(shù)一定是偶數(shù)，回路遇到頂點必須轉90度與另一頂點連接，表33中的變量x 32及x33不是閉回路的頂點，只是連線的交點。,.,表上作業(yè)法,閉回路,例如變量組 不能構成一條閉回路，但A中包含有閉回路,變量組 變量數(shù)是奇數(shù)，顯然不是閉回路，也不含有閉回路；,.,表上作業(yè)法,用位勢法對初始方案進行最

37、優(yōu)性檢驗：,1）由ij=Cij-（Ui+Vj）計算位勢Ui ， Vj ，因對基變量而言有ij=0，即Cij-（Ui+Vj） = 0，令U1=0,2）再由ij=Cij-（Ui+Vj）計算非基變量的檢驗數(shù)ij,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,4,3,6,3,1,3,0,-1,-5,3,10,2,9,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,當存在非基變量的檢驗數(shù)kl 0，說明現(xiàn)行方案為最優(yōu)方案，否則目標成本還可以進一步減小。,.,表上作業(yè)法,當存在非基變量的檢驗數(shù)kl 0 且kl =minij時，令Xkl 進基。從表中知可選X24進基。,第3步 確定換入基的變量,

38、第4步 確定換出基的變量,以進基變量xik為起點的閉回路中，標有負號的最小運量作為調(diào)整量，對應的基變量為出基變量，并打上“”以示換出作為非基變量。,.,表上作業(yè)法,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,4,3,6,3,1,3,(),(),(),(),調(diào)整步驟為：在進基變量的閉回路中標有正號的變量加上調(diào)整量，標有負號的變量減去調(diào)整量，其余變量不變，得到一組新的基可行解。然后求所有非基變量的檢驗數(shù)重新檢驗。,1,2,5,.,表上作業(yè)法,當所有非基變量的檢驗數(shù)均非負時，則當前調(diào)運方案即為最優(yōu)方案，如表此時最小總運費： Z =(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,3

39、,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,5,3,6,3,1,2,0,-2,-5,3,10,3,9,（0）,（2）,（2）,（1）,（12）,（9）,.,表上作業(yè)法,表上作業(yè)法的計算步驟：,.,表上作業(yè)法,表上作業(yè)法計算中的問題：,（1）若運輸問題的某一基可行解有多個非基變量的檢驗數(shù)為負，在繼續(xù)迭代時，取它們中任一變量為換入變量均可使目標函數(shù)值得到改善，但通常取ij0中最小者對應的變量為換入變量。 （2）無窮多最優(yōu)解 產(chǎn)銷平衡的運輸問題必定存最優(yōu)解。如果非基變量的ij0，則該問題有無窮多最優(yōu)解。,.,表上作業(yè)法, 退化解： 表格中一般要有(m+n-1)個數(shù)字格。但有時在分配運量時則需

40、要同時劃去一行和一列，這時需要補一個0，以保證有(m+n-1)個數(shù)字格作為基變量。一般可在劃去的行和列的任意空格處加一個0即可。 利用進基變量的閉回路對解進行調(diào)整時，標有負號的最小運量（超過2個最小值）作為調(diào)整量，選擇任意一個最小運量對應的基變量作為出基變量，并打上“”以示作為非基變量。,.,表上作業(yè)法,12,4,11,4,8,3,10,2,9,5,11,6,(0),(2),(9),(2),(1),(12),8,12,4,2,8,14,如下例中11檢驗數(shù)是 0，經(jīng)過調(diào)整，可得到另一個最優(yōu)解。,.,表上作業(yè)法,11,4,4,3,1,3,7,7,8,2,10,6,3,4,1,6,0,6,在x12、

41、x22、x33、x34中任選一個變量作為基變量，例如選x34,例：用最小元素法求初始可行解,.,運輸問題的應用,求極大值問題 目標函數(shù)求利潤最大或營業(yè)額最大等問題。,.,運輸問題的應用,求解方法： 將極大化問題轉化為極小化問題。設極大化問題的運價表為C ，用一個較大的數(shù)M（Mmaxcij）去減每一個cij得到矩陣C，其中C=（Mcij）0,將C作為極小化問題的運價表，用表上用業(yè)法求出最優(yōu)解。,.,運輸問題的應用,例3.3 下列矩陣C是Ai（I=1，2，3）到Bj的噸公里利潤,運輸部門如何安排運輸方案使總利潤最大.,.,運輸問題的應用,得到新的最小化運輸問題，用表上作業(yè)法求解即可。,.,運輸問題

42、的應用,產(chǎn)銷不平衡的運輸問題 當總產(chǎn)量與總銷量不相等時,稱為不平衡運輸問題.這類運輸問題在實際中常常碰到,它的求解方法是將不平衡問題化為平衡問題再按平衡問題求解。,當產(chǎn)大于銷時，即：,數(shù)學模型為：,.,運輸問題的應用,由于總產(chǎn)量大于總銷量，必有部分產(chǎn)地的產(chǎn)量不能全部運送完，必須就地庫存，即每個產(chǎn)地設一個倉庫，假設該倉庫為一個虛擬銷地Bn+1， bn+1作為一個虛設銷地Bn+1的銷量(即庫存量)。各產(chǎn)地Ai到Bn+1的運價為零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。則平衡問題的數(shù)學模型為：,具體求解時,只在運價表右端增加一列Bn+1，運價為零,銷量為bn+1即可,.,運輸問題的應用,當銷大于產(chǎn)時，

43、即：,數(shù)學模型為：,由于總銷量大于總產(chǎn)量,故一定有些需求地不完全滿足,這時虛設一個產(chǎn)地Am+1，產(chǎn)量為：,.,運輸問題的應用,銷大于產(chǎn)化為平衡問題的數(shù)學模型為 ：,具體計算時，在運價表的下方增加一行Am+1，運價為零。產(chǎn)量為am+1即可。,.,運輸問題的應用,例3.4 求下列表中極小化運輸問題的最優(yōu)解。,因為有：,.,運輸問題的應用,所以是一個產(chǎn)大于銷的運輸問題。表中A2不可達B1，用一個很大的正數(shù)M表示運價C21。虛設一個銷量為b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右邊增添一列 ，得到新的運價表。,.,運輸問題的應用,下表為計算結果?？煽闯觯寒a(chǎn)地A4還有20個單位沒

44、有運出。,.,運輸問題的應用,3. 生產(chǎn)與儲存問題,例3.5 某廠按合同規(guī)定須于當年每個季度末分別提供10、15、25、20臺同一規(guī)格的柴油機。已知該廠各季度的生產(chǎn)能力及生產(chǎn)每臺柴油機的成本如右表。如果生產(chǎn)出來的柴油機當季不交貨，每臺每積壓一個季度需儲存、維護等費用0.15萬元。試求在完成合同的情況下，使該廠全年生產(chǎn)總費用為最小的決策方案。,.,運輸問題的應用,解： 設 xij為第 i 季度生產(chǎn)的第 j 季度交貨的柴油機數(shù)目，那么應滿足： 交貨： x11 = 10 生產(chǎn)：x11 + x12 + x13 + x14 25 x12 + x22 = 15 x22 + x23 + x24 35 x13

45、 + x23 + x33 = 25 x33 + x34 30 x14 + x24 + x34 + x44 = 20 x44 10,把第 i 季度生產(chǎn)的柴油機數(shù)目看作第 i 個生產(chǎn)廠的產(chǎn)量；把第 j 季度交貨的柴油機數(shù)目看作第 j 個銷售點的銷量；設cij是第i季度生產(chǎn)的第j季度交貨的每臺柴油機的實際成本，應該等于該季度單位成本加上儲存、維護等費用?？蓸嬙煜铝挟a(chǎn)銷平衡問題：,.,運輸問題的應用,由于產(chǎn)大于銷，加上一個虛擬的銷地D，化為平衡問題，即可應用表上作業(yè)法求解。,.,運輸問題的應用,該問題的數(shù)學模型： Min f = 10.8 x11 +10.95 x12 +11.1 x13 +11.25

46、 x14 +11.1 x22 +11.25 x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44,.,運輸問題的應用,最優(yōu)生產(chǎn)決策如下表，最小費用z773萬元。,.,Chapter4 整數(shù)規(guī)劃 ( Integer Programming ),整數(shù)規(guī)劃的特點及應用 分支定界法 分配問題與匈牙利法,本章主要內(nèi)容：,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)規(guī)劃（簡稱：IP） 要求一部分或全部決策變量取整數(shù)值的規(guī)劃問題稱為整數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標函數(shù)和約束條件構成的規(guī)劃問題稱為該整數(shù)規(guī)劃問題的松弛問題。若該松弛問題是一個線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。,

47、整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式：,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)線性規(guī)劃問題的種類：,純整數(shù)線性規(guī)劃：指全部決策變量都必須取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。 混合整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量中有一部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。 0-1型整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量只能取值0或1的整數(shù)線性規(guī)劃。,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)規(guī)劃的典型例子,例4.1 工廠A1和A2生產(chǎn)某種物資。由于該種物資供不應求，故需要再建一家工廠。相應的建廠方案有A3和A4兩個。這種物資的需求地有B1,B2,B3,B4四個。各工廠年生產(chǎn)能力、各地年需求量、各廠至各需求地的單位物資運費cij，見下表：,工廠A3或A4開工

48、后，每年的生產(chǎn)費用估計分別為1200萬或1500萬元?，F(xiàn)要決定應該建設工廠A3還是A4，才能使今后每年的總費用最少。,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,解：這是一個物資運輸問題，特點是事先不能確定應該建A3還是A4中哪一個，因而不知道新廠投產(chǎn)后的實際生產(chǎn)物資。為此，引入0-1變量：,再設xij為由Ai運往Bj的物資數(shù)量，單位為千噸；z表示總費用，單位萬元。 則該規(guī)劃問題的數(shù)學模型可以表示為：,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,混合整數(shù)規(guī)劃問題,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,例4.2 現(xiàn)有資金總額為B?？晒┻x擇的投資項目有n個，項目j所需投資額和預期收益分別為aj和cj（j1,2,.,n），此外由于種種原因，有三個

49、附加條件： 若選擇項目1，就必須同時選擇項目2。反之不一定 項目3和4中至少選擇一個； 項目5,6,7中恰好選擇2個。 應該怎樣選擇投資項目，才能使總預期收益最大。,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,解：對每個投資項目都有被選擇和不被選擇兩種可能，因此分別用0和1表示，令xj表示第j個項目的決策選擇，記為：,投資問題可以表示為：,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,例4.3 指派問題或分配問題。人事部門欲安排四人到四個不同崗位工作，每個崗位一個人。經(jīng)考核四人在不同崗位的成績（百分制）如表所示，如何安排他們的工作使總成績最好。,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,設,數(shù)學模型如下：,要求每人做一項工作，約束條件為：,.,整

50、數(shù)規(guī)劃的特點及應用,每項工作只能安排一人，約束條件為：,變量約束：,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)規(guī)劃問題解的特征：,整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集合是它松弛問題可行解集合的一個子集，任意兩個可行解的凸組合不一定滿足整數(shù)約束條件，因而不一定仍為可行解。 整數(shù)規(guī)劃問題的可行解一定是它的松弛問題的可行解（反之不一定），但其最優(yōu)解的目標函數(shù)值不會優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標函數(shù)值。,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,例4.3 設整數(shù)規(guī)劃問題如下,首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問題（一般稱為松弛問題）。,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,用圖解法求出最優(yōu)解為：x13/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6,現(xiàn)求整數(shù)解(最優(yōu)

51、解):如用舍入取整法可得到4個點即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。顯然，它們都不可能是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。,x1,x2,3,3,(3/2,10/3),按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問題的可行域內(nèi)且為整數(shù)點。故整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集是一個有限集，如右圖所示。其中(2,2),(3,1)點的目標函數(shù)值最大，即為Z=4。,.,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)規(guī)劃問題的求解方法：,分支定界法和割平面法 匈牙利法（指派問題）,.,分支定界法,1）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問題最優(yōu)解； 若松弛問題的最優(yōu)解滿足整數(shù)要求，得到整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解,否則轉下一步； 2）分支與定界： 任意選一個非整數(shù)解的變量

52、xi，在松弛問題中加上約束： xixi 和 xixi+1 組成兩個新的松弛問題，稱為分枝。新的松弛問題具有特征：當原問題是求最大值時，目標值是分枝問題的上界；當原問題是求最小值時，目標值是分枝問題的下界。 檢查所有分枝的解及目標函數(shù)值，若某分枝的解是整數(shù)并且目標函數(shù)值大于（max）等于其它分枝的目標值，則將其它分枝剪去不再計算，若還存在非整數(shù)解并且目標值大于(max)整數(shù)解的目標值，需要繼續(xù)分枝，再檢查，直到得到最優(yōu)解。,分支定界法的解題步驟：,.,分支定界法,例4.4 用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題,解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問題(原整數(shù)規(guī)劃問題的松馳問題),LP,IP,.,分支定

53、界法,用圖解法求松弛問題的最優(yōu)解，如圖所示。,x1,x2,3,(18/11,40/11),2,1,1,2,3,x118/11, x2 =40/11 Z=218/11(19.8) 即Z 也是IP最小值的下限。,對于x118/111.64， 取值x1 1， x1 2 對于x2 =40/11 3.64，取值x2 3 ，x2 4 先將（LP）劃分為（LP1）和（LP2）,取x1 1, x1 2,.,分支定界法,分支：,分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。,.,分支定界法,先求LP1,如圖所示。此時在B點取得最優(yōu)解。 x11, x2 =3, Z(1)16 找到整數(shù)解，問題已探明，此枝停止計算。,x1

54、,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,同理求LP2,如圖所示。在C 點取得最優(yōu)解。即: x12, x2 =10/3, Z(2)56/318.7 Z(2) Z(1)16 原問題有比16更小的最優(yōu)解，但 x2 不是整數(shù)，故繼續(xù)分支。,.,分支定界法,在IP2中分別再加入條件： x23, x24 得下式兩支：,分別求出LP21和LP22的最優(yōu)解,.,分支定界法,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,D,先求LP21,如圖所示。此時D 在點取得最優(yōu)解。 即 x112/52.4, x2 =3, Z(21)-87/5-17.4 Z(211) 如對LP

55、212繼續(xù)分解，其最小值也不會低于15.5 ，問題探明,剪枝。,.,分支定界法,原整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解為: x1=2, x2 =3, Z* =17 以上的求解過程可以用一個樹形圖表示如右：,LP1 x1=1, x2=3 Z(1) 16,LP x1=18/11, x2=40/11 Z(0) 19.8,LP2 x1=2, x2=10/3 Z(2) 18.5,LP21 x1=12/5, x2=3 Z(21) 17.4,LP22 無可 行解,LP211 x1=2, x2=3 Z(211) 17,LP212 x1=3, x2=5/2 Z(212) 15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13

56、,.,分支定界法,例4.5 用分枝定界法求解,解: 先求對應的松弛問題（記為LP0）,用圖解法得到最優(yōu)解X(3.57,7.14),Z0=35.7,如下圖所示。,.,分支定界法,10,10,松弛問題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.14),Z0=35.7,x1,x2,o,A,B,C,.,分支定界法,10,x2,o,A,B,C,LP1,LP2,3,4,LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5,.,分支定界法,10,x1,x2,o,A,B,C,LP1,LP21,3,4,LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33,6,.,分支定界法,10,x1,x2,o,A,C,LP1,3,4,6,LP211:X=(4,6), Z211=34,LP212:X=(5,5),Z212=35,5,LP212,.,分支定界法,上述分枝過程可用下圖表示：,LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7,LP1:X=(3,7.6) Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5) Z2=35.5,x13,x14,LP21:X=(4.33,6) Z21=35.33,x26,LP211:X=(4,6) Z211=34,LP212:X=(5,5) Z212=35,x14,x15,LP22 無可行解,x27,.,小結,學習要點： 掌握