1、1,工程數(shù)學(xué) 第7講,本文件可從網(wǎng)址 上下載 (單擊ppt講義后選擇工程數(shù)學(xué)子目錄),2,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),3,第一章 概率論的基本概念,4,在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象. 在個(gè)別試驗(yàn)中呈現(xiàn)出不確定性, 在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象, 稱為隨機(jī)現(xiàn)象. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.,5,1 隨機(jī)試驗(yàn),6,隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱試驗(yàn). 在概率論中,試驗(yàn)是一個(gè)含義廣泛的術(shù)語(yǔ), 并沒有嚴(yán)格的純數(shù)學(xué)定義. 包括人做的試驗(yàn), 甚至大自然做的試驗(yàn), 機(jī)器人做的試驗(yàn), 人進(jìn)行的觀察, 等等. 試驗(yàn)的特點(diǎn): 1,可在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行; 2,每次試驗(yàn)的可能

2、結(jié)果不止一個(gè), 并且能事先明確所有可能的結(jié)果. 3,進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).,7,試驗(yàn)的例: E1:拋一枚硬幣, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的現(xiàn)象. E2:將一枚硬幣擲三次, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的情況. E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù). E4:拋一顆骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). E5:記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù). E6:在一批燈泡中任取一只, 測(cè)試它的壽命. E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.,8,2 樣本空間、隨機(jī)事件,9,(一)樣本空間 對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn), 盡管在每次試驗(yàn)之前不能預(yù)知試驗(yàn)的結(jié)果, 但試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果組成的集合是已知

3、的, 將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間, 記為S. 樣本空間的元素, 即E的每個(gè)結(jié)果, 稱為樣本點(diǎn).,10,例: E1:拋一枚硬幣, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的現(xiàn)象. S1: H,T E2:將一枚硬幣擲三次, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的情況. S2: HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT; E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù). S3: 0,1,2,3; E4:拋一顆骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). S4:1,2,3,4,5,6;,11,E5:記錄某城市120急救電話臺(tái)一晝夜接到的呼喚次數(shù). S5:0,1,2,3,.; E6:在一批燈泡中任取一只,

4、 測(cè)試它的壽命. S6:t|t0 E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度. S7: (x,y)|T0xyT1, 這里x表示最低溫度, y表示最高溫度. 并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于T0, 也不會(huì)大于T1.,12,(二) 隨機(jī)事件 稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件, 簡(jiǎn)稱事件. 在每次試驗(yàn)中, 當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí), 稱這一事件發(fā)生. 特別, 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集, 稱為基本事件. 例如, 擲一次硬幣的實(shí)驗(yàn)E1有兩個(gè)基本事件H和T; 擲一次骰子的實(shí)驗(yàn)E4有6個(gè)基本事件1,2,3,4,5,6.,13,樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn), 它是S自身的子集, 在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)

5、生的, 稱為必然事件, 空集f不包含任何樣本點(diǎn), 它也作為樣本空間的子集, 它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生, 稱為不可能事件.,14,幾個(gè)事件的例子: 例1: 在E2:擲三次硬幣觀察正反面出現(xiàn)情況中事件A1:第一次出現(xiàn)的是H, 即 A1=HHH,HHT,HTH,HTT. 事件A2:三次出現(xiàn)同一面, 即 A2=HHH, TTT 在E6:測(cè)試任取的一只燈泡壽命中, 事件A3:壽命小于1000小時(shí), 即 A3=t|0t1000,15,(三) 事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算 事件是一個(gè)集合, 因而事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算按照集合論中集合間的關(guān)系和集合運(yùn)算來(lái)處理. 下面給出這些關(guān)系和運(yùn)算在概率論中的提法. 并根據(jù)事件

6、發(fā)生的含義, 給出它們?cè)诟怕收撝械暮x. 設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S, 而A,B,Ak(k=1,2,.)是S的子集. 通常喜歡用一個(gè)矩形來(lái)代表S, 其中的子區(qū)域代表一個(gè)事件.,16,1, 若AB, 則稱事件B包含事件A, 這是指的事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生. 若AB且BA, 即A=B, 則稱事件A與事件B相等.,S,B,A,17,2,事件AB=x|xA或xB稱為事件A與事件B的和事件. 當(dāng)且僅當(dāng)A, B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí), 事件AB發(fā)生.,S,A,B,18,19,3,事件AB=x|xA且xB稱為事件A與事件B的積事件. 當(dāng)且僅當(dāng)A, B同時(shí)發(fā)生時(shí), 事件AB發(fā)生. AB也記作AB,S,A,B,2

7、0,21,4,事件A-B=x|xA且xB稱為事件A與事件B的差事件, 當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生, B不發(fā)生時(shí)事件A-B發(fā)生.,S,A,B,22,5. 若AB=f, 則稱事件A與事件B是互不相容的, 或互斥的, 這指的是事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生, 基本事件是兩兩互不相容的.,S,A,B,23,6, 若AB=S且AB=, 則稱事件A與事件B互為逆事件, 又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件, 這指的是對(duì)每次試驗(yàn)而言, 事件A,B中必有一個(gè)發(fā)生, 且僅有一個(gè)發(fā)生. A的對(duì)立事件記為,S,A,24,在進(jìn)行事件運(yùn)算時(shí), 經(jīng)常要用到下述定律. 設(shè)A,B,C為事件, 則有 交換律: AB=BA; AB=BA. 結(jié)合律:

8、A(BC)=(AB)C; A(BC)=(AB)C. 分配律: A(BC)=(AB)(AC); A(BC)=(AB)(AC); 德摩根律:,25,例2 試驗(yàn)為擲三次硬幣, 事件A1:第一次出現(xiàn)的是H, 事件A2:三次出現(xiàn)同一面, A1=HHH,HHT,HTH,HTT, A2=HHH,TTT, A1A2=HHH,HHT,HTH,HTT,TTT, A1A2=HHH, A2-A1=TTT,26,例3 如圖所示的電路中, A表示信號(hào)燈亮, B, C, D表示繼電器接點(diǎn)I,II,III閉合.,I,II,III,27,則BCA, BDA, BCBD=A, 而,I,II,III,A,B,C,D,28,3 頻率

9、與概率,29,(一)頻率 定義 在相同條件下, 進(jìn)行了n次試驗(yàn), 在這n次試驗(yàn)中, 事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù). 比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率, 并記成fn(A). 由定義, 易見頻率具有下述基本性質(zhì): 1, 0fn(A)1; 2, fn(S)=1; 3, 若A1,A2,.,Ak是兩兩互不相容的事件, 則 fn(A1A2.Ak)=fn(A1)+fn(A2)+.+fn(An).,30,歷史上的擲硬幣試驗(yàn),31,大量實(shí)驗(yàn)證實(shí), 當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)增大時(shí), 頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性, 逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù), 我們稱之為事件A的概率, 這叫大數(shù)定律. 但是從純數(shù)學(xué)的角度看, 概率無(wú)非是

10、賦予事件A的一個(gè)實(shí)數(shù). 因此, 從純數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看問題, 只要對(duì)每個(gè)事件賦予一個(gè)滿足一定性質(zhì)的實(shí)數(shù)就行, 是不關(guān)心概率在實(shí)際中的情況的. 數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際的應(yīng)用, 都屬于某種方式的數(shù)學(xué)建模.,32,(二) 概率 定義 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn), S是它的樣本空間, 對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù), 記為P(A), 稱為事件A的概率, 如果集合函數(shù)P()滿足下列條件: 1, 非負(fù)性: 對(duì)于每一個(gè)事件A, 有P(A)0; 2, 規(guī)范性: 對(duì)于必然事件S, 有P(S)=1; 3, 可列可加性:設(shè)A1,A2,.是兩兩互不相容事件, 即對(duì)于ij, AiAj=f, i,j=1,2,., 則有 P(A1A2.)=P(A1)+

11、P(A2)+. (3.1) 由概率的定義可推得概率的一些重要性質(zhì).,33,性質(zhì)1 P(f)=0. 證 令A(yù)n=f (n=1,2,.), 則,由概率的可列可加性(3.1)得,34,性質(zhì)2(有限可加性) 若A1,A2,.,An是兩兩互不相容的事件, 則有 P(A1A2.An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An) (3.2) 證 令A(yù)n+1=An+2=.=f, 即有AiAj=f, ij, i,j=1,2,.由(3.1)式得,35,性質(zhì)3 設(shè)A,B是兩個(gè)事件, 若AB, 則有 P(B-A)=P(B)-P(A) (3.3) P(B)A (3.4) 證 由AB知B=A(B-A)(參見), 且A(B-A

12、)=f, 再由概率的有限可加性(3.2), 得 P(B)=P(A)+P(B-A), 又由概率的非負(fù)性1, P(B-A)0知 P(B)P(A).,36,性質(zhì)4 對(duì)于任一事件A, P(A)1 證 因AS, 由性質(zhì)3得 P(A)P(S)=1 性質(zhì)5(逆事件的概率) 對(duì)任一事件A, 有,證,37,性質(zhì)6(加法公式) 對(duì)任意兩事件A,B有 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB). (3.5) 證 因AB= A(B-AB)(參見), 且A(B-AB)=f, ABB, 故由(3.2)及(3.3)得 P(AB)=P(A)+P(B-AB) =P(A)+P(B)-P(AB). (3.5)式還可推廣到多個(gè)事件,

13、 例如, 設(shè)A,B,C為任意三個(gè)事件, 則有 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB) -P(BC)-P(AC)+P(ABC) (3.6),38,4 等可能概型(古典概型),39,1中所說(shuō)的試驗(yàn)E1:拋一枚硬幣, 觀察正反兩面出現(xiàn)的情況, E4:擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù), 它們具有兩個(gè)共同的特點(diǎn): 1,試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素; 2,試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同. 具有上面兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為等可能概型, 也稱為古典概型.,40,設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為S=e1,e2,.,en. 由于在試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同, 即有 P(e1)=P(e2)=.=P(en).

14、又由于基本事件是兩兩互不相容的, 于是 1=P(S)=P(e1e2.en)= P(e1)+P(e2)+.+P(en)=nP(ei),41,若事件A包含k個(gè)基本事件, 即,這里i1,i2,.,ik是1,2,.,n中某k個(gè)不同的數(shù). 則有,(4.1)式就是等可能概型中事件A的概率的計(jì)算公式,42,例1 將一枚硬幣拋擲三次. (1)設(shè)事件A1為恰有一次出現(xiàn)正面, 求P(A1); (2) 設(shè)事件A2為至少有一次出現(xiàn)正面, 求P(A2). 解 (1)考慮1中E2的樣本空間: S2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT, THT,TTH,TTT. 而 A1=HTT,THT,TTH. 故由(4.1)式,

15、得,43,若本題考慮1中E3的樣本空間: S3=0,1,2,3 則由于各個(gè)基本事件發(fā)生的可能性不相同, 就不能利用(4.1)來(lái)計(jì)算P(A1)和P(A2). 因而對(duì)本題來(lái)說(shuō), 考慮樣本空間S2才能順利計(jì)算有關(guān)事件的頻率.,44,例2 一口袋裝有6只球, 其中4只白球, 2只紅球. 從袋中取球兩次, 每次隨機(jī)地取一只. 考慮兩種取球方式: (a)第一次取一只球, 觀察其顏色后放回袋中, 攪勻后再取一球. 這種取球方式叫做放回抽樣. (b)第一次取一球不放回袋中, 第二次從剩余的球中再取一球. 這種取球方式叫做不放回抽樣, 試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)取到的兩只球顏

16、色相同的概率; (3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.,45,解 (a)放回抽樣的情況. 以A,B,C分別表示事件取到的兩只球都是白球, 取到的兩只球都是紅球, 取到的兩只球中至少有一只是白球, 易知取到兩只顏色相同的球這一事件即為AB, 而,由于AB=f, 得,46,例3 將n只球隨機(jī)地放入N(Nn)個(gè)盒子中去, 試求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限). 解 將n只球放入N個(gè)盒子, 每種放法是一基本事件, 共有NN.N=Nn種不同放法, 而每個(gè)盒子中至多放一只球共有N(N-1).N-(n-1)種不同放法, 因而所求概率為,47,許多問題和本例有相同的數(shù)學(xué)模型. 例如, 假設(shè)

17、每人的生日在一年365天的任一天是等可能的, 即都等于1/365, 則隨機(jī)選取n(365)個(gè)人, 他們的生日各不相同的概率為,因而, n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為,48,經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果:,49,關(guān)于組合,50,例4 設(shè)有N件產(chǎn)品, 其中有D件次品, 今從中任取n件, 問其中恰有k(kD)件次品的概率是多少? 解 所求的概率為,(4.2)式即所謂超幾何分布的概率公式.,51,例5 袋中有a只白球, b只紅球, k個(gè)人依次在袋中取一只球, (1)作放回抽樣; (2)作不放回抽樣, 求第i(i=1,2,.,k)個(gè)人取到白球(記為事件B)的概率(ka+b). 解 (1) 放回抽樣的情況, 顯

18、然有,52,(2) 不放回抽樣的情況. 各人取一只球, 每種,53,值得注意的是P(B)與i無(wú)關(guān), 即k個(gè)人取球, 盡管取球的先后次序不同, 各人取到白球的概率是一樣的, 大家機(jī)會(huì)相同. 另外還值得注意的是放回抽樣的情況與不放回抽樣的情況下P(B)是一樣的.,54,例6 在12000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù), 問取到的數(shù)即不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少? 解 設(shè)A為事件取到的數(shù)能被6整除, B為事件取到的數(shù)能被8整除, 則所求概率為,55,又由于一個(gè)數(shù)同時(shí)能被6與8整除, 就相當(dāng)于能被24整除, 因此, 由,56,例7 將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去, 這15名新生中有3名是優(yōu)秀生. 問(1)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少? (2) 3名優(yōu)秀生分配在同一班