1、第八章小結,一、費米統(tǒng)計和電子熱容 (Fermi statistics and electronic heat capacity) 1、費米統(tǒng)計分布函數 （1）表示形式 電子滿足泡利不相容原理，服從費米狄喇克統(tǒng)計分布，即在熱平衡時，電子處在能量E的狀態(tài)的幾率是 （1） 其中EF 是費米能量(Fermi energy)或化學勢,它的意義是在體積不變的條件下，系統(tǒng)增加一個電子所需要的自由能。 f(E)為費米統(tǒng)計分布函數，表示能量為E的本征態(tài)被電子占據的幾率。,（2）費米分布函數的特征 T=0時，f(E)是一個階躍函數， EEF時 ， f(E)=0. T0時 1）當E=EF 時,f(E)=1/2，表

2、明在費米能級，被電子填充的幾率和不被電子填充的幾率是相等的； 2）E比EF高幾個KBT以上時， ，f(E)0 ，表明這樣的本征態(tài)基本是空的； 3）當E比EF低幾個KBT 時， f(E)1。 f(E)在EF 上下幾個KBT 的范圍內由1 降為接近于0。在T0K的極限, 這個轉變的區(qū)域無限的窄；所有EEF 的本征態(tài)將完全填滿，所有更高的狀態(tài)都是空的。這就是說，在0 K的極限E F 就是電子填充的最高能級EF0。,（3）k 空間費米分布的情況 上圖中左邊是T=0 K時的情況；右圖是溫度提高到有限溫度T的情況，虛線間的區(qū)域表示部分為電子填充的狀態(tài)，這個區(qū)域包括等能面E=EF 上下幾個kBT的能量范圍。

3、 在體積dk 內，統(tǒng)計平均的電子數為 而 給出電子在k空間的統(tǒng)計分布密度. 在E(k)=EF 的等能面附近幾個kBT 的范圍內，分布密度由完全填充的最高密度2V 降為接近于0。 在k空間E(k)=EF 的等能面稱為費米面。,（4）電子按能量的統(tǒng)計分布 在EEdE內的量子態(tài)數目為N(E)dE，根據費米分布函數可以直接寫出統(tǒng)計平均電子數為 f(E)N(E)dE 所以， f(E)N(E)概括了電子按能量的統(tǒng)計分布，取決于費米統(tǒng)計分布和晶體本身的能態(tài)密度函數。 2、EF的確定(Fermi energy) （1）0 K時的低溫極限 費米能級EF0 由關系式 確定 （2）有限的溫度,3、電子熱容量 (el

4、ectronic heat capacity) （1）激發(fā)能kBT 可求得 上式第一項表示0 K時電子的總能量，第二項則示激發(fā)能。 只有在EF0 附近大致為kBT 的能量范圍內的電子受到熱激發(fā)。,（2）電子熱容量 電子的熱容量 這個值與經典值相比較是很小的?？梢?電子的熱容與溫度T 成正比,常寫為 Cv=T 稱為電子比熱系數（electronic heat capacity constant），與費米面上的態(tài)密度成正比。 對于自由電子 且 則,（3）低溫下晶體的總比熱 我們知道在溫度不太高的情況下，電子的比熱比晶格的比熱小得多，可以略去不計，但在低溫的情況下，晶格的比熱按T3下降，最終在10K

5、左右或者更低的溫度下會小于電子的比熱。 因此，低溫下晶體的總比熱可以寫成 （23） 將比熱測量的結果，作CV /T 對T2的變化的圖，從直線在CV / T 的截距可以得到值.,二、功函數和接觸電勢 (work function and contact potential difference),1、熱電子發(fā)射公式 熱電子發(fā)射的一個基本規(guī)律是發(fā)射電流隨溫度基本上是按指數規(guī)律變化 W 稱為功函數。 由量子理論，得發(fā)射電流為 功函數為 W=-EF （功函數脫出功）是電子離開金屬表面所需要的最低能量。,2、不同金屬中電子的平衡和接觸電勢 （1）接觸電勢 任意兩個不同的導體A和B相接觸，或者是以導線相連

6、接時，就會帶電并產生不同的點勢VA和VB，稱為接觸電勢。 （2）接觸勢差 假設A、B兩金屬的功函數分別是WA、WB ，相應的費米能級也不相同，當A、B通過接觸或通過導線可以交換電子時，就會發(fā)生從化學勢高到化學勢低的電子流動。兩邊的化學勢相等時，電子不再流動，兩系統(tǒng)達到平衡，有 -qVB-(-qVA)=WB-WA 或 VA-VB=(1/q)(WB-WA) 即接觸勢差來源于兩塊金屬費米能級的不一樣高,三、分布函數和波耳茲曼方程 (distribution function and Boltzman equation) 1、分布函數方法 (the method of distribution fun

7、ction) （1）k空間的密度分布 在波矢空間，體積dk范圍內的狀態(tài)為 ，用f0E(k),T表示費米函數，則在dk內的電子數為 而單位體積內的電子數為 （1） 這種分布可以表示為在k空間的密度分布，平衡分布時的電流等于0。,（2）有電場作用的情況 在加上一個外場E時，即形成一穩(wěn)定電流 確定了分布函數就可以直接計算電流 。 （3）分布函數方法 通過非平衡情況下的分布函數研究輸運過程的方法就是分布函數方法。 （4）分布函數方法的物理基礎 1）電子在電場 E 作用下加速; 2）電子由于碰撞失去定向運動。 在電場作用下，所有電子的狀態(tài)變化服從 一方面，在電場作用下，整個分布將在k空間以速度(dk/d

8、t) 移動，原來對稱的分布將偏向一邊，從而形成電流；另一方面，電子碰撞的效果又使分布恢復平衡。,2、布函數變化的來源 (the changing source of distribution function) （1）漂移項(drift term) 由外界條件可以引起統(tǒng)計分布在k空間的“漂移”.漂移項是外場作用力所引起的電子波矢的漂移以及速度導致位置漂移的結果。 當有溫度梯度存在時，漂移項為,（2）碰撞項(collision term) 3、玻耳茲曼方程(Boltzmann equation) （1）一般表達式 把漂移項和碰撞項都考慮在內，就得到玻爾茲曼方程的一般表達式 （9） （2）定態(tài)方程

9、 對于定態(tài)，因為 所以 (10),（3）定態(tài)導電問題 比如，對于均勻導線，f 將與位置無關，而且 這時，玻爾茲曼方程簡化為 （11）,四、弛豫時間近似和電導率 (relaxation time approximation and conductivity),1、弛豫時間近似 (relaxation time approximation ) （1）弛豫時間(relaxation time) 假定碰撞項可以寫成下列形式 其中f0 是平衡時的費米函數，(k)是一個為k的函數的參量，稱為弛豫時間。 （2）分布函數的變化(changing of distribution function),2、電流密度（the current density） 知道f 的表示式以后，就容易計算電流密度： 但f0 是k 的偶函數，v 是k 的奇函數， 所以 這樣就得到了歐姆定律的一般公式,3、電導率（conductivity）