1、第九章 應(yīng)力與應(yīng)變分析,第一節(jié) 應(yīng)力狀態(tài)的概念 第二節(jié) 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力研究、應(yīng)力圓 第三節(jié) 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力 第四節(jié) 廣義虎克定律 第五節(jié) 三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能,一、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),1.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：通過受力構(gòu)件一點(diǎn)處各個不同截面上的應(yīng)力情況。,2.研究應(yīng)力狀態(tài)的目的：找出該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力數(shù)值及所在截面的方位，以便研究構(gòu)件破壞原因并進(jìn)行失效分析。,第一節(jié) 應(yīng)力狀態(tài)的概念,二、研究應(yīng)力狀態(tài)的方法單元體法,1.單元體：圍繞構(gòu)件內(nèi)一所截取的微小正六面體。,應(yīng)力與應(yīng)變分析,應(yīng)力與應(yīng)變分析,（1）應(yīng)力分量的角標(biāo)規(guī)定：第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸，兩角標(biāo)相同

2、時，只用一個角標(biāo)表示。,（2）面的方位用其法線方向表示,3.截取原始單元體的方法、原則,用三個坐標(biāo)軸(笛卡爾坐標(biāo)和極坐標(biāo)，依問題和構(gòu)件形狀 而定)在一點(diǎn)截取，因其微小，統(tǒng)一看成微小正六面體,單元體各個面上的應(yīng)力已知或可求；,幾種受力情況下截取單元體方法：,2.單元體上的應(yīng)力分量,應(yīng)力與應(yīng)變分析,c) 同b)，但從 上表面截取,b) 橫截面，周向面，直徑面各一對,a) 一對橫截面，兩對縱截面,三、應(yīng)力狀態(tài)分類(按主應(yīng)力),1. 主平面：單元體上剪應(yīng)力為零的面；,主單元體：各面均為主平面的單元體，單元體上有三對主平面；,主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力，用s1、s2、s3表示， 有s1s2s3。,應(yīng)力與應(yīng)

3、變分析,2.應(yīng)力狀態(tài)按主應(yīng)力分類：,只有一個主應(yīng)力不為零稱單向應(yīng)力狀態(tài)；,只有一個主應(yīng)力為零稱兩向應(yīng)力狀態(tài)(平面應(yīng)力狀態(tài))；,三個主應(yīng)力均不為零稱三向應(yīng)力狀態(tài)(空間應(yīng)力狀態(tài))；,單向應(yīng)力狀態(tài)又稱簡單應(yīng)力狀態(tài)，平面和空間應(yīng)力狀態(tài)又稱復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。,應(yīng)力與應(yīng)變分析,一、平面應(yīng)力分析的解析法,1.平面應(yīng)力狀態(tài)圖示：,第二節(jié) 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力研究、應(yīng)力圓,應(yīng)力與應(yīng)變分析,2.任意a角斜截面上的應(yīng)力,得,應(yīng)力與應(yīng)變分析,符號規(guī)定： a角以x軸正向?yàn)槠鹁€，逆時針旋轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù) s拉為正，壓為負(fù) t使微元產(chǎn)生順時針轉(zhuǎn)動趨勢者為正，反之為負(fù),3.主應(yīng)力及其方位：,由主平面定義，令t =0，得：,可求出

4、兩個相差90o的a0值，對應(yīng)兩個互相垂直主平面。,即主平面上的正應(yīng)力取得所有方向上的極值。,應(yīng)力與應(yīng)變分析,主應(yīng)力大?。?由s、s、0按代數(shù)值大小排序得出：s1s2s3,判斷s、s作用方位(與兩個a0如何對應(yīng)),txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則s(較大主應(yīng)力)在第幾象限，即先判斷s大致方位，再判斷其與算得的a0相對應(yīng)，還是與a0+90o相對應(yīng)。,應(yīng)力與應(yīng)變分析,4.極值切應(yīng)力：,令： ，可求出兩個相差90o 的 a1，代表兩個相互垂直的極值切應(yīng)力方位。,極值切應(yīng)力：,應(yīng)力與應(yīng)變分析,例一 圖示單元體，試求：a=30o斜截面上的應(yīng)力； 主應(yīng)力并畫出主單元體；極值切應(yīng)力。,例9-2 分析圓軸扭

5、轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)。,二、平面應(yīng)力分析的圖解法應(yīng)力圓,1.理論依據(jù)：,以s、t為坐標(biāo)軸，則任意a斜截面上的應(yīng)力sx、txy為： 以) 為半徑的圓。,2.應(yīng)力圓的繪制：,定坐標(biāo)及比例尺；,取x面，定出D( )點(diǎn)；取y面，定出D( )點(diǎn)；,連DD交s軸于C點(diǎn)，以C為圓心，DD1為直徑作圓；,3.應(yīng)力圓的應(yīng)用,點(diǎn)面對應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上一點(diǎn)坐標(biāo)代表單元體某個面上的應(yīng)力；,角度對應(yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上半徑轉(zhuǎn)過2a，單元體上坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)過a;,旋向?qū)?yīng)關(guān)系：應(yīng)力圓上半徑的旋向與單元體坐標(biāo)軸旋向相同；,求外法線與x軸夾角為a斜截面上的應(yīng)力，只要以D為起點(diǎn)，按a轉(zhuǎn)動方向同向轉(zhuǎn)過2a到E點(diǎn)，E點(diǎn)坐標(biāo)即為所求應(yīng)力值。,用應(yīng)力圓確

6、定主平面、主應(yīng)力：由主平面上剪應(yīng)力t=0，確定D轉(zhuǎn)過的角度；D轉(zhuǎn)至s軸正向A1點(diǎn)代表s所在主平面，其轉(zhuǎn)過角度為2 ，轉(zhuǎn)至s軸負(fù)向B1點(diǎn)代表s所在主平面；,確定極值剪應(yīng)力及其作用面：應(yīng)力圓上縱軸坐標(biāo)最大的G1點(diǎn)為t，縱軸坐標(biāo)最小的G2點(diǎn)為t”，作用面確定方法同主應(yīng)力。,求：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力； 2)主應(yīng)力及其方位； 3)極值剪應(yīng)力。,例9-3 用應(yīng)力圓法重解例9-1題。,1.三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力圓： 平行s3斜截面上應(yīng)力由s1、s2作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定； 平行s2斜截面上應(yīng)力由s1、s3作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定； 平行s1斜截面上應(yīng)力由s2、s3作出應(yīng)力圓上的點(diǎn)確定； 由彈性力學(xué)知，任意斜截面

7、上的應(yīng)力點(diǎn)落在陰影區(qū)內(nèi)。,一、三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力圓,2.三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大剪應(yīng)力,tmax所在平面與s1和s3兩個主平面夾角為45o。,二、例題,第三節(jié) 三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大應(yīng)力,例9-4 試確定左圖所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大剪應(yīng)力，并確定主平面和最大剪應(yīng)力作用面位置。,解： 給定應(yīng)力狀態(tài)中有一個主應(yīng)力是已知的，即sz=90MPa。因此，可將該應(yīng)力狀態(tài)沿z方向投影，得到平面應(yīng)力狀態(tài)，可直接求主應(yīng)力及其方位。,sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，因此：,根據(jù)s1、s2、s3的排列順序，可知： s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa,主應(yīng)力方位：,最

8、大剪應(yīng)力所在平面法線與主平面夾角45o即與x軸夾角76o或-14o。,單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力：,一、廣義虎克定律 1.有關(guān)概念： 主應(yīng)變：沿主應(yīng)力方向的應(yīng)變，分別用e1e2e3表示； 正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，剪應(yīng)力只引起剪應(yīng)變；,2.廣義虎克定律： 推導(dǎo)方法：疊加原理,主應(yīng)變與主應(yīng)力關(guān)系：,一般情況：,第四節(jié) 廣義虎克定律,用應(yīng)變表示應(yīng)力：,上式中：,二、例題 例9-5 在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到P=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，n=0.30。,柱內(nèi)各點(diǎn)的三個主應(yīng)力為：,求得：,

9、由廣義虎克定律：,在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，當(dāng)它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間將產(chǎn)生徑向均勻壓力p。柱體內(nèi)任一點(diǎn)均為二向均壓應(yīng)力狀態(tài)，柱內(nèi)任一點(diǎn)的徑向與周向應(yīng)力均為-p，考慮到柱與凹座之間的間隙，可得應(yīng)變e2的值為：,解：在柱體橫截面上的壓應(yīng)力為：,一、總應(yīng)變比能 1.有關(guān)概念：,應(yīng)變能(變形能)：伴隨彈性體的變形而儲存在彈性體的 能量。用U表示；,比能：單位體積的應(yīng)變能，用u表示；,2.總應(yīng)變比能：,取主應(yīng)力狀態(tài)，假定三個主應(yīng)力按某一比例由零增加到最終值，則該單元體所儲存的應(yīng)變能為：,比能：,代入虎克定律：,第五節(jié) 三向應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能,二、體積改變比能uv與形狀改變比能ud 1.有關(guān)概念： 單元體的變形：體積改變和