1、材料力學(xué),第十三章 應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),第十三章 應(yīng)力狀態(tài),一、應(yīng)力狀態(tài)的概念及其描述,（一）、應(yīng)力狀態(tài)的概念,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),軸向拉壓,同一橫截面上各點(diǎn)應(yīng)力相等：,同一點(diǎn)在斜截面上時(shí)：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),此例表明：即使同一點(diǎn)在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的，此即應(yīng)力的面的概念。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點(diǎn)的應(yīng)力各不相同，此即應(yīng)力的點(diǎn)的概念。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),過(guò)一點(diǎn)不同方向面上應(yīng)力的集合，稱(chēng)之為這一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（State of the Stresses of a Given Point）。,應(yīng) 力,哪一個(gè)

2、面上？ 哪一點(diǎn)？,哪一點(diǎn)？ 哪個(gè)方向面？,指明,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),1、應(yīng)力的面的概念,應(yīng)力的三個(gè)重要的概念,2、應(yīng)力的點(diǎn)的概念,3、應(yīng)力狀態(tài)的概念,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),微 元 （Element）,（二）、一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的描述,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),若單元體各個(gè)面上的應(yīng)力已知， 由平衡即可確定任意方向面上的正 應(yīng)力和切應(yīng)力。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),單元選取示例一,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),1,同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式.,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),單元選取示例二：,S平面,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),2,3,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力,主平面：?jiǎn)卧w上剪應(yīng)力為零的平面,通過(guò)任意的受力構(gòu)件

3、中任意一點(diǎn)，總可以找到三個(gè) 相互垂直的主平面，因此每一點(diǎn)都有三個(gè)主應(yīng)力，以 s1，s2 和 s3 表示，且,s1 s2 s3,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),三向（空間）應(yīng)力狀態(tài),( Three-Dimensional State of Stresses ),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),( Plane State of Stresses ),平面（二向）應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),純剪應(yīng)力狀態(tài) ( Shearing State of Stresses ),應(yīng)力狀態(tài),單向應(yīng)力狀態(tài) ( One Dimensional State of Stresses ),材料力學(xué),三向應(yīng)力狀態(tài),平面應(yīng)力狀態(tài),單向應(yīng)力狀態(tài),純剪應(yīng)

4、力狀態(tài),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析,求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的應(yīng)力。,e,f,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),拉為正,壓為負(fù),1、正應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)則,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),使微元或其局部順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正；反之為負(fù)。,切應(yīng)力正負(fù)號(hào)規(guī)則,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),由x正向逆時(shí)針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負(fù)。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),平衡對(duì)象用ef斜截面截取的微元局部,2、利用截面法及微元局部的平衡方程,dAsin,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),參加平衡的量 應(yīng)力乘以其作用的面積,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),dA,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),解得：,用 斜截面截取，此截面上的應(yīng)力為,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),因此

5、,即單元體兩個(gè)相互垂直面上 的正應(yīng)力之和是一個(gè)常數(shù)。,即又一次證明了剪應(yīng)力的互等定理。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),三、應(yīng) 力 圓 （Mohrs Circle for Stresses）,1、應(yīng)力圓方程,(1),(2),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),應(yīng) 力 圓,（Mohr 圓）,應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的 坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元 某一方向上的正應(yīng) 力和切應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),在t -s坐標(biāo)系中，標(biāo)定與微元A、D面上 應(yīng)力對(duì)應(yīng)的點(diǎn)a和d,A,D,2.應(yīng)力圓的畫(huà)法,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著微元某一方向上的正應(yīng)力和切應(yīng)力,3、幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)半徑旋轉(zhuǎn)方向與方向面法線(xiàn)旋轉(zhuǎn)方

6、向一致；,C,二倍角對(duì)應(yīng)半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向面旋轉(zhuǎn) 角度的兩倍。,(sx ,txy),o,2a0,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),對(duì)應(yīng)關(guān)系論證,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),4、應(yīng)力圓的應(yīng)用信息源,思維分析的工具，而不是計(jì)算工具。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),d,a,c,5、基本變形的應(yīng)力狀態(tài),單向拉伸,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),可見(jiàn)：,45 方向面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，但正應(yīng)力不是最大值，切應(yīng)力卻最大。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),B,E,純剪切,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),結(jié)果表明：,45 方向面只有正應(yīng)力沒(méi)有切應(yīng)力，而且正應(yīng)力為最大值。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),四、平面應(yīng)力狀態(tài)的極值與主應(yīng)力,（一）主平面、主應(yīng)力與主方向,

7、2a0,A,D,主平面（Principal Plane）：t = 0, 與應(yīng)力圓上和橫軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的面,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),利用應(yīng)力圓確定主應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),主應(yīng)力表達(dá)式,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),利用解析法得到：,由,將0值代入，得：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),主應(yīng)力排序： s1s2 s3,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),s1,s2,s1,(sx ,txy),主方向的確定,負(fù)號(hào)表示從主應(yīng)力的正方向 到x軸的正方向?yàn)轫槙r(shí)轉(zhuǎn)向,應(yīng)力狀態(tài),(sy ,tyx),材料力學(xué),主方向的確定,也有：,應(yīng)力狀態(tài),書(shū)上P281頁(yè)為：,材料力學(xué),對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上的最高點(diǎn)的面上切應(yīng)力最大，稱(chēng)為“ 面內(nèi)最大切應(yīng)力”。,tmax,（二）面內(nèi)

8、最大切應(yīng)力,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),A,D,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),（一）、圖解法,f,解：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),主應(yīng)力單元體：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),（1）斜面上的應(yīng)力,（二）、解析法,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),（2）主應(yīng)力、主平面,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),主平面的方位：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),sy,x,y,O,dA,斜面上無(wú)剪應(yīng)力，是主平面。列x方向平衡方程：,哪個(gè)主應(yīng)力對(duì)應(yīng)于哪一個(gè)主方向，可以采用以下方法：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),例2：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知,求（1）主應(yīng)力；（2）繪出主應(yīng)力單元體。,120,b,應(yīng)力狀態(tài),確定圓心：從D面順時(shí)針轉(zhuǎn)2400應(yīng)至C面，圓心在哪？,材料力學(xué),（2）根據(jù)應(yīng)力

9、圓的幾何關(guān)系確定主應(yīng)力,半徑,因此主應(yīng)力為：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),（3）繪出主應(yīng)力單元體。,s1,s2,s2,s1,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),分析：,本題亦可用解析法求解。,兩個(gè)面可列4個(gè)方程，任取3個(gè)求解。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),五、復(fù)雜應(yīng)力(三向應(yīng)力)狀態(tài),三向應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)； 特例三個(gè)主應(yīng)力及其主方向均已知。, 定 義,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué), 三向應(yīng)力狀態(tài) 的應(yīng)力圓,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),法線(xiàn)垂直于s1的截面： 其上之應(yīng)力與s1無(wú)關(guān)，于是由s2 、 s3可作出應(yīng)力圓 I,法線(xiàn)垂直于s2的截面：其上之應(yīng)力與s2無(wú)關(guān)，于是由s1 、 s3可作出應(yīng)力圓 II,法線(xiàn)垂直于s3的截面：其

10、上之應(yīng)力與s3無(wú)關(guān)，于是由s1 、 s2可作出應(yīng)力圓 III,s1,s2,s3,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),在-平面內(nèi)，代表任意斜截面的應(yīng)力的點(diǎn)或位于 應(yīng)力圓上，或位于三個(gè)應(yīng)力圓所構(gòu)成的區(qū)域內(nèi)。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),在三組特殊方向面中都有各自的面內(nèi)最大切應(yīng)力,即：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué), 三向應(yīng)力狀態(tài)中,（方向與 及 成45角）,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),六 、 廣義胡克定律, 各向同性材料的廣義胡克定律,1、橫向變形與泊松比（各向同性材料）,-泊松比,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),2、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法,+,+,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),分析：,1、

11、,即,2、當(dāng) 時(shí)，即為二向應(yīng)力狀態(tài)：,3、當(dāng) 時(shí)，即為單向應(yīng)力狀態(tài)；,即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向。,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),4、若單元體上作用的不是主應(yīng)力，而是一般的應(yīng)力 時(shí)，則單元體不僅有線(xiàn)變形 ，而且有角變形 。其應(yīng)力-應(yīng) 變關(guān)系為：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),例3：已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用。為了 測(cè)定拉力F和力矩m，可沿軸向及與軸向成45方向測(cè)出 線(xiàn)應(yīng)變?，F(xiàn)測(cè)得軸向應(yīng)變 ， 45方向的應(yīng)變 為 。若軸的直徑D=100mm,彈性模量E=200 GPa,泊松比=0.3。試求F和m的值。,u,u,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),解：,（1）K點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)分析,在K點(diǎn)取出單元體：,K,其橫截面上的應(yīng)力分量為：,（2）計(jì)算外力F.,由廣義胡克定律：,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),解得：,（3）計(jì)算外力偶m.,已知,式中,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),由,解得：,因此,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué), 體積變形,變形前單元體體積：,變形后單元體體積：,0,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),單位體積變形：,（體積應(yīng)變）,利用廣義胡克定律：,式中：,（體積彈性模量）,（平均正應(yīng)力）,（體積變形 虎克定律）,應(yīng)力狀態(tài),材料力學(xué),討論：,1、單位體積變形