1、 微積分初步單元學(xué)習(xí)輔導(dǎo)一（函數(shù)極限連續(xù)）微積分初步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)（一）函數(shù)、極限和連續(xù)部分學(xué)習(xí)重難點(diǎn)解析（一）關(guān)于函數(shù)的概念1.組成函數(shù)的要素:(1)定義域:自變量的取值范圍D；(2)對(duì)應(yīng)關(guān)系：因變量與自變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系f.函數(shù)的定義域確定了函數(shù)的存在范圍，對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了自變量如何對(duì)應(yīng)到應(yīng)變量.因此，這兩個(gè)要素一旦確定，函數(shù)也就隨之確定.所以說(shuō)，兩個(gè)函數(shù)相等（即）的充分必要條件是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相等.若兩者之一不同，就是兩個(gè)不同的函數(shù).2.函數(shù)定義域的確定對(duì)于初等函數(shù)，一般要求它的自然定義域，具體說(shuō)來(lái)通過(guò)下面的途徑確定：(1) 函數(shù)式里如果有分式，則分母的表達(dá)式不為零；(2) 函數(shù)式

2、里如果有偶次根式，則根式里的表達(dá)式非負(fù)；(3) 函數(shù)式里如果有對(duì)數(shù)式，則對(duì)數(shù)式中真數(shù)的表達(dá)式大于零；(4)如果函數(shù)表達(dá)式是由若干表達(dá)式的代數(shù)和的形式，則其定義域?yàn)楦鞑糠侄x域的公共部分；(5)對(duì)于分段函數(shù)，其定義域?yàn)楹瘮?shù)自變量在各段取值的之并集.(6)對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)確定函數(shù)的定義域.3.函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f或f（ ）表示對(duì)自變量x的一個(gè)運(yùn)算，通過(guò)f或f（ ）把x變成了y，例如，則f代表算式括號(hào)內(nèi)是自變量的位置，運(yùn)算的結(jié)果得到因變量的值.（二）關(guān)于函數(shù)的基本屬性函數(shù)的基本屬性是指函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和有界性.了解函數(shù)的屬性有助于我們對(duì)函數(shù)的研究.理解

3、函數(shù)屬性中需要注意下面的問(wèn)題：1.關(guān)于函數(shù)的奇偶性：討論函數(shù)的奇偶性，其定義域必須是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的的區(qū)間，函數(shù)奇偶性的判別方法是函數(shù)奇偶性定義和奇偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即 奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)并記住常見(jiàn)的奇函數(shù)有；常見(jiàn)的偶函數(shù)有.2. 關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)函數(shù)是與相應(yīng)的區(qū)間相聯(lián)系的，例如，函數(shù)在是單調(diào)遞減的，在是單調(diào)遞增的，在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).單調(diào)遞增（或遞減）函數(shù)的圖形是隨著自變量的增大在上升（或下降）的. （三）函數(shù)的函數(shù)函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算我們可以這樣理解復(fù)合函數(shù)的概念：當(dāng)一個(gè)函數(shù)的自變量用另一個(gè)函數(shù)的因變

4、量代替，就可能產(chǎn)生復(fù)合函數(shù)，例如在函數(shù)中，用替換，即得 .這里的函數(shù)可以看成由函數(shù)和函數(shù)復(fù)合而成的.但是要注意，不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的，例如，由和就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因?yàn)椋?fù)數(shù)開(kāi)方是沒(méi)有意義的.復(fù)合函數(shù)的復(fù)合環(huán)節(jié)可以多于兩個(gè)，例如，可復(fù)合為函數(shù).通過(guò)課程的學(xué)習(xí)我們知道，由若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟可以產(chǎn)生許許多多的函數(shù)初等函數(shù).反過(guò)來(lái)，對(duì)于一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)，在對(duì)它進(jìn)行研究時(shí)，常常要將其分解成若干個(gè)組成它的函數(shù).例如可以分解為.（四）關(guān)于對(duì)極限的概念的理解極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，在高等數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，本章中連續(xù)性的概念和第二章中導(dǎo)數(shù)的概念都是用極限

5、來(lái)定義的.在我們的課程中對(duì)于極限概念只要求從幾何上的直觀描述來(lái)理解.即極限是描述函數(shù)在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)和某一個(gè)確定的常數(shù)無(wú)限的靠近，而且要多近就有多近.理解極限的定義要弄清楚，函數(shù)在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，是否有極限存在決定于在自變量的這個(gè)變化過(guò)程中函數(shù)是否有固定的變化趨勢(shì)，而且這個(gè)變化趨勢(shì)與自變量的變化趨勢(shì)和求極限的函數(shù)有關(guān)，而與函數(shù)在該點(diǎn)處是否有定義無(wú)關(guān).例如， （第一個(gè)重要極限）其中函數(shù)在處無(wú)定義.又如（當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量乘以有界變量等于無(wú)窮小量）注意到這個(gè)極限式中的函數(shù)與前式相同，但自變量的變化趨勢(shì)不同，則極限不同.在極限概念中，我們介紹了七種極限形式：數(shù)列極限： 函數(shù)極限：

6、 左、右極限： 且有結(jié)論：由于極限是一個(gè)局部概念，函數(shù)在某點(diǎn)處是否有極限決定于在該點(diǎn)附近的函數(shù)值，因此對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限問(wèn)題必須考慮其左、右極限.（五）關(guān)于極限的計(jì)算極限計(jì)算是本課程的基本計(jì)算之一，在我們的課程中介紹了下列求極限的方法：（1）極限的四則運(yùn)算法則；（2）重要極限；（3）函數(shù)的連續(xù)性.在具體運(yùn)用時(shí)，首先要清楚上述法則或方法成立的條件，否則會(huì)在計(jì)算中出現(xiàn)錯(cuò)誤. （六）關(guān)于函數(shù)的連續(xù)性 根據(jù)連續(xù)性的定義，函數(shù)f(x)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是：函數(shù)f(x)在點(diǎn)處同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1）f(x)在點(diǎn)處有定義；（2）f(x)在點(diǎn)處有極限；（3）f(x)在點(diǎn)處的極限值為該點(diǎn)處的

7、函數(shù)值，即 上述三個(gè)條件之一不滿足，則f(x)在點(diǎn)處間斷.連續(xù)函數(shù)的曲線是一筆畫(huà)成的，如果函數(shù)在某處發(fā)生間斷，則函數(shù)的曲線一定在此處斷開(kāi).二、典 型 例 題例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）分析 （1）函數(shù)是由與的和構(gòu)成的，按照前面提到的求解途徑，先分別求出各表達(dá)式的定義域，再取公共部分；（2）這是個(gè)分段函數(shù)，先確定函數(shù)在各段上自變量的取值范圍，再取并集.解（1）對(duì)于，要求且，即；對(duì)于，要求，即，它等價(jià)于，即，于是取兩個(gè)函數(shù)定義域的公共部分，得所求函數(shù)定義域?yàn)?（2）兩個(gè)分段區(qū)間是和，取它們的并集得所求函數(shù)的定義域?yàn)?例2 已知函數(shù)，求和.分析 本題的關(guān)鍵是求出，可以采取兩種不同的方法求解

8、.方法1 將看作一個(gè)變量，即作變量替換，這樣得到，代入后直接得出.方法2將等式右端表成的函數(shù).解 方法1令，則，代入原式有 因函數(shù)關(guān)系與表示自變量的字母無(wú)關(guān)，故由上式得到 利用可直接得到 .方法2 將等式右端表成的函數(shù),即所以 再利用可直接得到 .例3 判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）（2）分析 （1）可以根據(jù)定義或運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)定義進(jìn)行判斷.解 （1）方法1 根據(jù)定義進(jìn)行判斷.因?yàn)榍?，也，由定義，是非奇非偶函數(shù).方法2 根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù).注意：利用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行判斷的前提是知道各函數(shù)的奇偶性.（2）根據(jù)定義進(jìn)行判斷.因?yàn)?所以，是奇函數(shù).

9、例4 將下列函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算：（1）（2）分析 任意一個(gè)初等函數(shù)可以分解為基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算.分解的方法是從最外層開(kāi)始，如果是四則運(yùn)算就將運(yùn)算的每一項(xiàng)設(shè)為中間變量，然后在考察每個(gè)中間變量；若不是四則運(yùn)算，則一定是某一類基本初等函數(shù)，此時(shí)將這個(gè)基本初等函數(shù)的自變量位置上的表達(dá)式設(shè)為一個(gè)中間變量，然后再考察這個(gè)中間變量.將這個(gè)方法向內(nèi)層反復(fù)使用.解（1）.（2），.例5 求下列各極限（1）（2）分析 解題之前先分清求極限函數(shù)的類型，再選擇相應(yīng)的方法求解.（1）原式是個(gè)有理分式，且當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限都為0，故不能直接用商的極限法則.同時(shí)我們還注意到，分式的

10、分子、分母均為x的二次多項(xiàng)式，而當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限都為0，說(shuō)明分子、分母中均含有因式，這時(shí)采取分解因式的方法，消去使分母極限為0的因式（當(dāng)時(shí)），再用商的極限法則求出極限值.（2）當(dāng)時(shí)，分子、分母的極限均為0，而且分子是一個(gè)無(wú)理函數(shù)，分母含有正弦函數(shù)，顯然不能用分解因式消去0因子的方法.對(duì)于這類題目一般地，先將根式有理化，消去分式中的無(wú)理根式，又因?yàn)榉帜钢泻姓液瘮?shù)，運(yùn)算時(shí)要用到第一個(gè)重要極限.解 （1）（2）= =求極限方法小結(jié)：（1）運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，要特別注意除法法則. 如果分母的極限為0，則一定不能直接使用除法法則，這時(shí)需要根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危ǔＲ?jiàn)的變形有，分解因式，有理化根式等），從而消去不定因子再用除法法則.（2）應(yīng)用重要極限求極限時(shí)，必須將求極限函數(shù)變形為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式或擴(kuò)展形式.第一個(gè)重要極限的特點(diǎn)是：當(dāng)時(shí)，分式的分子、分母的極限均為0，且分子、分母中含有正弦函數(shù)的關(guān)系式.它的標(biāo)準(zhǔn)形式為，擴(kuò)展形式為.例6 設(shè)函數(shù) 問(wèn)（1）當(dāng)a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處有極限存在；（2）當(dāng)a,b為何值時(shí)，f(x)在x=0處連續(xù).分析 函數(shù)f(x)在點(diǎn)處是否連續(xù)，關(guān)鍵是看函數(shù)在該點(diǎn)處是否有.此函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，且x=0是它的分段點(diǎn).