1、數(shù)學(xué)建模-微分方程模型班 級(jí)：廣匯化工102班姓 名：陳錄順競(jìng)賽組號(hào)： 04聯(lián)系電話：香煙過濾嘴的作用問題:盡管科學(xué)家們對(duì)于吸煙的危害提出了許多的無可辯駁的證據(jù)，不少國(guó)家的政府和有關(guān)部門也一直致力于減少或禁止吸煙，但是仍有不少人不愿拋棄對(duì)香煙的嗜好。香煙制造既要滿足癮君子的需要，又要順應(yīng)減少吸煙危害潮流，還要獲取豐厚的利潤(rùn)，于是普遍地在香煙上安裝了過濾嘴。過濾嘴的作用到底有多大，與使用的材料和過濾嘴的長(zhǎng)度有什么關(guān)系，要從定量的角度回答這些問題就要建立一個(gè)描述吸煙過程的數(shù)學(xué)模型，分析人體吸入的毒物數(shù)量與哪些因素有關(guān)，以及他們之間的數(shù)量表達(dá)式。問題描述與分析：吸煙時(shí)毒物吸入人體的大致過程時(shí)這樣的：

2、毒物基本上均勻的分布在煙草中，吸煙時(shí)點(diǎn)燃處的煙草大部分化為煙霧，毒物由煙霧攜帶著一部分直接進(jìn)入空氣，另一部分沿香煙穿行。在穿行過程中又部分的被未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴吸收而沉積下來，剩下的進(jìn)入人體。被煙草吸收而沉積下來的那一部分毒物，當(dāng)香煙燃燒到哪里的時(shí)候又通過煙草部分進(jìn)入空氣，部分沿香煙穿行，這個(gè)過程一直繼續(xù)到香煙燃燒到過濾嘴處為止。于是我們看到，原來分布在煙草中的毒物除去了進(jìn)入空氣和被過濾嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人體吸入。 實(shí)際的及煙過程非常復(fù)雜并且因人而異，點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比例，與吸煙的方式、環(huán)境等多種因素有關(guān)；煙霧穿過香煙的速度隨著吸煙動(dòng)作的變化而不斷地改變

3、；過濾嘴和煙草對(duì)毒物的吸收作用也會(huì)隨煙霧穿行速度等影響而有所變化。如果要考慮類似于上面這些復(fù)雜情況，將使我們寸步難行。為了能建立一個(gè)初步的模型，可以設(shè)想一個(gè)機(jī)器人在典型的環(huán)境下吸煙，“他”吸煙的動(dòng)作、方式及外部環(huán)境在整個(gè)過程中不變，于是可以認(rèn)為毒物隨煙進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比例、煙霧穿行的速度、過濾嘴和煙草對(duì)毒物的吸收率等在吸煙過程中都是常數(shù)。模型假設(shè) 基于上述分析，這個(gè)模型的假設(shè)如下。1 煙草和過濾嘴的長(zhǎng)度分別是和，香煙總長(zhǎng)度= + ，毒物M（毫克）均勻分布在煙草中，密度為 2 點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比例是a:a,a+a=1.3 未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物

4、的吸收率（單位時(shí)間內(nèi)毒物被吸收的比例）分別是常數(shù)b和4 煙霧沿香煙穿行的速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，且vu將一支煙吸完,毒物進(jìn)入人體的總量（不考慮從空氣的煙霧中吸入的）記作Q，在建立模型以得到Q的數(shù)量表達(dá)式之前，讓我們先根據(jù)常識(shí)分析一下Q應(yīng)與那些因素有關(guān)，采取什么方法可以降低Q。 首先，提高過濾嘴吸收率 、增加過濾嘴長(zhǎng)度、減少煙草中毒物的初始含量M，顯然可以降低吸入毒物量Q。其次，當(dāng)毒物隨煙霧沿香煙穿行的比例a和煙霧速度v減小時(shí)，預(yù)料Q也會(huì)降低。至于在假設(shè)條件中涉及的其他因素，如煙草對(duì)毒物的吸收率b、煙草長(zhǎng)度、香煙燃燒速度u，對(duì)Q的影響就不容易估計(jì)了。下面通過建摸對(duì)這些作定性分析，對(duì)提

5、出的問題作出定量的驗(yàn)證和回答。模型建立 設(shè)t=0時(shí)在x=0處點(diǎn)燃香煙，坐標(biāo)系如圖1所示。吸入毒物量Q由毒物穿過香煙的流量確定，后者又與毒物在煙草中的密度有關(guān)，為研究這些關(guān)系，定義兩個(gè)基本函數(shù)：毒物流量 q(x,t)表示時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)通過香煙截面x處（0x）的毒物量。毒物密度 表示時(shí)刻t截面x處單位長(zhǎng)度煙草中的毒物含量（0x）。由假設(shè)1,， 圖1 x=0處點(diǎn)燃的香煙如果知道了流量函數(shù)q(x,t),吸入毒物量Q就是x=處的流量在吸一支煙時(shí)間內(nèi)的總和。注意到關(guān)于煙草長(zhǎng)度和香煙燃燒速度的假設(shè)，我們得到 （1）下面分步計(jì)算Q。 1求t=0瞬間由煙霧攜帶的毒物單位時(shí)間內(nèi)通過x處的數(shù)量q(x,0)。由假設(shè)

6、4中關(guān)于vu 的假定，可以認(rèn)為香煙點(diǎn)燃處x=0 靜止不動(dòng)。 為簡(jiǎn)單起見，記 q(x,0) =q(x) ，考察 (x, x+x) 一段香煙（圖1），毒物通過 x和 x+x處的流量分別是 q(x) 和q(x+x)，根據(jù)守恒定律這兩個(gè)流量之差應(yīng)該等于這一段未點(diǎn)燃的煙草或過濾嘴對(duì)毒物的吸收量，于是由假設(shè)2、4有 其中 是香煙穿過 x 所需時(shí)間，令 0得到微分方程 (2) 在x=0處點(diǎn)燃的煙草單位時(shí)間內(nèi)放出的毒物量記作 ，根據(jù)假設(shè)1、3、4可以寫出方程（2）的初始條件為 (3) 求解（2）、（3）式時(shí)先解出q(x)(0x)，再利用q(x)在x=處的連續(xù)確定q(x)( x)，其結(jié)果為 （4） 2、在香煙燃

7、燒過程的任意時(shí)刻t，求毒物單位時(shí)間內(nèi)通過 x=的數(shù)量q ( , t).因?yàn)樵趖時(shí)刻香煙燃至x=ut處，記此時(shí)點(diǎn)燃的煙草單位時(shí)間放出的毒物量為H（t）,則 H（t）= （5）根據(jù)與第1步完全相同的分析和計(jì)算可得 （6） 實(shí)際上在（4）式中將坐標(biāo)原點(diǎn)平移至x=ut處即可得到（6）式。由（5）、（6）式能夠直接寫出 （7）3.確定w(ut,t)因?yàn)樵谖鼰熯^程中未點(diǎn)燃的煙草不斷地吸收煙霧中的毒物，所以毒物在煙草中的密度w(ut,t)由初始值逐漸增加?？疾鞜煵萁孛鎥處t時(shí)間內(nèi)毒物密度的增量w(x,t+t)-w(x,t)，根據(jù)守恒定律它應(yīng)該等于單位長(zhǎng)度煙霧中的毒物被吸收的部分，按照假設(shè)2、4有 w(x,t

8、+t)-w(x,t)= 令并將（5）、（6）式代入得 （8）方程（8）的解為(9)其中a=1-a（假設(shè)2）4.計(jì)算Q將（9）代入（7）式得 (10)最后將（10）代入（1）式作積分得到 (11)為便于下面的分析將上式化作 （12）記 （13）則（12）式可寫作 （14）（13），（14）式是我們得到的最終結(jié)果，表示了吸入有毒物質(zhì)量Q與等的因素之間的數(shù)量關(guān)系。結(jié)果分析1. Q與煙草的含毒物質(zhì)量的M，毒物隨煙霧沿香煙穿行比例a成正比*，設(shè)想將毒物M集中在x=處，則吸入量為aM。2. 因子 體現(xiàn)了過濾嘴的減少毒物進(jìn)入人體的作用，提高過濾嘴吸收率和增長(zhǎng)長(zhǎng)度 能夠?qū)起到負(fù)質(zhì)數(shù)衰減的效果，并且和在數(shù)量上

9、增加一定比例時(shí)起作用相同。降低煙霧穿行速度v也可減少Q(mào)。設(shè)想將毒物M集中在X=處，利用上述建模方法不難證明，吸入毒物量為。3. 因子 表示的是由于未點(diǎn)燃煙草對(duì)毒物的吸收而起到的減少Q(mào)的作用。雖然被吸收的毒物還要被點(diǎn)燃，隨煙霧沿香煙穿行的部分的進(jìn)入人體，但是因?yàn)闊煵葜卸疚锏拿芏?越來越高，所以按照固定的比例跑到空氣中的毒物增多，相應(yīng)的減少了進(jìn)入人體的毒物量。根據(jù)實(shí)際資料1在（13）試 中的 取Taylor 展開的前3項(xiàng)可得 ， ，于是（14）試為 (15)可知，提高煙草吸收率b和增加長(zhǎng)度（毒物量M不變）對(duì)減少Q(mào)的作用是線性的，與 和是負(fù)指數(shù)衰減作用相比，效果要小得多。4. 為了更清楚的了解過濾嘴的作用，不妨比較兩支香煙，一只是上述模型討論的，另一支長(zhǎng)度為，不帶過濾嘴，參數(shù)，b,a,v與第一支香煙相同，并且吸到x=處就扔掉。吸第一支香煙和第二支香煙進(jìn)入人體的毒物量分別記著當(dāng)然可由（11）式給出，Q2也不必重新計(jì)算，只需把第二支煙設(shè)想成吸收率為b（與煙草相同）的假過濾嘴香煙就行了，這樣由（11）式可以直接寫出與（11）式給出的Q1相比，我們得到所以只要 就有 Q1 Q2，過濾嘴是起作用的，并且，提高吸收率之差 與加長(zhǎng)過濾嘴長(zhǎng)度l2，對(duì)于降低比例Q1/Q2的效果相同，不過提高需要研