1、一、離散傅里葉變換1.離散傅里葉變換的特性離散傅里葉變換是連續(xù)傅里葉變換在時域和頻域的一種離散形式。它將時域信號的采樣轉(zhuǎn)換為離散時間傅里葉變換(DTFT)頻域的采樣。形式上，變換兩端(時域和頻域)的序列長度是有限的，但實際上兩組序列都應(yīng)被視為離散周期信號的主值序列。即使無限離散信號是離散傅立葉變換，也應(yīng)將其視為周期擴展后的周期信號進行變換。快速傅立葉變換通常用于實際應(yīng)用中，以有效地計算離散傅立葉變換。離散傅立葉變換將空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，并且很容易知道圖像的每個空間頻率域的分量。密度泛函理論被廣泛應(yīng)用于圖像特征提取、空間頻域濾波、圖像恢復(fù)和紋理分析等領(lǐng)域。2.離散傅里葉變換的性質(zhì)1)線性屬性2)

2、比例性3)可分性4)平移屬性5)圖像集中化6)周期性7)共軛對稱性8)旋轉(zhuǎn)不變性9)卷積定理10)平均值2.離散余弦變換1.離散余弦變換簡介為了快速有效地處理和分析圖像，通常通過正交變換將圖像變換到頻域，并利用頻域的獨特性質(zhì)進行處理。傳統(tǒng)的正交變換大多是復(fù)雜的變換，計算量大，不易實時處理。隨著數(shù)字圖像處理技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了一大類以離散余弦變換為代表的正弦實變換，它們都有快速算法。目前，DCT變換已廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮、圖像分析和信號稀疏表示。由于其變換矩陣的基向量與托普里茨矩陣的特征向量非常相似，托普里茨矩陣反映了人類語言和圖像信號的相關(guān)特征，因此通常被認(rèn)為是語音和圖像信號的最佳變換。對于長度為

3、n的給定輸入序列f(x)，其離散余弦變換定義為：公式中：公式中的滿意度：在數(shù)字圖像處理中，通常使用二維離散余弦變換，正向變換為：它的逆變換IDCT是：在公式中：由于離散余弦變換的變換核是可分的，二維離散余弦變換可以通過兩個一維變換來實現(xiàn)，這就是所謂的行列分離。流程如下圖所示：從圖中可以看出，該方法首先沿行(列)進行一維離散余弦變換計算，然后沿列(行)進行一維離散余弦變換，共需要m次n點和n次m點的一維離散余弦變換。其優(yōu)點是結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。在DCT變換中，我們稱之為F (0，0) DC系數(shù)和其余的交流系數(shù)。下圖說明了離散余弦變換系數(shù)的分布。DCT變換的一個最重要的特點是，圖像變換后，主要能量

4、集中在低頻系數(shù)區(qū)域，而圖像細(xì)節(jié)和其他信息分布在中高頻區(qū)域。因此，在壓縮感知中，可以使用離散余弦變換將信號轉(zhuǎn)換成稀疏信號，并且可以將具有更多能量的低頻系數(shù)傳輸?shù)浇獯a端進行重構(gòu)。同時，最近的研究也發(fā)現(xiàn)，在DCT域中，圖像紋理特征也呈現(xiàn)出一定的分布規(guī)律。這使得DCT變換在圖像壓縮、特征提取、圖像分析和稀疏表示中有著重要的應(yīng)用。0156247123811139101415低頻中頻高頻哥倫比亞特區(qū)(a)頻帶分布(b) z掃描模式圖4.2離散余弦變換系數(shù)的特性(a)頻帶分布(b) z掃描模式2.離散余弦變換的特性離散余弦變換的變換核心是余弦變換。由于變換核是實數(shù)，所以離散余弦變換的計算速度比變換核是復(fù)數(shù)的

5、離散余弦變換要快得多。除了離散余弦變換的一般正交變換性質(zhì)外，其變換矩陣的基向量能夠很好地描述人類語音信號和圖像信號的相關(guān)特征。3.離散沃爾什-哈達瑪變換1.離散沃爾什-哈達瑪變換的特征WHT將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換成1或-1的值。也就是說，將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換成一系列值為1或-1的基本函數(shù)比快速傅立葉變換更好。同時，WHT只需要實數(shù)運算，這比快速傅立葉變換需要更少的存儲空間和更快的運算速度。因此，WHT廣泛用于圖像傳輸、通信技術(shù)和數(shù)據(jù)壓縮。2.離散沃爾什-哈達瑪變換的性質(zhì)WHT具有能量集中的特性，原始數(shù)據(jù)中的數(shù)字分布越均勻，變換后的數(shù)據(jù)就越集中在矩陣的角上。因此，它可以用來壓縮圖像信息。Iv .K-L變換1.

6、1的特征。K-L變換K-L變換也常被稱為主成分變換或霍特林變換。它是一種基于圖像統(tǒng)計特征的變換。它的協(xié)方差矩陣除對角線外沒有任何元素，消除了數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性，在信息壓縮中起著重要作用。雖然K-L變換在均方誤差意義下具有最好的性能，但是需要知道源的協(xié)方差矩陣并找到特征值。即使維數(shù)很高，找到特征值和特征向量也不是一件容易的事。即使可以用計算機解決，也很難滿足實時處理的要求，從編碼應(yīng)用的角度來看，仍然需要將信息傳輸?shù)浇邮斩?。這些因素使得K-L變換在工程實踐中沒有得到廣泛應(yīng)用。一方面，人們繼續(xù)尋找快速算法來求解特征值和特征向量；另一方面，他們正在尋找一些轉(zhuǎn)換方法，這些方法不是“最佳的”,但是具有更好的

7、去相關(guān)和能量集中性能，并且易于實現(xiàn)。K-L變換通常被用作這些變換性能的評估標(biāo)準(zhǔn)。2.k-l變換的性質(zhì)1)去相關(guān)特性。K-L變換意味著變換后的矢量信號的分量彼此不相關(guān)。2)能量集中。所謂的能量集中是指在N維向量信號的K-L變換之后集中在前m個低階分量中的最大方差。3)最佳特性。K-L變換是在均方誤差測度下失真最小的變換。4)沒有快速算法，變換矩陣隨不同的信號樣本集而變化。這是K-L變換的一個缺點，也是其實際應(yīng)用中的一大障礙。5.離散小波變換1.離散小波變換的特性小波變換是近幾十年來發(fā)展起來的，已經(jīng)成為世界上一個非?；钴S的研究領(lǐng)域。它的主要優(yōu)勢之一是能夠提供本地分析和改進。小波變換在時域和頻域都具

8、有良好的局部化特性。此外，由于高頻的逐漸精細(xì)的時域或空域階躍，它可以聚焦于分析對象的任何細(xì)節(jié)，這被稱為小波變換的“數(shù)學(xué)顯微鏡”特性。與傳統(tǒng)的信號分析技術(shù)相比，小波變換能夠?qū)π盘栠M行壓縮和去噪，并且沒有明顯的損失。圖像信息處理是通過二維離散小波變換實現(xiàn)的，在實際應(yīng)用中是以水平和垂直兩個方向上的兩個一維小波變換的形式實現(xiàn)的，在具體實現(xiàn)過程中通過濾波器實現(xiàn)離散小波變換。如下圖所示：S代表原始輸入信號。通過兩個互補的濾波器組，其中一個是低通濾波器，通過該濾波器可以獲得信號的近似A，另一個是高通濾波器，通過該濾波器可以獲得信號的細(xì)節(jié)D，然后通過下采樣可以獲得小波分解系數(shù)。離散小波變換具有以下優(yōu)點：1)小

9、波變換可以根據(jù)圖像特征自適應(yīng)選擇小波基，從而提高壓縮比。離散余弦變換是不適應(yīng)的。2)可以充分利用小波變換系數(shù)之間的空間相關(guān)性對系數(shù)進行建模，進一步提高壓縮比。3)小波變換生成的子帶可以靈活處理。2.離散小波變換的性質(zhì)1)可分性、規(guī)?？勺冃院土鲃有?。2)多分辨率一致性。3)正交性。六、雙樹復(fù)小波變換傳統(tǒng)的二維離散小波變換不具有平移不變性。另外，它的方向選擇性非常有限，在每個尺度空間只能分解成三個方向的細(xì)節(jié)信息，即水平方向、垂直方向和對角線方向。然而，在某些特定情況下，有必要在圖像的某些方向上描述紋理或邊界。此時，傳統(tǒng)的二維小波變換由于缺乏方向選擇性而不能滿足要求。為了克服二維離散小波方向選擇性差

10、的缺點，英國劍橋大學(xué)的Kingsbury等人在1998年提出了雙樹復(fù)小波變換。它是在復(fù)小波變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。它不僅具有傳統(tǒng)小波變換的優(yōu)良特性，而且能夠更好地描述圖像的方向信息。雙樹復(fù)小波變換是由實小波變換實現(xiàn)的復(fù)小波變換。它將復(fù)小波的實部和虛部分開，通過兩個并行的實濾波器組獲得小波變換系數(shù)的實部和虛部，從而通過實小波變換實現(xiàn)復(fù)小波變換。雙樹復(fù)小波變換由兩個并行的實濾波器組實現(xiàn)。上圖為一維雙樹復(fù)小波變換的分解圖。其中，下采樣表示下采樣，樹a和樹b分別表示復(fù)小波的實部和虛部，它們分別使用不同的濾波器組。二維雙樹復(fù)小波變換與二維離散小波變換的相似之處在于它是由小波張量積展開的。對圖像進行二維雙

11、樹復(fù)小波變換時，方法與二維離散小波變換相同，即先對圖像的行進行一維雙樹復(fù)小波變換，然后對列進行變換。雙樹復(fù)小波變換具有良好的方向選擇性，其幅度無振蕩特性，成本低。由于雙樹復(fù)小波變換顯著提高了離散小波變換的平移靈敏度和方向選擇性，因此雙樹復(fù)小波變換已被應(yīng)用于信號降噪、圖像分割、增強、分類、特征提取、紋理分析、運動估計、編碼、水印和圖像稀疏表示等領(lǐng)域。七、輪廓波變換杜和維泰爾利在2003年提出了輪廓波變換。經(jīng)過幾年的豐富和完善，已經(jīng)形成了比較成熟的理論和方法。目前，該領(lǐng)域的主要研究力量仍然是由do主導(dǎo)的研究小組。它已經(jīng)開始在圖像處理及其傳統(tǒng)應(yīng)用領(lǐng)域受到青睞。國內(nèi)外研究成果不斷涌現(xiàn)，并呈現(xiàn)出不斷增長

12、的趨勢。CT是一種新的多尺度幾何分析方法。它通過多尺度分解和多方向分解來實現(xiàn)。拉普拉斯金字塔將圖像分解成多尺度/捕捉零奇點。方向濾波器組(DFB)將沿同一方向分布的奇異點合成為CT系數(shù)。CT也被稱為金字塔方向濾波器組。其基本思想是在多尺度的基礎(chǔ)上提取方向信息。CT是小波變換的新擴展。它具有多分辨率、局部定位、多方向和各向異性的特性。它的基本功能是多尺度、多方向分布的。少量的系數(shù)可以有效地捕捉圖像中的邊緣輪廓，而邊緣輪廓是自然圖像中的主要特征。此外，它的冗余度也很低，使得該變換適用于許多圖像處理領(lǐng)域。CT首先利用小波類多尺度分解捕獲奇異點，然后根據(jù)方向信息將位置相似的奇異點集合成CT系數(shù)。拉普拉斯分解將原始圖像分解成低頻子帶和高頻子帶。由于自然圖像中物體的方向信息和紋理信息可以通過變換域的基函數(shù)有效而簡單地表達，并且可以快速逼近，同時也避免了置亂現(xiàn)象，因此適合于描述自然圖像。由線性規(guī)劃和DFB組合而成