1、課程：英語(yǔ)專業(yè)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)年級(jí)：2009年級(jí)姓名：董楠分?jǐn)?shù)：期權(quán)定價(jià)與公司債務(wù)費(fèi)希爾布萊克邁倫斯克爾斯如果期權(quán)能夠在市場(chǎng)上正確定價(jià)，就有可能確定由期權(quán)及其基礎(chǔ)股票的多頭和空頭頭寸構(gòu)成的資產(chǎn)組合的回報(bào)。利用這一原理，可以導(dǎo)出一個(gè)理論期權(quán)定價(jià)公式。由于幾乎所有的公司負(fù)債都可以看作是期權(quán)的組合，因此衍生期權(quán)的公式和分析也可以應(yīng)用于公司負(fù)債，如普通股、公司債券和認(rèn)股權(quán)證。特別是，該公式可用于推導(dǎo)可違約公司債券的貼現(xiàn)值。介紹期權(quán)是一種受一定條件約束的擔(dān)保，授予在一定期限內(nèi)購(gòu)買(mǎi)或出售一定資產(chǎn)的權(quán)利?！懊绹?guó)期權(quán)”是一種期權(quán)，可以在期權(quán)到期前的任何時(shí)候行使?！皻W洲期權(quán)”是一種只能在未來(lái)特定日期行使的期權(quán)

2、。資產(chǎn)在行使期權(quán)時(shí)支付的價(jià)格被稱為“執(zhí)行價(jià)格”或“執(zhí)行價(jià)格”期權(quán)可以行使的最后一天稱為“到期日”或“到期日”最簡(jiǎn)單的選擇是授予購(gòu)買(mǎi)單一普通股的權(quán)利。我們大多數(shù)人在本文中討論這個(gè)選項(xiàng)，它通常被歸類為“看漲期權(quán)”。一般來(lái)說(shuō)，股票價(jià)格越高，期權(quán)的價(jià)值就越大。當(dāng)股票價(jià)格遠(yuǎn)高于行權(quán)價(jià)格時(shí)，期權(quán)肯定會(huì)被行權(quán)。因此，期權(quán)的現(xiàn)值也大約等于股票價(jià)格減去與期權(quán)到期日相同的純貼現(xiàn)債券價(jià)格，票面價(jià)值等于執(zhí)行價(jià)格。另一方面，如果股票價(jià)格比行權(quán)價(jià)格低得多，期權(quán)到期時(shí)不會(huì)被行權(quán)，其價(jià)值接近于零。如果期權(quán)的到期日在很遙遠(yuǎn)的將來(lái)，在到期日支付行權(quán)價(jià)的債券的價(jià)格將非常低，期權(quán)的價(jià)值大約等于股票的價(jià)格。另一方面，如果到期日非常接近

3、，期權(quán)的價(jià)值大約等于股票價(jià)格減去執(zhí)行價(jià)格。如果股票價(jià)格低于行權(quán)價(jià)格，期權(quán)的價(jià)值為零。一般來(lái)說(shuō)，如果股票的價(jià)值保持不變，期權(quán)的價(jià)值會(huì)隨著到期日的臨近而降低。圖1中的圖表說(shuō)明了這些期權(quán)的價(jià)值和股票價(jià)格之間關(guān)系的一般性質(zhì)。線A代表期權(quán)的最大價(jià)值，因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)股票的價(jià)格。線B代表期權(quán)的最小值，因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值不為負(fù)，且不低于股票價(jià)格減去行權(quán)價(jià)格。直線依次代表期限越來(lái)越短的期權(quán)的價(jià)值。一般來(lái)說(shuō)，代表期權(quán)價(jià)值的曲線是向上凹的。由于它也位于45度直線A下，我們可以看到期權(quán)的變化比股票的變化更不穩(wěn)定。給定股票價(jià)格百分比的變化將導(dǎo)致一個(gè)固定到期日期權(quán)價(jià)值的更大變化。然而，期權(quán)的相對(duì)波動(dòng)不是一個(gè)常數(shù)，它取

4、決于股票價(jià)格和到期日。以前關(guān)于期權(quán)定價(jià)的大部分工作都是以權(quán)證的形式表達(dá)的。例如，Sprenkle(1961)、Ayres(1963)、Boness(1964)、Samuelson(1965)、Baumol、和Quandt(1966)和陳(1970)都推導(dǎo)出相同定價(jià)公式的一般形式。然而，它們的公式是不完整的，因?yàn)樗鼈儾簧婕叭魏我粋€(gè)或多個(gè)任意參數(shù)。例如，Sprenkle的期權(quán)定價(jià)公式如下：在這個(gè)表達(dá)式中，它是股票價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、到期日、當(dāng)前日期、股票收益率的方差、自然對(duì)數(shù)和累積正態(tài)密度函數(shù)。但是總和是一個(gè)未知的參數(shù)。Sprenkle(1961)被定義為認(rèn)股權(quán)證到期時(shí)股票價(jià)格的預(yù)期價(jià)值與股票當(dāng)前價(jià)格

5、的比率，是基于股票風(fēng)險(xiǎn)的貼現(xiàn)因子。他試圖根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)總數(shù)，但結(jié)果是他什么也做不了。更典型的是，薩繆爾森(1965)有兩個(gè)未知參數(shù)，其中，股票的預(yù)期收益率，認(rèn)股權(quán)證的預(yù)期收益率或適用于認(rèn)股權(quán)證的貼現(xiàn)率。他假設(shè)當(dāng)認(rèn)股權(quán)證到期時(shí)，股票的合理價(jià)值分布遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布，并截?cái)嘈袡?quán)價(jià)格的分布，取該分布的期望值。直到現(xiàn)在，他都用貼現(xiàn)率來(lái)貼現(xiàn)這一預(yù)期。不幸的是，在資本市場(chǎng)均衡的條件下，似乎沒(méi)有一個(gè)證券定價(jià)模型可以使用這種適當(dāng)?shù)某绦騺?lái)確定權(quán)證的價(jià)值。在隨后的論文中，薩繆爾森和默頓(1969)意識(shí)到，當(dāng)認(rèn)股權(quán)證被行使時(shí)，對(duì)其可能的價(jià)值分配的預(yù)期價(jià)值進(jìn)行貼現(xiàn)是不合適的。他們進(jìn)一步發(fā)展了期權(quán)價(jià)格被認(rèn)為是股票價(jià)格的函數(shù)

6、的理論。他們還認(rèn)識(shí)到，貼現(xiàn)率在某種程度上是由投資者愿意持有的所有股票和期權(quán)的應(yīng)收賬款的必要條件決定的。然而，他們沒(méi)有利用投資者還必須持有其他資產(chǎn)的事實(shí)，因此影響貼現(xiàn)率的期權(quán)和股票風(fēng)險(xiǎn)只是不可避免風(fēng)險(xiǎn)的一部分。他們的最終公式取決于他們假設(shè)的典型投資者的效用函數(shù)。Thorp和Kassouf(1967)在開(kāi)發(fā)模型時(shí)表達(dá)了我們的一個(gè)概念。他們利用實(shí)際認(rèn)股權(quán)證價(jià)格的曲線模擬來(lái)獲得認(rèn)股權(quán)證的經(jīng)驗(yàn)定價(jià)公式。之后，他們用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算一只多頭和另一只空頭股票與用作對(duì)沖的認(rèn)股權(quán)證的比率。他們沒(méi)有進(jìn)行均衡的研究，也就是說(shuō)，對(duì)沖的回報(bào)應(yīng)該等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)。我們下面展示的是使用均衡條件來(lái)推導(dǎo)理論定價(jià)公式。定價(jià)公式

7、為了根據(jù)股票價(jià)格推導(dǎo)出期權(quán)價(jià)值的公式，我們假設(shè)了一些股票和期權(quán)市場(chǎng)的“理想條件”。a)短期利率是已知的，并且在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)保持不變。b)股票價(jià)格在連續(xù)的一段時(shí)間內(nèi)隨機(jī)變動(dòng)，其變化率與股票價(jià)格的平方成正比。因此，任何有限時(shí)間間隔結(jié)束時(shí)的合理股價(jià)分布都是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。股票收益的方差是常數(shù)。c)股票不支付股息和其他紅利。d)期權(quán)是“歐洲的”，也就是說(shuō)，它只能在到期日行使。e)買(mǎi)賣(mài)股票和期權(quán)不收取交易費(fèi)。f)短期利率可用于借入任何價(jià)格單位的證券進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)或持有。g)短期銷(xiāo)售不受處罰。沒(méi)有證券的賣(mài)方直接接受買(mǎi)方提供的證券的價(jià)格，并同意將來(lái)與買(mǎi)方結(jié)算，并向買(mǎi)方支付相當(dāng)于當(dāng)日證券價(jià)格的一定數(shù)量的證券。在這些假

8、設(shè)下，期權(quán)的價(jià)值只取決于價(jià)格、時(shí)間和被稱為股票常數(shù)的變量。因此，我們可以設(shè)計(jì)一個(gè)由多頭和空頭期權(quán)組成的套期保值策略。它的價(jià)值不取決于股票價(jià)格，而是取決于時(shí)間和常數(shù)的價(jià)值。作為期權(quán)的價(jià)值，它是股票價(jià)格和時(shí)間的函數(shù)。相對(duì)于股票，賣(mài)空的長(zhǎng)期期權(quán)數(shù)量為：(1)在表達(dá)式(1)中，下標(biāo)表示第一個(gè)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。為了理解這種不依賴于股票價(jià)格的套期保值策略，需要注意的是，當(dāng)股票價(jià)格變化很小時(shí)，期權(quán)價(jià)值的變化與股票價(jià)格的變化之比是。對(duì)于第一種近似方法，如果股票價(jià)格的變化是，期權(quán)價(jià)格的變化是，由表達(dá)式(1)給出的期權(quán)數(shù)量的變化是。因此，股票多頭頭寸的變化值將大約抵消空頭期權(quán)的變化值。當(dāng)變量之和變化時(shí)，賣(mài)空的期權(quán)數(shù)量

9、隨著股票套期保值策略而變化。如果套期保值被持續(xù)持有，那么上述近似值是準(zhǔn)確的，套期保值策略的回報(bào)完全獨(dú)立于股票變動(dòng)的價(jià)值。事實(shí)上，對(duì)沖的回報(bào)是確定的。為了說(shuō)明套期保值策略的結(jié)構(gòu)，我們考慮圖1中的實(shí)線()，并假設(shè)股票價(jià)格從15.00美元開(kāi)始，因此期權(quán)的價(jià)值從5.00美元開(kāi)始。同時(shí)，假設(shè)直線在該點(diǎn)的斜率為。這意味著對(duì)沖策略是同時(shí)買(mǎi)入一股和賣(mài)出兩種期權(quán)。每股成本為15.00美元，出售兩單位期權(quán)的收入為10.00美元，因此這一策略的收入為5.00美元。如果套期保值策略不隨股票價(jià)格的變化而變化，那么在有限時(shí)間間隔結(jié)束時(shí)的權(quán)益價(jià)值包含一定的不確定性。假設(shè)兩單位期權(quán)從10.00美元漲到15.75美元，而股票從

10、15.00美元漲到20.00美元，或者它們從10.00美元跌至5.75美元，而股票從15.00美元跌至10.00美元。因此，當(dāng)股票價(jià)格正向和負(fù)向變化5.00美元時(shí)，回報(bào)率從5.00美元變?yōu)?.25美元。也就是說(shuō)，當(dāng)股票價(jià)格正向和負(fù)向變化5.00美元時(shí)，收入下降0.75美元。此外，曲線隨著選項(xiàng)的到期日期而變化(從圖1中的到)。因此，期權(quán)價(jià)值的下降意味著股票價(jià)格的巨大變化將導(dǎo)致對(duì)沖收益的增加和可能損失的抵消。值得注意的是，隨著股票價(jià)格的巨大變化，收益的下降幅度非常小。股票價(jià)格的變化越小，股票價(jià)格的變化就會(huì)越小。同時(shí)，我們還注意到，收入變化的方向與股票價(jià)格變化的方向無(wú)關(guān)，這意味著在假設(shè)股票價(jià)格遵循連

11、續(xù)隨機(jī)游走且方差率不變的情況下，收入回報(bào)與股票回報(bào)之間的協(xié)方差為零。如果股票價(jià)格和“市場(chǎng)投資組合”的價(jià)值遵循具有常數(shù)協(xié)方差的連續(xù)隨機(jī)游走，這意味著收益回報(bào)和市場(chǎng)回報(bào)之間的協(xié)方差為零。因此，如果期權(quán)的短期策略可以持續(xù)調(diào)整，套期保值的風(fēng)險(xiǎn)可以為零。如果這種策略不能持續(xù)調(diào)整，風(fēng)險(xiǎn)也很小，使用套期保值策略的投資組合也可以分散所有風(fēng)險(xiǎn)。一般來(lái)說(shuō)，由于套期保值策略包括多頭股票和空頭單位期權(quán)，因此這種策略的回報(bào)率為：(2)短期內(nèi)收入的變化值為：(3)假設(shè)短期策略是不斷變化的，我們可以用隨機(jī)微積分的知識(shí)來(lái)展開(kāi)，即如下：(4)在公式(4)中，的下標(biāo)指的是偏導(dǎo)數(shù)，是股票收益率的方差。將表達(dá)式(3)代入表達(dá)式(4)

12、，我們得到套期保值策略的收益變化值如下：(5)由于對(duì)沖策略的回報(bào)是確定的，回報(bào)必須等于。即使套期保值策略不是不斷變化的，風(fēng)險(xiǎn)也很小，而且都可以分散，所以套期保值策略的預(yù)期回報(bào)是短期利率。否則，套利者將借入大量資金來(lái)實(shí)施對(duì)沖策略并從中獲利，這一過(guò)程將迫使回報(bào)率降至短期利率。因此，公式(5)中的收入變化必須等于公式(2)中的收入值乘以。(6)在剔除兩邊并重組后，我們得到一個(gè)期權(quán)價(jià)值的微分方程。(7)它被記錄為期權(quán)的到期日，C是行權(quán)價(jià)格，我們知道；(8)這是在邊界條件(8)下滿足微分方程(7)的唯一公式。這個(gè)公式就是期權(quán)定價(jià)公式。為了解決這個(gè)微分方程，我們做如下的替換：(9)有了這個(gè)代換，微分方程變成了；(10)邊界條件變成：(11)微分方程(10)是物理學(xué)中的熱傳導(dǎo)方程，其解由丘吉爾(1963，p155)給出。用我們的符號(hào)，方程的解是：(12)將等式(12)代入等式(9)并將其簡(jiǎn)化，我們得到：(13)在等式(13)中，它是累積正態(tài)密度函數(shù)。請(qǐng)注意，股票的預(yù)期回報(bào)沒(méi)有出現(xiàn)在等式(13)中。期權(quán)價(jià)值作為股票價(jià)格的函數(shù)獨(dú)立于股票回報(bào)。然而，期權(quán)的預(yù)期回報(bào)將取決于股票的預(yù)期回報(bào)。基于函數(shù)關(guān)系，股票價(jià)格上漲得越快，期權(quán)價(jià)格上漲得越快(13)。請(qǐng)注意，公式中出現(xiàn)的到期期限僅乘以利率或方差率。因此，到期日的增加取決于相當(dāng)于和百分比的期權(quán)價(jià)值