1、摘要振動系統(tǒng)是研究機(jī)械振動的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)，研究單自由系統(tǒng)的振動有著實(shí)際意義，因?yàn)楣こ躺嫌性S多問題通過簡化，用單自由度系統(tǒng)的振動理論就能得到滿意的結(jié)果。模態(tài)是振動系統(tǒng)的一種固有振動特性，模態(tài)一般包含頻率、振型、阻尼。振動系統(tǒng)問題是個(gè)比較虛擬的問題，比較抽象的理論分析，對于問題的分析可以實(shí)體化建立數(shù)學(xué)模型，通過MATLAB可以轉(zhuǎn)化成為圖像。單自由度頻率、阻尼、振型的分析，我們可以建立數(shù)學(xué)模型，最后通過利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)圖形；多自由度主要研究矩陣的迭代求解，我們在分析抽象的理論的同時(shí)根據(jù)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的迭代最后可以得到所要的數(shù)據(jù)，使我們的計(jì)算更加簡便。利用MATLAB編程并驗(yàn)證

2、程序的正確性。通過程序的運(yùn)行，能快速獲得多自由度振動系統(tǒng)的固有頻率以及主振型，為設(shè)計(jì)人員提供了防止系統(tǒng)共振的理論依據(jù)，也為初步分析各構(gòu)件的振動情況以及解耦分析系統(tǒng)響應(yīng)奠定了基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：振動系統(tǒng)；單自由度；MATLAB；多自由度AbstractVibration system is to study the kinematics and dynamics of mechanical vibration, the vibration of a single free system has practical significance, because there are many enginee

3、ring problems by simplifying, using the vibration theory of a single degree of freedom system can be satisfied with the results. Vibration system problems is a relatively virtual problems, more abstract and theoretical analysis, problem analysis for a mathematical model can be materialized by MATLAB

4、 can be converted into images. Single degree of freedom frequency, damping, mode shape analysis, we can create mathematical models, the final program data through the use of MATLAB graphics; many degrees of freedom main matrix iterative solution, our analysis based on abstract theory, while MATLAB p

5、rogramming The last iteration of data can be the desired data, so our calculations easier Using MATLAB programming and verify the correctness of the program.Through the process of operation, can quickly obtain multiple degrees of freedom vibration system and the main vibration mode natural frequency

6、 for the design to prevent resonance provide the theoretical basis for the preliminary analysis of the vibration of each component, and laid the decoupling of system response basis.Key words:vibrating system; Single Degree of Freedom ;MATLAB; multiple degree of freedom 1 緒論1.1問題的提出機(jī)械振動是一門既古老又年輕的科學(xué)，隨

7、著人類科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步振動理論得到不斷的發(fā)展和完善。機(jī)械振動在許多情況下是有害的，人們想方設(shè)法避免它：另一方面，人們利用機(jī)械振動原理制造了各種機(jī)械或儀表來為人類服務(wù)。振動機(jī)械是20世紀(jì)后半期得到迅速發(fā)展的一類機(jī)械，它是利用振動原理來完成各種工藝過程的機(jī)械設(shè)備。其中，Mathorks公司推出的MATLAB以其強(qiáng)大的功能和易用性受到越來越多科技工作者的歡迎。它把計(jì)算、可視化、程序設(shè)計(jì)融合到了一個(gè)交互的工作環(huán)境中，可以實(shí)現(xiàn)工程計(jì)算、算法研究、建模和仿真、數(shù)據(jù)分析及可視化、科學(xué)和工程繪圖、應(yīng)用程序開發(fā)（包括圖形用戶界面程序設(shè)計(jì)）等功能。它在美國等發(fā)達(dá)國家的大學(xué)里已經(jīng)成為一種必須掌握的基本編程語言，而

8、在國外的研究設(shè)計(jì)單位和工業(yè)部門，更是早己成為研究和解決工程計(jì)算問題的一種標(biāo)準(zhǔn)軟件。在國內(nèi)也有越來越多的科學(xué)技術(shù)工作者參加到學(xué)習(xí)和倡導(dǎo)這種語言的行列中來。應(yīng)用MATLAB軟件對選礦用振動篩的振動特性進(jìn)行研究，可以充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)技術(shù)的優(yōu)勢，為選礦用振動篩振動特性研究探索新的途徑。在工程振動中，確定系統(tǒng)固有頻率與主振型是非常重要的。固有頻率是決定系統(tǒng)振動特性的重要物理量，它既是防止系統(tǒng)共振的依據(jù)，又是多自由度系統(tǒng)解耦分析（模態(tài)分析）的前提，因此研究某系統(tǒng)振動時(shí)，首先要求出系統(tǒng)的固有頻率。主振型則為初步分析各構(gòu)件的振動情況以及解耦分析奠定了基礎(chǔ)。對于多自由度振動系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)固有頻率與主振型主要有2種

9、方法1：(1)利用特征矩陣方程式與特征方程式求解；(2)矩陣迭代法求解。2種方法各有各的特色。對于低自由度的振動系統(tǒng)，方法一容易、快捷。但是在實(shí)際工程中，大多數(shù)振動系統(tǒng)都是自由度較多，用特征矩陣方程式與特征方程式求解系統(tǒng)固有頻率與主振型這種傳纜的計(jì)算方法雖然從原則上可行，但當(dāng)自由度增加時(shí)，慣性、剛度陣的階數(shù)增高，計(jì)算量也急劇加大，這顯然很不方便。但采用矩陣迭代法，即使是自由度很大的振動系統(tǒng)，計(jì)算量也只不過是多進(jìn)行矩陣迭代而已，而且假設(shè)的初始矩陣愈接近實(shí)際狀況，迭代的次數(shù)愈少，相應(yīng)的計(jì)算量也愈少。1.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.2.1機(jī)械振動理論的發(fā)展?fàn)顩r及應(yīng)用現(xiàn)狀振動理論是力學(xué)的一個(gè)重要組成部分2，

10、人類對振動現(xiàn)象的認(rèn)識有悠久的歷史。振動力學(xué)的物理基礎(chǔ)在17世紀(jì)已經(jīng)奠定，到了18世紀(jì)，振動力學(xué)已從物理學(xué)中獨(dú)立出來。最主要的成就為線性振動理論的形成，它是與數(shù)學(xué)中的常微分方程和偏微分方程同步發(fā)展的。目前，振動及系統(tǒng)按運(yùn)動微分方程的形式分為以下兩種。線性振動：描述其運(yùn)動的方程為線性微分方程，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。線性振動的一個(gè)重要特性是線性疊加原理成立。非線性振動3:描述其運(yùn)動的方程為非絨性微分方程，相應(yīng)的系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。對于非線性振動疊加原理不再成立。在實(shí)際的振動機(jī)械或振動系統(tǒng)中，嚴(yán)格的講，都是非線性的。但是，建立振動系統(tǒng)的非線性力學(xué)模型難度大，求解困難，有些問題甚至無解可求。在實(shí)際的工

11、程應(yīng)用中，很多情況下在誤差允許的范圍之內(nèi)用線性的方法解決復(fù)雜的近線性問題。線性振動有確定的力學(xué)模型一一線性微分方程，可以求得準(zhǔn)確的解，能夠描述出振動系統(tǒng)的主要特征。由于用線性振動的方法能夠解決眾多的工程實(shí)際問題，線性振動的理論一直倍受關(guān)注，并且在理論和實(shí)驗(yàn)方面已經(jīng)得到很大的發(fā)展和成熟。特別是多自由度系統(tǒng)的振動的理論，可以說既是振動力學(xué)的核心又是應(yīng)用得最廣泛的振動理論。線性振動在當(dāng)今不僅是作為基礎(chǔ)科學(xué)的力學(xué)的一個(gè)重要組成部分，而且正走上向工程科學(xué)發(fā)展的道路，它在航空、機(jī)械、船舶、車輛、建筑、水利等工業(yè)技術(shù)部門中占有愈來愈重要的地位。線性振動的應(yīng)用可分為兩個(gè)方面：一個(gè)方面是減少由于振動而造成的危害

12、，目的在于減振甚至于避免有害的振動；另一個(gè)方面利用振動，如工業(yè)上常采用的振動篩選、振動沉樁、振動輸送以及按振動理論設(shè)計(jì)的測量傳感器、地震儀等等就是這方面的典型例子。選礦用振動篩是振動篩選設(shè)各中的種，線性振動理論在選礦用振動篩的設(shè)計(jì)制造及生產(chǎn)運(yùn)行中有著廣泛的應(yīng)用，有關(guān)這方面的內(nèi)容將在下一節(jié)中詳細(xì)介紹。線性振動的理論在發(fā)展過程中產(chǎn)生了一個(gè)重要分支，那就是模態(tài)分析理論。在對選礦用振動篩進(jìn)行分析時(shí)，需要通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證理論的正確性，振動實(shí)驗(yàn)則需要用到模態(tài)分析技術(shù)。模態(tài)分析技術(shù)從20世紀(jì)60年代后期發(fā)展至今已趨成熟4。它和有限元分析技術(shù)一起，已成為結(jié)構(gòu)動力學(xué)中兩大支柱。模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的種“逆問題”

13、分析方法，它與傳統(tǒng)的“正問題”方法（主要是指有限元方法）不同，是建立在實(shí)驗(yàn)（或?qū)崪y）的基礎(chǔ)上，采用實(shí)驗(yàn)與理論相結(jié)合的方法來處理工程中的振動問題。目前這一技術(shù)已發(fā)展成為解決工程中振動問題的重要手段，在機(jī)械、航空、航天、土木、建筑、造船、化工等工程領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用5。近十年來，模態(tài)分析理論吸取了振動理論、信號處理、信號分析、數(shù)據(jù)處理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)及自動控制理論中的有關(guān)“營養(yǎng)”，結(jié)合自身內(nèi)容的發(fā)展，形成了一套獨(dú)特的理論為模態(tài)分析及參數(shù)識別技術(shù)的發(fā)展奠定了理論基礎(chǔ)。模態(tài)分析的基礎(chǔ)理論概念主要包括；機(jī)械阻抗、導(dǎo)納、傳遞函數(shù)（或頻響函數(shù)）、實(shí)模態(tài)、復(fù)模態(tài)等。模態(tài)測試技術(shù)主要采用同時(shí)測量輸入及輸出的方法，對一個(gè)振

14、動系統(tǒng)來說，可以表示成圖l-1所示的框圖 輸出（響應(yīng)）系統(tǒng)輸入（激勵(lì)）圖1.1 模態(tài)分析框圖Fig. 1.1 Modal Analysis Diagram通過測量激勵(lì)和響應(yīng)，進(jìn)行模念分析可以確定系統(tǒng)。自從FFT問世以來，目前廣泛采用寬頻帶激振技術(shù)。其中主要有脈沖、階躍激勵(lì)，快速正弦掃描等瞬態(tài)激勵(lì)和純隨機(jī)、偽隨機(jī)、周期隨機(jī)、瞬態(tài)隨機(jī)等激勵(lì)方法。此外，由于F弦慢掃描技術(shù)測試精度高，它仍不失為重要激勵(lì)手段。模態(tài)參數(shù)辨識的頻域方法有：分量分析法、導(dǎo)納圓辨識方法、正交多項(xiàng)式曲線擬合、非線性優(yōu)化辨識方法等。模態(tài)參數(shù)辨識的時(shí)域方法與模態(tài)參數(shù)辨識的頻域方法不同，它無需將所測得的響應(yīng)與激勵(lì)的時(shí)間歷程信號變換到頻

15、域中去，而是直接在時(shí)域中進(jìn)行參數(shù)辨識。它與頻域法相比，兩者所采取的分析路線不同，如圖1.2所示。傳遞函數(shù)模態(tài)參數(shù)頻率信號時(shí)域信號參數(shù)傳遞函FFT識 別數(shù)估計(jì)圖1.2 模態(tài)參數(shù)辨識分析路線框圖Fig.1.2 Modal parameter identification of line diagram時(shí)域法比頻域法發(fā)展較晚，但近幾年來有長足的進(jìn)展。自70年代以來主要有：Ibrahim時(shí)域法（簡稱LTD法）、最小二乘復(fù)指數(shù)法(LSCE法)、多參考點(diǎn)復(fù)指數(shù)法(PRCE法)、特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(ERA)。模態(tài)分析技術(shù)在動態(tài)載荷識別、模型修正與結(jié)構(gòu)動力修改中有廣泛的應(yīng)用，結(jié)構(gòu)動態(tài)特征靈敏度分析是非常重要的方

16、法之一。模態(tài)綜合技術(shù)主要有組合系統(tǒng)法和模態(tài)綜合法。隨著電子技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，模態(tài)分析已成為解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動問題的主要工具，并與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)計(jì)算機(jī)輔助實(shí)驗(yàn)(CAT)相結(jié)合，進(jìn)入產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段，作為計(jì)算機(jī)輔助工程中的重要環(huán)節(jié)，有著廣泛的應(yīng)用6。 1.2.2 MATLAB軟件的發(fā)展?fàn)顩r及應(yīng)用現(xiàn)狀MATLAB軟件概述：MATLAB的名稱源自Matrix Laboratory，是一門計(jì)算語言口7。在工程計(jì)算領(lǐng)域，計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用正逐步將科技人員從繁重的計(jì)算工作中解放出來。在科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用的過程中，一些技術(shù)人員嘗試用Basic，F(xiàn)ortran以及C語言編制程序來減輕計(jì)算的工作量，但

17、編制程序不僅要掌握所用語-的語法，還要對有關(guān)算法進(jìn)行深入分析。為了滿足用戶對工程數(shù)學(xué)計(jì)算的要求，MATLAB的功能、特點(diǎn)、應(yīng)用范圍：MATLAB越來越廣地被人們應(yīng)用是源于它在求解方程、數(shù)值計(jì)算、程序編寫上的優(yōu)點(diǎn)，而它的這些優(yōu)點(diǎn)是由它的功能和特點(diǎn)決定的。MATLAB的主要功能:(1)數(shù)值計(jì)算功能，一條MATLAB語句相當(dāng)于幾十條C語言或Fortran語言的語句。(2)符號計(jì)算功能，利用MATLAB的符號計(jì)算功能可以清晰地獲得解的表達(dá)式，對于避免出錯(cuò)和提高程序的可讀性均有很大的幫助。(3)數(shù)據(jù)分析和可視化功能，在科學(xué)計(jì)算和研究工作中，技術(shù)人員經(jīng)常會遇到大量的原始數(shù)據(jù)，而對數(shù)據(jù)的分析往往難于入手。M

18、ATLAB能將這些數(shù)據(jù)以圖形的方式顯示出來，不僅使數(shù)據(jù)間的關(guān)系清晰明了，而且對于揭示其內(nèi)在本質(zhì)往往有著非常重要的作用。MATLAB提供了良好的用戶界面，許多函數(shù)本身會自動繪制出圖形，而且會自動選取坐標(biāo)刻度，繪制出直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)、對數(shù)坐標(biāo)下的二維和三維圖形，以及條形圖、直方圖、等高線圖、餅形圖、離散數(shù)據(jù)圖和瀑布圖等專用圖形。(4)文字處理功能。MATLAB的主要特點(diǎn)： (1)功能強(qiáng)大，MATLAB不但在數(shù)值計(jì)算和符號計(jì)算方面具有強(qiáng)大的功能，而且在計(jì)算結(jié)果的分析和數(shù)據(jù)可視化方面也有著其它類似軟件難以匹敵的優(yōu)勢9。Notebook，Simulink功能以及各種專業(yè)工具箱將MATLAB的應(yīng)用擴(kuò)展到非

19、常廣的領(lǐng)域。(2)界面友好、編程效率高，MATLAB的指令表達(dá)方式與標(biāo)準(zhǔn)教科書的數(shù)學(xué)表達(dá)式非常相近，用戶不需要有較高的計(jì)算機(jī)編程基礎(chǔ)，只要按照計(jì)算要求輸入表達(dá)式，MATLAB將為用戶計(jì)算出結(jié)果。同時(shí)使用MATLAB語言設(shè)計(jì)的程序，其編譯和執(zhí)行速度都超過了傳統(tǒng)c和Fortran語言設(shè)計(jì)的程序，在工程計(jì)算方面的編程效率也高于其它編程語言。(3)擴(kuò)展性強(qiáng)，MATLAB的最重要特點(diǎn)之一就是它的可擴(kuò)展性。這個(gè)特點(diǎn)使得用戶能夠自由地開發(fā)自己的應(yīng)用程序。這些年來，許多使用MATLAB的科學(xué)家、工程師和技術(shù)人員已經(jīng)開發(fā)出相當(dāng)多的不同領(lǐng)域的應(yīng)用程序。MATLAB的應(yīng)用范圍：MATLAB由主包和各種工具箱組成。主

20、包是MATLAB的核心，工具箱是擴(kuò)展的有專門功能的函數(shù)。例如，控制系統(tǒng)工具箱應(yīng)用于連續(xù)和離散系統(tǒng)設(shè)計(jì)、頻域和時(shí)域響應(yīng)等控制領(lǐng)域；信號處理工具箱應(yīng)用于自適應(yīng)去噪和壓縮、譜分析和估計(jì)等信號處理領(lǐng)域；通信工具箱應(yīng)用于信號編碼、調(diào)制解調(diào)等通信領(lǐng)域。應(yīng)用MATLAB的各種工具箱可以在很大程度上減小用戶編程時(shí)的復(fù)雜度，因此MATLAB在很廣的領(lǐng)域內(nèi)得到了應(yīng)用，其典型應(yīng)用有；自動控制、圖像信號處理、生物醫(yī)學(xué)工程、語音處理、雷達(dá)工程、信號分析、振動理論、時(shí)序分析與建模、化學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等1.3 MATLAB語言的優(yōu)點(diǎn)MATLAB作為一個(gè)以矩陣和數(shù)組為核心計(jì)算的軟件，對矩陣迭代法中的矩陣迭代計(jì)算尤其適合10

21、。就所查的資料看，以前的學(xué)者和研究人員迭代求解系統(tǒng)固有頻率與主振型時(shí)，大部分都是用Visiual Basic或Fortran語言來編寫程序11。限于Visiual Basic或Fortran本身語句以及語法的局限性，用這種高級語言編寫的程序涉及到選擇合適的算法和編寫冗長的語言代碼以及鍵入和調(diào)試等一系列問題。即使有現(xiàn)成的標(biāo)準(zhǔn)予程序可供調(diào)用，要在一些較復(fù)雜的、科研問題中編寫一個(gè)完整的程序仍然是一個(gè)復(fù)雜的、技巧性很強(qiáng)的工作。因此，用高級語言編寫的程序一般代碼段較長，需要調(diào)用的子程序較多，整個(gè)程序的通讀性較差。相反，MATLAB則有簡潔、可讀性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。1.4本文研究的內(nèi)容 振動機(jī)械在國民經(jīng)濟(jì)中占有重

22、要的位置，振動篩是振動機(jī)械中的重要一員。一直以來有許多人對振動篩進(jìn)行設(shè)計(jì)和研究，但是，振動篩的動態(tài)設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)近年來剛剛起步。振動特性是振動篩非常重要的有別于非振動機(jī)械的一個(gè)本質(zhì)特點(diǎn)，卻往往被設(shè)計(jì)者和制造者簡單化?？陀^的說，一般的振動都是非線性的，但在許多情況下可以近似看作線性來處理。線性振動理論不論從基礎(chǔ)理論還是實(shí)驗(yàn)技術(shù)方面近年來都有很大的發(fā)展，特別是應(yīng)用現(xiàn)代化振動測試儀器測量振動信號以及應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件來分析處理振動信號，為從事振動研究的科技人員帶來了極大的方便。 把振動的理論應(yīng)用到工程實(shí)際中去，切實(shí)解決工程中遇到的實(shí)際的振動問題是研究振動理論的根本目的。需要對該力學(xué)模型進(jìn)行深入的分

23、析（借助MATLAB軟件進(jìn)行仿真分析）。本文主要利用MATLAB對振動系統(tǒng)進(jìn)行模擬分析對于虛擬抽象的理論圖像化，處理單自由度振動的3個(gè)阻尼和強(qiáng)迫單自由度阻尼振動，多自由度系統(tǒng)振動矩陣迭代求解。2單自由度系統(tǒng)的振動2.1 單自由度振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立12建立和分析有粘性阻尼時(shí)的自由度振動微分方程。以靜平衡位置為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)，由牛頓定律得運(yùn)動方程為13:xkxxmmcm (2-1)令其中稱為衰減系數(shù)，單位為；是相應(yīng)的無阻尼時(shí)的固有頻率，式(2-1)可以寫為： (2-2)如果進(jìn)一步令 (2-3)其中無量綱的稱為相對阻尼系數(shù)，則式(2-2)可寫為： (2-4)為了求解，令 (2-6)代入(2-4

24、)后得到特征方程： (2-7)他的兩個(gè)特征根為： (2-8)根據(jù)相對阻尼系數(shù)的不同大小，可以將阻尼分為三種狀態(tài)：時(shí)為過阻尼，時(shí)為臨界阻尼，時(shí)為欠阻尼。1） 過阻尼狀態(tài)，與是兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，令 （2-9）初始條件 （2-10）系統(tǒng)初始條件響應(yīng)為 （2-11）臨界阻尼狀態(tài)是二重根，方程（2-4）的通解為系統(tǒng)對式（2-10）的初始條件的響應(yīng)為 （2-12）欠阻尼狀態(tài)，其中 （2-13）初始條件響應(yīng) （2-14）2.2 參數(shù)設(shè)定與求解 阻尼比分別取；應(yīng)用Matlab對式(2-11)和(2-12),（2-14）求解。程序如下： clear,format compact;a=0.5;t=0:0.1:18

25、;w0=1; k=1;x0=1; wd=w0.*sqrt(1-a*a);x1=wd y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cos(wd.*t)+(x1+a*wd*x0)./wd)*sin(wd.*t) figure(1),plot(t,y,r);hold on a=1.0;t=0:0.1:18; w0=1;wd=1;x1=wd; y=exp(-wd.*t).*(x0+(x1+wd*x0).*t); figure(1),plot(t,y,d);hold on a=2.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=w0*sqrt(a*a-1); y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cos

26、h(wd.*t)+(x1+a*w0*x0)/w0.*sinh(t);figure(1),plot(t,y,v);hold on結(jié)論：圖2-2為Matlab計(jì)算后給出的響應(yīng)曲線，從中可以得到一些重要的結(jié)論14：在的情況下，階躍信號輸入時(shí)，輸出信號為衰減振蕩，其振蕩角頻率（阻尼振蕩角頻率）為，幅值按指數(shù)衰減越大，阻尼越大，衰減越快。時(shí)，振蕩系統(tǒng)等同于兩個(gè)一階系統(tǒng)串聯(lián)。此時(shí)雖然不產(chǎn)生振蕩，但也需要經(jīng)過較長時(shí)間才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)。在一定的之下，欠阻尼系統(tǒng)能夠更快地達(dá)到穩(wěn)態(tài)值；而過阻尼系統(tǒng)反應(yīng)遲飩，動作緩慢，所以系統(tǒng)通常設(shè)計(jì)成欠阻尼系統(tǒng)，取值為2圖2-2算例繪制無阻尼單自由度系統(tǒng)的固有頻率和周期隨靜變形的變化

27、曲線。固有頻率和周期，取?？梢岳孟铝蠱ATLAB程序畫出在00.5范圍內(nèi)和的變換曲線：%Ex2_17.mg=9.81;for i=1:101 t(i)=0.01+(0.5-0.01)*(i-1)/100;w(i)=(g/t(i)0.5;tao(i)=2*pi*(t(i)/g)0.5;endplot(t,w);gtext(w_n);hold on;plot(t,tao);gtext(T_n);xlabel(delta_s_t);title(Example2.1);2.3單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動15簡諧激勵(lì)是激勵(lì)形式中最簡單的一種，雖然它在實(shí)際中存在的場合比較少但掌握系統(tǒng)對于簡諧激勵(lì)的響應(yīng)的規(guī)律，

28、是理解系統(tǒng)對周期激勵(lì)或更一般形式激勵(lì)的響應(yīng)基礎(chǔ)。圖所示的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中，質(zhì)量塊上作用有簡諧激振力 (2-15)P(t)kxckxmP(t) 其中為激振力幅，為激振頻率。以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立圖示的坐標(biāo)系。從圖的受力分析，得到運(yùn)動微分方程為： (2-16)由常微分方程理論知道，方程(3.2)的通解由相應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程的任意特解兩部分組成，即 (2-17)當(dāng)欠阻尼時(shí)，式中為有阻尼自由振動，它的特點(diǎn)是振動頻率為阻尼固有頻率，振幅按指數(shù)規(guī)律衰減，稱為瞬態(tài)振動或瞬態(tài)響應(yīng)；是一種持續(xù)的等幅振動，它是由于簡諧激勵(lì)振力的持續(xù)作用而產(chǎn)生的，稱之為穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動或穩(wěn)態(tài)振動，在間隔充分長時(shí)間考慮的振

29、動就是這種穩(wěn)態(tài)振動，而在剛受到外界激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)則是上述兩種振動之和?？梢姡到y(tǒng)受簡諧激勵(lì)后的響應(yīng)可以分為兩個(gè)階段，一開始的過程稱為過渡階段，經(jīng)充分長時(shí)間后，瞬態(tài)響應(yīng)消失這時(shí)進(jìn)入過渡階段，經(jīng)充分長時(shí)間后，瞬態(tài)響應(yīng)消失，這是進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段。將方程（2-15）的兩端同除以質(zhì)量，并且令 （2-18）其中為相對阻尼系數(shù)，為相應(yīng)的無阻尼系統(tǒng)的固有頻率，則方程（2-15）成為 （2-19）上述方程特解可以通過或者來求得，這里介紹用復(fù)數(shù)方法求式（2-19）的特解。先將式（2-19）寫為下列的復(fù)數(shù)形式 （2-20）其中是復(fù)數(shù)設(shè)復(fù)數(shù)形式的特解為 （2-21）其中稱為復(fù)振幅，其意義是包含有相位的振幅。將式（2-

30、21）代入（2-20），解得 （2-22）記為頻率比，它定義為 （2-23）則式（2-22）可以寫成 （2-24）式中 （2-25） （2-26）將式（2-24）代入（2-21），得到復(fù)數(shù)形式的特解為 （2-27）比較方程（2-17）與（2-18），可知（2-19）中的位移是（2-20）中復(fù)數(shù)的虛部，因此（2-25）的虛部就是方程（2-12）的特解，即有 （2-28）其中為振幅，為相位差。由式（2-26）、2-23）及（2-24）得出穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動有如下的基本特點(diǎn)：1) 線性系統(tǒng)對簡諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激勵(lì)頻率而相位滯后與激振力的簡諧振動；2) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位差只取決于系統(tǒng)本身的物

31、理性質(zhì)和激振的頻率及力幅，而與系統(tǒng)本身進(jìn)入運(yùn)動的方式無關(guān)。無阻尼系統(tǒng)對簡諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以從式（2-26）得出。當(dāng)時(shí)，得到，這時(shí) （2-29）當(dāng)時(shí)，得到，這時(shí) （2-23）式（2-21）也可以寫成（2-22）的形式，這時(shí)相位差反映在振幅的符號中。上述結(jié)果也可以由直接設(shè)并代入下列方程而得到： （2-24）為了具體討論影響穩(wěn)定響應(yīng)的振幅和相位差的各種因素，記 （2-25）實(shí)際是質(zhì)量塊在激振力幅靜作用下的最大位移。再引入無量綱的振幅放大因子，它定義為 （2-26）由式（2-26）和（2-19）可以分別畫出以相對阻尼系數(shù)為參數(shù)的曲線曲線與曲線，前者稱為幅頻響應(yīng)曲線，后者稱為相頻響應(yīng)曲線如圖所示程序如

32、下for kesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0 lamda=0:0.01:5.0; beta=1./(sqrt(1-lamda.2).2+(2*kesai*lamda).2); plot(lamda,beta) hold onendaxis(0 5 0 3);偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動振幅放大因子 (2-27)程序如下：for kesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50 lamda=0:0.01:5.0; beta=lamda./(sqrt(1-lamda.2).2+(2*kesai*lamda).2); plot(lamd

33、a,beta) hold onendaxis(0 5 0 3);支撐運(yùn)動引起的強(qiáng)迫振動振幅放大因子 (2-28)程序如下：for kesai=0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0 lamda=0:0.01:5.0; beta=sqrt(1+(2*kesai*lamda).2)./(1-lamda.2).2+(2*kesai*lamda).2); plot(lamda,beta) hold onendaxis(0 5 0 3);算例利用MATLAB，繪制彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)在簡諧力作用下的響應(yīng)曲線。已知數(shù)據(jù)如下：。系統(tǒng)全解形式如下：式中，利用MATLAB繪制解曲線上式的

34、程序如下：%Ex3_11.mF0=100;wn=20;m=5;w=30;x0=0.1;x0_dot=0.1;f_0=F0/m;for i=1:101 t(i)=2*(i-1)/100; x(i)=x0_dot*sin(wn*t(i)/wn+(x0-f_0/(wn2-w2)*cos(wn*t(i)+f_0/(wn2-w2)*cos(w*t(i);endplot(t,x);xlabel(t);ylabel(x(t);title(Ex3.11)2.4本章小結(jié)基于MATLAB對單自由度自由振動繪制振動圖像，進(jìn)行粘性阻尼，強(qiáng)迫振動振幅放大因子繪圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，使振動數(shù)據(jù)更加明顯。3 基于MATLAB的多

35、自由度系統(tǒng)編程分析 3.1 多自由度系統(tǒng)16多自由度振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型： （3-1）其中、和分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、力向量和響應(yīng)向量。把這個(gè)時(shí)域矩陣方程變換到拉氏域（變數(shù)為），并假定初始位移和初始速度為零，則得： （3-2）或 （3-3）式中 ：動剛度矩陣。由式3-2）或（3-3）可以得出傳遞函數(shù)矩陣： （3-4）借助矩陣相關(guān)理論計(jì)算出來： （3-5）式中 ：為伴隨矩陣； ：為的行列式。 式（3-5）的分母，叫做系統(tǒng)的特征方程。類似單自由度系統(tǒng)，特征方程的根，即系統(tǒng)極點(diǎn)，決定系統(tǒng)的共振頻率。應(yīng)為一般粘性阻尼矩陣，不一定滿足矩陣可對角化條件，為了把系統(tǒng)方程（3-2）轉(zhuǎn)化為一般特征值問

36、題公式，需引入恒等式： （3-6）將此式與（3-2）合并： （3-7）其中 , , 令=, 則（3-7）的特征值滿足下列方程： （3-8）對于自由度系統(tǒng)，此方程有個(gè)復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征根： 其中阻尼因子；為阻尼固有頻率。3.2 第一階固有頻率及主振型17,18在求解系統(tǒng)動力響應(yīng)時(shí)，系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型占有重要的地位，為計(jì)算它們而采用下面的矩陣迭代法是比較簡單的。將帶入公式中，得 （3-9）若將上式左端看作新列陣，上式表示：對于精確的主振型。新列陣() 與原來的列陣的各個(gè)對應(yīng)元素之間都相差同一常倍數(shù)，這個(gè)常倍數(shù)即特征值。記為初始迭代列陣，由展開定理，可以表示為 （3-10）對上式

37、左乘矩陣A，由式（3-9）得知第一次迭代后所得的列陣為=（3-11）如果特征值不是特征方程的重根，那么上式中的都小于1，因此比起其他主振型在內(nèi)占的比重相對地比在中占的比重大，換句話說，用矩陣A迭代計(jì)算一次后，擴(kuò)大了迭代列陣中第一階主振型的優(yōu)勢。經(jīng)第二次迭代后，得同理第（r-1）次迭代后的結(jié)果為 （3-12）可見隨著次數(shù)的增加，第一階主振型的優(yōu)勢越來越擴(kuò)大，當(dāng)?shù)螖?shù)充分大時(shí)，由上式近似地得 （3-13）這時(shí)再迭代一次，得出 （3-14）由此看到迭代后的新列陣與原來列陣的各個(gè)對應(yīng)元素之間都僅相差一倍數(shù)，所以或就是對應(yīng)于的第一階主振型，而特征值可由下式算出 （3-15）其中列陣的第個(gè)元素。為防止迭

38、代過程中迭代列陣的元素變得過大或過小，每次迭代后需要使列陣歸一化，例如使它最后一個(gè)元素成為1。下面是實(shí)用的矩陣迭代法的計(jì)算步驟：1) 選取初始迭代列陣使其最后一個(gè)元素為1；2) 對作矩陣迭代，并使新列陣歸一化，即 ， （3-16）3)重復(fù)步驟（2），第r次的迭代結(jié)果為， （3-17）4)若在允許的誤差范圍內(nèi)有=，則將或取作第一階主振型，由式（3-15）得知 （3-18）因而第一階固有頻率為 （3-19）由式（3-12）看出，矩陣迭代法計(jì)算及收斂速度取決于比值，越小，收斂的越快，上述的矩陣迭代法又稱為逆迭代法。kk2km2mm 圖4-2 分析圖 Fig.4-2 analysis chart用矩陣

39、迭代法求解過程如下：解 用影響系數(shù)法求得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為，算出K的逆陣及系統(tǒng)的動力矩陣為，若，第一次迭代后得到， 重復(fù)上述步驟，各次的迭代結(jié)果列于表4-1。由表可見，經(jīng)過6次迭代后已有，所以第一階主振型及基頻取為，表4-1 第一階主振型的迭代Tab.4-1 The first order iteration of principal moder 12345671110.0.1.0.0.1.0.0.1.0.0.1.0.0.1.0.0.1.87.7.7.7.7.算例分析clc;clear;%建立質(zhì)量矩陣M，剛度矩陣Ksyms k m;M=m 0 0 0 m 0 0 0 2*m;K=2*k

40、 -k 0 -k 3*k -2*k 0 -2*k 2*k;%*迭代第n階主陣型*%n為計(jì)數(shù)器%n=1;while n=0.&abs(X(2,i,n)-X(2,i+1,n)0. Y(:,i+1,n)=A(:,:,n)*X(:,i+1,n); X(:,i+2,n)=Y(3,i+1,n).Y(:,i+1,n); X(:,2); i=i+1; end % X(:,:,n) f(:,n)=X(:,i,n); t(n)=Y(3,i,n); MP(:,n)=f(:,n)*M*f(:,n); n=n+1;end%輸出數(shù)據(jù)過程disp(第一階主陣型的迭代結(jié)果);X(:,:,1)disp(第二階主陣型的迭代結(jié)果)

41、;X(:,:,2)disp(第三階主陣型的迭代結(jié)果);X(:,:,3)disp(i的計(jì)算結(jié)果，矩陣的每列分別是1,2 ，3階的);fdisp(#*注意*主陣型的迭代結(jié)果后面的0是系統(tǒng)的占位符號，不算計(jì)算結(jié)果);3.3 本章小結(jié)在工程振動中，確定系統(tǒng)固有頻率與主振型時(shí)是非常重要的。我們在計(jì)算系統(tǒng)固有頻率與主振型可以采用矩陣迭代的方法求解，相對于以前所采用的算法語言（Fortran、C語言等），本文采用MATLAB語言，不僅相對語句少，可讀性強(qiáng)，還可以利用MATLAB的繪圖功能對結(jié)果進(jìn)行直觀地分析。只要輸入必要的數(shù)據(jù)，就可以快速地獲得振動系統(tǒng)的固有頻率以及主振型，對設(shè)計(jì)人員計(jì)算復(fù)雜多自由度系統(tǒng)固有

42、頻率具有參考意義，并為初步分析各構(gòu)件的振動情況以及解耦分析系統(tǒng)響應(yīng)奠定了基礎(chǔ)。4 連續(xù)系統(tǒng)的振動4.1 運(yùn)動微分方程19考慮長為的彈性弦或索，每單位長度受大小為的橫向力作用，作用在單位上的外力等于作用在單元上的慣性力，即 （4-1）其中，是張力；為每單位長度的質(zhì)量；為弦相對于軸偏離的角度。對微長度，有 （4-2） （4-3）和 （4-4）因此非均勻弦受強(qiáng)迫振動的運(yùn)動微分方程式（4-1）可以簡化為 （4-5）如果弦是均勻的，且張力為常力，則式（4-5）簡化為 （4-6）如果，則得自由振動方程為 （4-7）或 （4-8）其中 （4-9）式（4-8）即為著名的波動方程。4.2梁的橫向振動兩端固定梁邊

43、界條件20頻率方程和主振型(1)(2) clear;clc;b(1)=4.;b(2)=7.;b(3)=10.;b(4)=14.;for i=1:3 c(i)=b(i)./3; r(i)=(sin(b(i)+sinh(b(i)./(cos(b(i)-cosh(b(i); yx=(x) cos(c(i)*x)-cosh(c(i)*x)+r(i)*(sin(c(i)*x)-sinh(c(i)*x); fplot(yx,0,3); title(兩端固定，Ci取1，梁長取3。); hold on;endhold off;兩端自由梁邊界條件：頻率和主振型(1)(2)clear;clc;b(1)=4.;b(

44、2)=7.;b(3)=10.;b(4)=14.;for i=1:3 c(i)=b(i)./3; r(i)=(sin(b(i)+sinh(b(i)./(cos(b(i)-cosh(b(i); yx=(x) cos(c(i)*x)+cosh(c(i)*x)+r(i)*(sin(c(i)*x)+sinh(c(i)*x); fplot(yx,0,3); title(兩端自由，Ci取1，梁長取3。); hold on;endhold off;初始條件21,22：由于運(yùn)動微分方程涉及對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)與對的四階導(dǎo)數(shù)，因而為得到唯一確定得解，需要2個(gè)初始條件與4個(gè)邊界條件為 （4-10）自由振動可以利用分離變

45、量法求自由振動得解，即令 （4-11）將式（4-11）代入式運(yùn)動微分方程經(jīng)整理后有 （4-12）其中，為正的常量式，式（4-12）可以表示為兩個(gè)式子： （4-13） （4-14）其中 （4-15）式（4-14）的解可以表示為 （4-16）其中，與為常量，可以根據(jù)初始條件確定。為求式（4-13）的解，假定 （4-17）其中，與為常量。將式（4-17）代入（4-13）后得 （4-18）該方程的根為，（4-19）因此方程（4-13）的解為（4-20）其中，與為常量。式（4-20）也可以表示為 （4-21）或（4-22）在每種不同的形式下，為不同的常量。可以由邊界條件確定。亮的固有頻率可由式（4-15

46、）計(jì)算，即 （4-23）函數(shù)稱為梁的固有振型函數(shù)，為振動的固有頻率。式（4-21）或式（4-22）中的位置常量，與以及式（4-23）中的值可以根據(jù)梁的邊界條件確定。常見梁的邊界條件 1)自由端：彎矩和剪力分別為零，即 （4-24） 2)簡支端：撓度和彎矩分別為零，即 （4-25） 3)固定端：撓度和轉(zhuǎn)角分別為零，即 （4-25）4)梁的兩端與彈簧、阻尼器和質(zhì)量塊相連。當(dāng)梁的末端產(chǎn)生橫向位移、轉(zhuǎn)角、速度與加速度時(shí)，由于彈簧、阻尼器以及質(zhì)量塊所受的阻力分別與， 與成比例，而在該末端阻力由簡歷來平衡，于是 （4-26）5)梁的末端與扭轉(zhuǎn)彈簧、扭轉(zhuǎn)阻尼器與轉(zhuǎn)動慣性元件相連、這種情況下，邊界條件為 （4

47、-27）強(qiáng)迫振動23可以運(yùn)用振型疊加法求梁的強(qiáng)迫振動解。假設(shè)梁的撓度為 （4-28）其中，為第階固有振型函數(shù)或滿足微分方程的特征函數(shù)：， （4-29）為對應(yīng)的廣義坐標(biāo)。將式（4-28）代入強(qiáng)迫振動方程中，得 （4-30）根據(jù)式（4-29），式（4-30）可以表示為 （4-30）用乘以式，再從0積分到，利用正交條件，得 （4-31）其中，稱為相對于的廣義力，其值為 （4-32）常量為 （4-33）本質(zhì)上，式（4-31）可以視為無阻尼單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動方程。運(yùn)用杜哈美積分，式（4-31）的解可以表示為 （4-34）算例作圖表示 （4-35）%Ex8_14.mx=20;f0=100;a=10;A=1;l=40;ro=0.283/386.4;w=100;n=1;wn=(n2)*360.;for i=1:1001 t(i)=3*(i-1)/100; w1(i)=(2*f0/(ro*A*1)*sin(n*pi*a/