1、2011年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)：攻略探索性問題一、考情分析探索性問題常常需要由給定的題設(shè)條件去探索相應(yīng)的結(jié)論，或由問題的題干去追溯相應(yīng)的條件，要求在解題之前必須透過問題的表象去尋找、去發(fā)現(xiàn)規(guī)律性的東西。問題增加了許多可變的因素，思維指向不明顯，解題時(shí)往往難于下手。近年來，探索性問題在高考試題中多次出現(xiàn)，主要有以下幾類：(1)探索條件型問題：從給定的問題結(jié)論出發(fā)，追溯結(jié)論成立的充分條件；(2)探索結(jié)論型問題：從給定的題設(shè)條件出發(fā)，探求相關(guān)的結(jié)論；(3)探索存在型問題：從假設(shè)相關(guān)結(jié)論存在出發(fā)，從而肯定或否定這種結(jié)論是否存在；(4)探索綜合型問題：從變更題設(shè)條件或問題的結(jié)論的某個(gè)部分出發(fā)，探究問題的相應(yīng)變化

2、。二、高考預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)年數(shù)學(xué)試卷中繼續(xù)保持了探索型、開放型、研究型等題型，形式上也會(huì)有所突破，如只猜不證，只算不寫等；填空題中出現(xiàn)了條件、結(jié)論完全開放的設(shè)計(jì)，題型的創(chuàng)新，帶來了新的理念，這必將促進(jìn)教學(xué)的創(chuàng)新。三、突破策略問題的條件不完備，結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征，從探索性問題的解題過程來看，沒有確定的模式，可變性多，對(duì)觀察、試驗(yàn)、聯(lián)想、類比、猜想、抽象、概括，特別是對(duì)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力要求較高，探索性問題的解題策略有：1攻略之一特殊值探路，一般化證明從最簡(jiǎn)單、最特殊的情況出發(fā)，有時(shí)也可借助直覺觀察或判斷，推測(cè)出命題的結(jié)論，必要時(shí)給出嚴(yán)格證明?！纠?】已知試判斷與的大小關(guān)系。解析：由，

3、 ，猜想出結(jié)論：當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)、3、4時(shí)，當(dāng)或時(shí)，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性。2攻略之二假設(shè)存在，推理檢驗(yàn)此類題型需從題目所給出的條件及所探求的結(jié)論兩方面入手，充分挖掘題設(shè)條件的內(nèi)涵與外延，積極向所探究的結(jié)論靠攏。解答這類問題的一般思路是：先假定對(duì)象存在，運(yùn)用條件進(jìn)行推理。若得到相應(yīng)的合理結(jié)論，斷言這個(gè)對(duì)象是存在的；若出現(xiàn)矛盾，則否定先前假設(shè)，斷言對(duì)象是不存在的。【例2】拋物線過定點(diǎn)a（0，2）且以x軸為準(zhǔn)線。（1）求拋物線的頂點(diǎn)m的軌跡c。（2）問過定點(diǎn)b，1是否存在一對(duì)互相垂直的直線同時(shí)都與軌跡c有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論。解析：（1）利用數(shù)形結(jié)合法，根據(jù)拋物線定義可求得動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為

4、：x +4（y1）= 4（y0）（2）過點(diǎn)b的直線與曲線c有交點(diǎn)需滿足什么條件？?jī)芍本€垂直的條件又是什么？這兩者中有何關(guān)系？從而推出合理的結(jié)論。設(shè)過點(diǎn)b，1的直線l為：y1=k（x+），l與c有交點(diǎn)的條件為方程組 有解現(xiàn)假設(shè)存在一對(duì)過b且與軌跡c有公共點(diǎn)的互相垂直的直線l和l，則有,但由上述結(jié)果知這就產(chǎn)生矛盾，故這樣的直線不存在?！纠?】（2008年湖北高考試題）已知數(shù)列和滿足：,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)。（）對(duì)任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；（）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（）設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。（）證

5、明：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有a22=a1a3，即矛盾。所以an不是等比數(shù)列。()解：因?yàn)閎n+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n（an-3n+21）=-bn又b1=-(+18),所以當(dāng)18，bn=0(nn+),此時(shí)bn不是等比數(shù)列：當(dāng)18時(shí)，b1=(+18) 0,由上可知bn0，(nn+).故當(dāng)-18時(shí)，數(shù)列bn是以（18）為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.()由（）知，當(dāng)=-18,bn=0,sn=0,不滿足題目要求.-18，故知bn= -（+18）（）n-1，于是可得sn=-要使asnb對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a-(+18)1

6、（）nb(nn+) 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1f(n)f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,于是，由式得a-(+18),當(dāng)a3a存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有asn0)。用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是（ ）。4. （2009安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是 a. b. c. d. 5.觀察sin220+cos250+sin20cos50=,sin215+cos245+sin15cos45=，寫出一個(gè)與以上兩式規(guī)律相同的一個(gè)等式 .6. （2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為

7、，則，成等差數(shù)列。類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列。7. （2009全國卷文）（本小題滿分12分）已知橢圓c: 的離心率為 ，過右焦點(diǎn)f的直線l與c相交于a、b 兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)o到l的距離為（）求a,b的值；（）c上是否存在點(diǎn)p，使得當(dāng)l繞f轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的p的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由。8.（2009北京卷理）如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大??；（）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說明理由.參考答案1.解析：l且l,mlm.且ll,但不能推出lm.

8、lm,lm,由m.lm,不能推出.答案：b2.解析：選1.1元5張，0.6元2張，0.8元1張.故8張.答案：b3. 答案：c解析：先考查拼成三棱柱(如圖1)全面積：s1=,再考查拼成四棱柱(如圖2)全面積.(1)若ac=5a,ab=4a,bc=3a則該四棱柱的全面積為s2=(2)若ac=4a,ab=3a,bc=5a則該四棱柱的全面積為s2=(3)若ac=3a,ab=5a,bc=4a則該四棱柱的全面積為s2=又在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，從而知即a的取值范圍是 。4. axdycoy=kx+解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分abc由得a（1，1），又b（0，4），c（

9、0，）abc=，設(shè)與的交點(diǎn)為d，則由知，選a。 5.解析：由5020=(4515)=30可得sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=.答案：sin2+cos2(+30)+sincos(+30)=6. 答案： 解析：對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，成等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力7. 解：（）設(shè) 當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，其方程為到的距離為 故 ， 由 得 ，=（）c上存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立。由 （）知c的方程為+=6. 設(shè) () c 成立的充要條件是，

10、 且整理得 故 將 于是 , =,代入解得，此時(shí)于是=， 即因此， 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 。（）當(dāng)垂直于軸時(shí)，由知，c上不存在點(diǎn)p使成立。綜上，c上存在點(diǎn)使成立，此時(shí)的方程為。點(diǎn)評(píng)：本題考查解析幾何與平面向量知識(shí)綜合運(yùn)用能力，第一問直接運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式以及橢圓有關(guān)關(guān)系式計(jì)算，第二問利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)關(guān)系解決問題，注意特殊情況的處理。8.解法1（）pa底面abc，pabc.又，acbc.bc平面pac.（）d為pb的中點(diǎn)，de/bc，又由（）知，bc平面pac，de平面pac，垂足為點(diǎn)e.dae是ad與平面pac所成的角，pa底面abc，paab，又pa=ab，abp為等腰直角三角形，在rtabc中，.在rtade中，與平面所成的角的大小.（）ae/bc，又由（）知，bc平面pac，de平面pac，又ae平面pac，pe平面pac，deae，depe，aep為二面角的平面角，pa底面abc，paac，.在棱pc上存在一點(diǎn)e，使得aepc，這時(shí)，故存在點(diǎn)e使得二面角是直二面角.解法2：以a為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，由已知可得 . （），bcap.又，bc