1、主講:符春生,第四章,彎曲內(nèi)力,一、平面彎曲,4-1 概述,外力特點:外力是垂直于桿軸線的 力,或作用在包含軸線在 內(nèi)的平面內(nèi)力偶。,變形特點:軸線彎成曲線。橫截面 繞垂直于軸線的軸作相對轉(zhuǎn)動。,以彎曲為主要變形的桿梁。,若外力或外力偶作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，桿的軸線在此平面內(nèi)彎成一平面曲線平面彎曲（對稱彎曲）。,二、梁的種類,1、簡支梁:,一端固定鉸支座,另一端可動鉸支座.,例: 公路橋主梁;,廠房中的吊車梁等.,2、外伸梁:,簡支梁的一端或兩端伸出支座外.,例: 火車車軸;,碼頭的主梁等.,3、懸臂梁:,一端固定,另一端自由.,例: 擋水結(jié)構(gòu):,房屋結(jié)構(gòu)中外跳部分等.,4.多跨靜定聯(lián)合梁:,次

2、梁,主梁,由主梁和次梁組成,例:大跨度的橋梁,4-2、彎曲內(nèi)力-剪力和彎矩,由Fy =0， FA- F1 - FS =0 得 FS = FA- F1,由MC =0， FA x - F1 （x-a）- M =0 得 M = FA x - F1 （x-a）,符號規(guī) 定：,FS = FA- F1,M = FA x - F1 （x-a）,= Fi左, M（Fi)左,FS=FB+F2,Fi右,M=FB(l-x)F2(l-x-b),M(Fi)右,規(guī)律：,剪力：某一截面的剪力在數(shù)值上等于截面一側(cè) （左或右）梁段上所有外力的代數(shù)和。,彎矩：某一截面的彎矩在數(shù)值上等于截面一側(cè) （左或右）梁段上所有外力對該截面形

3、心的力矩 的代數(shù)和。,FS=Fi左或右,M=M(Fi)左或右,例1： 已知 q=2 kN / m，求 1-1，2-2，3-3 截面上的內(nèi)力。,1-1 截面：FS = 22 = 4 kN，M = -2 2 3 = - 12 kN.m,2-2 截面：FS = 22 = 4 kN， M = -2 2 1 = - 4 kN.m,3-3 截面：FS = 21 = 2 kN， M = -2 1 0.5 = - 1 kN.m,例2 圖示簡支梁及其上所受荷載。求 1-1、2-2、3-3、4-4及5-5截面上的內(nèi)力。,解 (1) 求支座反力。,由,由,(2) 求各指定截面上的內(nèi)力。,1-1:,2-2:,3-3:

4、,4-4:,5-5:,43 剪力方程和彎矩方程、 剪力圖和彎矩圖,FS = FS（x） 剪力方程,M = M（x） 彎矩方程,剪力圖和彎矩圖：,以平行于梁軸線的坐標為橫坐標，其上各點表示截面的位置，以剪力或彎矩為縱坐標，畫出剪力或彎矩隨截面位置不同而變化的圖線即為剪力圖或彎矩圖。,正的剪力畫在橫坐標的上方，正的彎矩畫在橫坐標的下方（彎矩圖畫在梁的受拉一側(cè)）,例3： 已知 q，求剪力方程和彎矩方程。并畫出FS圖和 M 圖。,解：,1求支座反力 FA = FB = q l / 2,2求方程 FS(x) = q l / 2 - q x ( 0xl ),M (x) = qlx / 2 - qx2 /

5、2 ( 0xl ),3畫剪力、彎矩圖,由 FS(x) = q l / 2 - q x ( 0xl ),M (x) = qlx / 2 - qx2 / 2 ( 0xl ),取 x = 0, FS(x) = q l / 2 ， M = 0,x = l, FS(x) = - q l / 2，M = 0,由 d M(x) / d x = 0 , 當 x = l / 2,M max = ql 2 / 8,彎矩圖為二次拋物線,M max = ql 2 / 8，發(fā)生在FS =0的截面上。,可見: 剪力圖為斜直線 , FS max = q l / 2 ， 發(fā)生在梁兩端截面上。,例4： 已知 F，求Fs(x)和

6、 M (x)。并畫出 Fs圖和 M 圖。,1求支座反力,由MB =0 , FA = Fb / l 由MA =0 , FB = Fa / l,2求Fs(x)和 M (x)。,AC: FS(x) = FA = Fb / l (0x a) M (x) = FAx = Fbx / l (0x a),BC: FS(x) = FA -F= Fb / l -F= -F a / l (ax l) M (x) = FAx - F (x -a)= Fa(l - x) / l (axl),3畫 Fs(x)圖和 M (x)圖。,AC: FS(x) = FA = Fb / l (0x a) M (x) = FAx =

7、Fbx / l (0x a),BC: FS(x) = FR -F= Fb / l -F= -F a / l (ax l) M (x) = FAx - F (x -a)= Fa(l - x) / l (axl),集中力作用處剪力圖有突變 ，突變值為F ;彎矩圖在此處有尖角(斜率有改變)。,可見: 剪力圖為兩段水平直線 ,彎矩圖為二段斜直線 。,例 5： 已知Me，求FS(x)和 M (x)。并畫出 FS圖和 M 圖。,3畫 F S(x)圖和 M (x)圖。,2求FS(x)和 M (x)。,AC: FS(x) = - FA = - Me / l (0x a) M (x) = - FAx = - M

8、ex / l (0x a),BC: FS(x) = - FA = - Me / l (ax l) M (x) = Me - FAx = Me (l -x ) / l (axl),AC: FS(x) = - FA = - Me / l (0x a) M (x) = - FAx = - Mex / l (0x a),BC: FS(x) = - FA = - Me / l (ax l) M (x) = Me - FAx = Me (l -x ) / l (axl),集中力偶作用處剪力圖無改變;彎矩圖在此處有突變,突變值為集中力偶的大小。,可見: 剪力圖為水平直線 ,彎矩圖為二段斜直線 。,例6 圖示

9、懸臂梁受到線性分布的荷載作用，最大荷載集度為q0。試列出剪力方程和彎矩方程，并畫剪力圖和彎矩圖.,解 距左端為x處的荷載集度為,(1) 列剪力方程和彎矩方程,(2) 畫剪力圖和彎矩圖,44剪力、彎矩與荷載集度之間的關系,由Fy=0， FS(x)+q(x)dx -FS(x)+d FS(x)=0,由Mc=0， FS(x)dx+ M(x)+q(x) dxdx/2-M(x)+d M(x)=0,d FS(x) / dx=q(x) （1）,d M(x) / dx= FS(x) （2）,d2 M(x) / dx2=q(x) （3）,（1） Fs 圖上某一點切線的斜率就等于梁上該點的荷載梁度 q（x）。,幾何

10、意義：,（2）M圖上某一點切線的斜率就等于梁上該點 處的剪力FS （x）。,（3）可幫助判斷M圖的凹凸。,d FS(x) / dx=q(x) .（1）,d M(x) / dx= FS(x) （2）,d2 M(x) / dx2=q(x) .（3）,1. 梁段上q(x)0,FS圖水平線,M圖斜直線,2. 梁段上q(x)c,Fs圖斜直線,M圖拋物線,FS圖突變值為F,無突變，但有尖角,FS圖無影響,有突變，突變值為M,5. 極值點,FS=0,M有極值,或剪力變號處,簡易方法作FS和M圖：,1、先求支座反力;,2、自左向右求出控制截面的FS和M；,3、利用微分關系聯(lián)接兩個控制截面之間的連線；,4、完善

11、FS和M圖。,例 7： 畫出 FS圖和 Mz 圖。,解：1求反力 由MA= 0，F(xiàn)B= 148 kN. MB= 0，F(xiàn)A= 72 kN.,2畫FS、M圖。,q=0,q=c0,q=c0,水平線,斜直線,斜直線,斜直線,下凸曲線,下凸曲線,下凸曲線,FS：6個控制截面,FS1 = FS2 =FS3 =FA =72 kN,FS4 =72 - 208 = - 88 kN,FS5 =72 - 208 + FB =60 kN,FS6 = 72 - 2010 + FB = 20 kN,FS(x)=0,x=3.6m,在x = 3.6處， FS（x）=0時， M （x）有極值。,M：需 7 個控制截面,M1=0，M2=722=144kN.m,M3=722-160=-16kN.m,M4=7210-160-208 4 = - 80 kN.m,M5 =M4 =- 80kN.m,M6 =7212-160-20105+1482=0,即M7 =725.6-160-203.63.6/ 2=113.6 kN.m,例 8: 作圖示聯(lián)合梁的剪力圖和彎矩圖,主梁,副梁,也可以用微分關系作剪力圖和彎矩圖：,先求反力；,求控制截面的剪力和