1、高一數(shù)學(xué)高一數(shù)學(xué)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 本節(jié)重點(diǎn)是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 1. 平方關(guān)系： ，1cossin 22 22 sectan1 22 csccot1 2. 商數(shù)關(guān)系： sin cos cot, cos sin tan 3. 倒數(shù)關(guān)系： ，1cscsin1seccos1cottan 【典型例題典型例題】 例 1 已知，求的其它三角函數(shù)值。mtan 解：解：依題意不在 y 軸上，即，若在 x 軸上，則 2 kZk ，與不存在。0sin, 0tan1co

2、scot, 1seccsc 若是第一或第四象限角，則 22 1tan1secm m m 1 tan 1 cot, 1 1 sec 1 cos 2 2 1 costansin m m m m21 csc 若是第二或第三象限角，則 22 1tan1secm 2 1 1 sec 1 cos m m 1 tan 1 cot 2 1 costansin m m m m21 csc 注：注：已知一個角的某一個三角函數(shù)值求該角其它三角函數(shù)值時，一般先以與已知角 有平方關(guān)系的函數(shù)為準(zhǔn)將四個象限分成兩大類，再利用商數(shù)關(guān)系和倒數(shù)關(guān)系求出該角的其 它三角函數(shù)值。 例 2 ，試求（1）；（2）；（3）mcossin

3、33 cossin 44 cossin ；（4）；（5）設(shè)，試用 55 cossin 66 cossin nn nfcossin)( 和表示。) 1( nf)(nf) 1( nf 解：解：由，則mcossin 2 1 cossin 2 m （1） 33 cossin)cossincos)(sincos(sin 22 )3( 2 1 ) 2 1 1 ( 2 2 mm m m （2） 44 cossin )21 ( 2 1 ) 2 1 (21 )cos(sin21 cossin2)cos(sin 42 2 2 2 22222 mm m （3） 55 cossin )5( 4 1 ) 2 1 ()3

4、( 2 1 )cos(sincossincossin cossincossin)cos)(sincos(sin 4 2 2 2 2233 23323322 mm m m mm （4） 66 cossin =)cossincos)(sincos(sin 224422 )361 ( 4 1 ) 2 1 (31 cossin31 42 2 2 22 mm m （5）由，則 nn nfcossin)( )cos(sin)cos(sin) 1 ()( nn fnf ) 1( 2 1 ) 1( )cos(sincossincossin 2 1111 nf m nf nnnn 故) 1( 2 1 )() 1

5、( 2 nf m nmfnf 例 3 已知，求證。a 2 4 2 4 sin sin cos cos 1 sin sin cos cos 2 4 2 4 證法一：設(shè)，a 2 sin) 1,0(sin 2 bab 于是ba1cos,1cos 22 由已知1 1 )1 ( 22 b a b a 即)1 ()1 ()21 ( 22 bbabaab ，得0)( 2 baba 于是 2 4 2 4 sin sin cos cos 1 1 )1 ( 1 )1 ( 2222 a a a a a b a b 證法二：證法二：由已知去分母得 222424 cossincossinsincos 222424 co

6、s)cos1 (cossin)cos1 (cos 0coscos2coscos 0cos 1)cos1 (coscoscos coscos)sin(coscoscos 4224 422424 424424 0)cos(cos 222 則 22 coscos 22 sinsin 故 2 4 2 4 2 4 2 4 sin sin cos cos sin sin cos cos 1sincos 22 證法三：證法三：將上式化簡得 222424 sincoscossinsincos 即)cos(sinsincoscossinsincos 22222424 )sin(sincossin)cos(cos

7、sincos 22222222 又由，則 2222 sinsincoscos 222424 sincoscossinsincos 1 sin sin cos cos 2 4 2 4 例 4 若，求證；CxBCxAsinsincos,sincoscos 。2sinsinsin 222 CBA 證法一：證法一：當(dāng)時0sinC ，0cosA1sinA1sin, 0cosBB 此時，2011sinsinsin 222 CBA 當(dāng)時0sinC C B x C A x sin cos sin, sin cos cos 于是1sincos sin cos sin cos 22 2 2 2 2 xx C B

8、C A 即CBA 222 sincoscos 2sinsinsin 222 CBA 證法二：證法二：將已知二式兩邊平方，有 CxA 222 sincoscosCxB 222 sinsincos CxA 222 sincossin1CxB 222 sinsinsin1 故CxCxBA 222222 sinsinsincos)sin1 ()sin1 ( )sin(cossin 222 xxC C 2 sin 所以2sinsinsin 222 CBA 例 5 已知，且，試求cos2sin 22 ,cot3tan 0 和。 解：解： （1）當(dāng)時，適合0tan 2 , 0 （2）當(dāng)時0tan 由已知兩式

9、相除，得 ，即 cot3 cos2 tan sin sin 3 2 cos 故，又由 2 cos3 sin 3 tan cot 由平方關(guān)系消去，得 2 22 sin 1 csccot1 即 2 2 cos3 2 3 tan 1 得)tan1 ( 3 2 3 tan 1 2 2 1tan 又由，故或 22 4 4 或或 3 4 3 2 4 2 0 例 6 設(shè)，求使成立時 k 的取值范圍。kcossin0cossin 33 解：解：由，根據(jù)三角函數(shù)的定義，設(shè)，有kcossinxsinycos 2 )( 2 )(| | 22 2 22 2 22 yx yx yx yx yx yx k 故22k 又由

10、)sincoscos)(sincos(sincossin 2233 )3( 2 1 2 kk 由0)3( 2 1 0cossin 233 kk 或0)3)(3(kkk3 k03k 又由，則22k02k 所以 k 的取值范圍是)0,2 例 7 已知是方程的兩個根，cos,sin0) 12(525 22 aaxax) 2 , 0( 求。tan 解：解：由韋達(dá)定理， 5 12 cossin a 25 cossin 2 aa 由，則cossin21)cos(sin 2 25 21 25 ) 12( 22 aaa 化簡得012 2 aa 或3a4a 當(dāng)時，原方程為3a0123525 2 xx 0)45)

11、(35(xx 故兩根分別為和，即或 5 3 5 4 4 3 tan 3 4 當(dāng)時，由，又矛盾。4a 5 7 cossin) 2 , 0( 故不合題意舍去4a 綜上，的值為或tan 4 3 3 4 【模擬試題模擬試題】 一. 選擇題： 1. 若，則是第（ ）象限角。 22 cot1 sin tan1 cos 1 A. 一B. 二C. 三D. 四 2. 如果，且，則的值為（ ） 5 1 cossin0tan A. B. 或C. D. 或 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 4 3 3. 已知、為銳角，且，則的值為7sin3tan21sin6tansin （ ） A. B. C. D. 5 73 7 73 10 103 3 1 4. 若，則的值為（ ）1cossin*)(cossinNnxx nn A. B. 1C. 1 或D. 不確定11 二. 填空題： 1. 化簡的結(jié)果為 。 66 44 cossin1 cossin1 2. 若有實根，則實數(shù)的取值范圍是 。0cossin 2 axxa 3. 若，且，則 。) 2 , 0( sin 8 7 sintan 4 1 tan 4. 設(shè)，且，則 。 225 17 cossin 44 cossin 三. 解答題： 設(shè)，且，試求的值。0 13 7 cossin tan1 tan1