1、3.2.1 幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型皰丁巧解牛知識(shí)巧學(xué)升華 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)列數(shù)據(jù)表，作出幾種函數(shù)的圖象，比較指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、常數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)差異，體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義. 資料剖析：例1是與我們生活息息相關(guān)的問題，如何投資才能得到更大利潤(rùn)？例題的解答過程為我們展示了新的思路、方法.先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，用計(jì)算器、計(jì)算機(jī)作出三個(gè)函數(shù)的圖象，探索比較它們的增長(zhǎng)情況，最后得出相應(yīng)的結(jié)論，為選擇投資方案提供依據(jù). 資料剖析：例2是具有探索性的問題.先作出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論，再通過具體計(jì)算，確認(rèn)結(jié)果. 深化升華 注意此處空半格通過例1、

2、例2的學(xué)習(xí)，感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)中的重要性，初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的簡(jiǎn)單問題.我們?cè)诮忸}中，應(yīng)大膽嘗試、大膽探索，提高數(shù)學(xué)的提出、分析和解決問題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問題）的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.問題思路探究問題 如何正確地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，如何確定函數(shù)模型的種類.探究:正確地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解應(yīng)用題的關(guān)鍵.我們是通過對(duì)已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較來確定函數(shù)模型的種類.比如：某信息研究所對(duì)豬肉的市場(chǎng)需求量和供給量進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：價(jià)格為4元/千克，需求量為80噸，供給量為56

3、噸；價(jià)格為4.8噸/千克，需求量為77噸，供給量為68噸；價(jià)格為5.6噸/千克，需求量為73噸，供給量為74噸；價(jià)格為6.5噸/千克，需求量為65噸，供給量為80噸；價(jià)格為7.2噸/千克，需求量為60噸，供給量為90噸.試分析市場(chǎng)的供求規(guī)律，探求市場(chǎng)的供需平衡點(diǎn)（即供給量和需求量相等點(diǎn)）. 先將問題的信息濃縮為下面的表格，可以直觀地抓住問題的關(guān)鍵信息：價(jià)格P（元/千克）44.85.66.57.2需求量Q（噸）8077736560供給量Q（噸）5668748090 運(yùn)用數(shù)據(jù)擬合的方法，將收集的數(shù)據(jù)繪制在圖表上，建立需求曲線和供給曲線，提供以下幾種不同的方案參考： 方案一：認(rèn)為散點(diǎn)近似地落在兩條直

4、線上，建立直線模型，通過求出兩直線的交點(diǎn)，尋求市場(chǎng)的供需平衡點(diǎn)； 方案二：認(rèn)為散點(diǎn)近似地落在兩條拋物線上，建立拋物線模型； 方案三：認(rèn)為散點(diǎn)近似地落在兩條指數(shù)曲線上，建立指數(shù)曲線模型.典題熱題新題例1 一種放射性元素，最初的質(zhì)量為500 g，按每年以10%衰減.（1）求7年后，這種放射性元素質(zhì)量的表達(dá)式；（2）由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期（精確到0.1）.注：剩留量為原來的一半所需的時(shí)間叫做半衰期.思路解析：首先根據(jù)經(jīng)過1年、2年的放射性元素質(zhì)量，歸納出t年后，這種放射性元素質(zhì)量的表達(dá)式，然后再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期.解：（1）最初的質(zhì)量為500 g 經(jīng)過1年

5、，=500（1-10%）=5000.91； 經(jīng)過2年，=5000.92； 由此推知，t年后，=5000.9t.（2）解方程5000.9t=250，0.9t=0.5，lg0.9t=lg0.5，t lg0.9=lg0.5，t=6.6， 即這種放射性元素的半衰期約為6.6年. 拓展延伸 注意此處空半格感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)中的重要性，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型比較適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律.例2 某工廠今年一月、二月、三月生產(chǎn)某產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件.為了估測(cè)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)

6、可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=abx+c（其中a、b、c是常數(shù)），已知四月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請(qǐng)問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？請(qǐng)說明理由.思路解析：先根據(jù)一月、二月、三月份的產(chǎn)量，求出二次函數(shù)和y=abx+c（a、b、c是常數(shù)），然后看哪一個(gè)函數(shù)求出的四月份產(chǎn)量與實(shí)際產(chǎn)量1.37萬件誤差較小，從而可選哪個(gè)作為模擬函數(shù).解：設(shè)二次函數(shù)為f1（x）=a1x2+b1x+c1. 根據(jù)題意，得 解得 解得a1=-0.05，b1=0.35，c1=0.7. 于是f1（x）=-0.05x2+0.35x+0.7， 又由y=f2（x）=abx+c，得 解得a=-0.8，b=0.5，c=1.4. 于是f2

7、（x）=-0.80.5x+1.4， 所以f1（4）-1.37=0.07，f2（4）-1.37=0.02，f1（4）-1.37f2（4）-1.37. 因此，用f2（x）=abx+c作模擬函數(shù)較好. 深化升華 注意此處空半格正確地將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解應(yīng)用題的關(guān)鍵.轉(zhuǎn)化來源于對(duì)已知條件的綜合分析、歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類.例3 有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所獲得的利潤(rùn)依次是P和Q（萬元），它們與投入資金x（萬元）的關(guān)系，有經(jīng)驗(yàn)公式：P=，Q=.今有3萬元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得的最

8、大利潤(rùn)是多少？思路解析：首先應(yīng)根據(jù)題意，建立利潤(rùn)與投入資金之間的函數(shù)關(guān)系，求得函數(shù)解析式，然后再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值問題.解：設(shè)對(duì)甲種商品投資x萬元，則乙種商品投資為（3-x）萬元，總利潤(rùn)y萬元， 據(jù)題意有y=x+（0x3）， 令=t，則x=3-t2，0t， 所以y=（3-t2）+t=-（t-）2+，t0，. 當(dāng)t=時(shí)，ymax=1.05， 此時(shí)x=0.75，3-x=2.25. 由此可知，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別為0.75萬元和2.25萬元，獲得的總利潤(rùn)為1.05萬元. 拓展延伸 注意此處空半格解本題的關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)及求最值的方法.換元法是求無理函數(shù)最值的常用方法，利

9、用換元法將一個(gè)無理式轉(zhuǎn)化為有理式，通過二次函數(shù)求得最值，在換元過程中，要注意變量取值范圍的變化.例4 下面是反映某國(guó)從1800年到1980年間人口數(shù)量的一批數(shù)據(jù)資料.（單位：百萬）從下圖所反映的數(shù)據(jù)來看，當(dāng)年份x每隔10年增長(zhǎng)時(shí)，該國(guó)的人口數(shù)y近似地按一定比例的倍數(shù)增長(zhǎng)，其幾何上的圖形與細(xì)菌繁殖的圖形相類似，這就告訴我們可以用一個(gè)指數(shù)函數(shù)模型近似地刻畫這個(gè)國(guó)家人口的變化情況.現(xiàn)在讓我們作進(jìn)一步的分析.思路解析：用相關(guān)的函數(shù)知識(shí)，進(jìn)行合理設(shè)計(jì)，確定最佳解題關(guān)系，進(jìn)行數(shù)學(xué)上的計(jì)算求解，學(xué)會(huì)分析、處理數(shù)據(jù)，初步運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活和社會(huì)中的簡(jiǎn)單問題.答案：考查近幾十年的資料：年 份人口數(shù)1

10、0年中增長(zhǎng)的倍數(shù)1920106 020 0001930123 200 0001.1621940132 160 0001.0731950151 330 0001.1451960179 320 0001.1851970203 300 0001.1341980226 540 0001.114 從1920年到1930年中，平均每年增長(zhǎng)1.015；而從1920年到1980年這60年來看，通過類似計(jì)算，平均每年增長(zhǎng)率約為1.103.以這段時(shí)期的中間年份1950年的人口數(shù)作為初始數(shù)據(jù)，記x為年份數(shù)，則對(duì)該國(guó)人口數(shù)y（百萬）的較好的一個(gè)近似的指數(shù)函數(shù)模型為y=151（1.013）x-1950.以此為據(jù)，可以預(yù)

11、測(cè)到2000年時(shí)，這個(gè)國(guó)家的人口數(shù)為151（1.013）2000-1950=151（1.013）50288 000 000（人）. 很自然地，也會(huì)提出“什么時(shí)候，該國(guó)的人口數(shù)達(dá)到4億”這樣一類的問題，這也就是在現(xiàn)在的指數(shù)函數(shù)模型中，已知y，求指數(shù)x的問題，正是我們所熟悉的對(duì)數(shù)函數(shù).若對(duì)前面所給出的17901980年的數(shù)據(jù)資料作更為詳盡的分析，便可以得到在不同時(shí)期，該國(guó)的人口數(shù)y（百萬）所滿足的指數(shù)函數(shù)模型 深化升華 注意此處空半格我們?cè)诮忸}中，應(yīng)大膽嘗試、大膽探索，提高數(shù)學(xué)的提出、分析和解決問題（包括簡(jiǎn)單的實(shí)際問題）的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力. 探索比較它們的增長(zhǎng)情況，最后得出相應(yīng)的結(jié)論，為選擇所滿足的指數(shù)函數(shù)模型.例5 有甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷售這兩種商品所獲得的利潤(rùn)依次是P和Q（萬元），它們與投入資金x（萬元）的關(guān)系，有經(jīng)驗(yàn)公式：P=，Q=.今有3萬元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得的最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少？能獲得的最大利潤(rùn)是多少？思路解析：首先應(yīng)根據(jù)題意，建立利潤(rùn)與投入資金之間的函數(shù)關(guān)系，求得函數(shù)解析式，然后再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值問題.解：設(shè)對(duì)甲種商品投資x萬元，則乙種商品投資為（3-x）萬元，總利潤(rùn)y萬元，據(jù)題意有y=x+（0x3）. 令=t，則x=3-t2，0t. 所以y=（3-t2）+t=-（t-）2+，t0，. 當(dāng)t=