1、第一講 元素法 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,定積分,幾何應(yīng)用,物理應(yīng)用,元素法,面積、體積、弧長(zhǎng),功、水壓力、引力,元素法 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、元素法 二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,元素法 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、元素法 二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,元素法,應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題的常用方法,用定積分解決的問題的特點(diǎn):,所求量聯(lián)系著一個(gè)基本區(qū)間,所求量對(duì)區(qū)間具有可加性,元素法的主要步驟:,選取積分變量,確定積分區(qū)間;,求出所求量對(duì)應(yīng)于一個(gè)小區(qū)間的元素;,寫出所求量積分表達(dá)式,元素的求法:,在微小的局部,以直代曲,以不變代變,元素法 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、元素法 二、定積分在幾何學(xué)上的

2、應(yīng)用,元素法 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,一、元素法 二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,（一）平面圖形的面積 （二）體積 （三）平面曲線的弧長(zhǎng),二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,（一）平面圖形的面積 （二）體積 （三）平面曲線的弧長(zhǎng),（一）平面圖形的面積,1直角坐標(biāo)情形 2極坐標(biāo)情形,（一）平面圖形的面積,1直角坐標(biāo)情形 2極坐標(biāo)情形,定積分幾何意義,元素法:,積分變量: x,積分區(qū)間: a，b,面積元素:,所求面積:,微小的局部 “以直代曲”,例1,x,x+dx,積分變量: x,分析:,積分區(qū)間: 0，1,面積元素:,所求面積:,例2,y,y+dy,積分變量: y,分析:,積分區(qū)

3、間: -2，4,面積元素:,所求面積:,法一,例2,計(jì)算由拋物線y2=2x與直線y=x-4,所圍成的圖形的面積.,x,o,y,積分變量: y,分析:,積分區(qū)間: -2，4,面積元素:,所求面積:,法一,積分變量: x,積分區(qū)間: 0，8,面積元素:,所求面積:,法二,較繁！,例3,利用橢圓的參數(shù)方程,應(yīng)用定積分換元法得,分析,（一）平面圖形的面積,1直角坐標(biāo)情形 2極坐標(biāo)情形,（一）平面圖形的面積,1直角坐標(biāo)情形 2極坐標(biāo)情形,元素法:,積分變量: ,積分區(qū)間: ,面積元素:,所求面積:,微小的局部 “以不變代變”,例4,例5,心形線是外擺線的一種,注,即,方程:,參數(shù)的幾何意義,例6,例7,

4、思考,二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,（一）平面圖形的面積 （二）體積 （三）平面曲線的弧長(zhǎng),二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,（一）平面圖形的面積 （二）體積 （三）平面曲線的弧長(zhǎng),(二) 體積,1旋轉(zhuǎn)體的體積 2平行截面面積已知的立體體積,(二) 體積,1旋轉(zhuǎn)體的體積 2平行截面面積已知的立體體積,元素法:,積分變量: x,積分區(qū)間: a，b,體積元素:,所求體積:,微小的局部 “以不變代變”,類似地:,利用直角坐標(biāo)方程,法一,(利用對(duì)稱性),例8,分析,利用參數(shù)方程,法二,繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,例9,分析,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為,注,柱面面積,柱殼體積,(二) 體積,1旋轉(zhuǎn)體的體積 2平

5、行截面面積已知的立體體積,(二) 體積,1旋轉(zhuǎn)體的體積 2平行截面面積已知的立體體積,元素法:,積分變量: x,積分區(qū)間: a，b,體積元素:,所求體積:,微小的局部 “以不變代變”,例10,垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為,分析,二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,（一）平面圖形的面積 （二）體積 （三）平面曲線的弧長(zhǎng),二、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用,（一）平面圖形的面積 （二）體積 （三）平面曲線的弧長(zhǎng),即,并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.,定理,定義,任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.,計(jì)算,(1) 參數(shù)方程情形,曲線弧:,積分變量: t,積分區(qū)間: ,弧長(zhǎng)元素:,所求弧長(zhǎng):,例11,(2) 直角坐標(biāo)方程情形,曲線弧:,弧長(zhǎng)元素:,所求弧長(zhǎng):,例12,例13,(3) 極坐標(biāo)方程情形,曲線弧:,參數(shù)方程:,弧長(zhǎng)元素:,所求弧長(zhǎng):,例14,內(nèi)容小結(jié),1. 平面圖形的面積,邊界方程,參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,