1、八年級下冊數(shù)學(xué)期末壓軸題專輯（含解析）1.如圖，ON為AOB中的一條射線，點(diǎn)P在邊OA上，PHOB于H，交ON于點(diǎn)Q，PMOB交ON于點(diǎn)M, MDOB于點(diǎn)D，QROB交MD于點(diǎn)R，連結(jié)PR交QM于點(diǎn)S。（1）求證：四邊形PQRM為矩形；（2）若OP=PR，試探究AOB與BON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。（1）證明：PHOB，MDOB，PHMD，PMOB，QROB，PMQR，四邊形PQRM是平行四邊形，PHOB，PHO=90，PMOB，MPQ=PHO=90，四邊形PQRM為矩形；（2）AOB=3BON理由如下：四邊形PQRM為矩形，PS=SR=SQ=PR，SQR=SRQ，又OP=PR，OP=PS，P

2、OS=PSO，QROB，SQR=BON，在SQR中，PSO=SQR+SRQ=2SQR=2BON，POS=2BON，AOB=POS+BON=2BON+BON=3BON，即AOB=3BON2.如圖，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（-2,2） ，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在OA上，且AH=，過點(diǎn)H且平行于y軸的HG與EB交于點(diǎn)G，現(xiàn)將矩形折疊，使頂點(diǎn)C落在HG上，并與HG上的點(diǎn)D重合，折痕為EF，點(diǎn)F為折痕與y軸的交點(diǎn)。（1）求CEF的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求折痕EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；（3）若點(diǎn)P在直線EF上，當(dāng)PFD為等腰三角形時(shí)，試

3、問滿足條件的點(diǎn)P有幾個(gè)？請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫出解答過程。（本題部分過程用了三角函數(shù)，可以用初二知識點(diǎn)溝通） （備用圖）解：（1）E是BC的中點(diǎn)，EC=EB=1FCE與FDE關(guān)于直線EF對稱，F(xiàn)CEFDE，ED=EC=1，F(xiàn)CE=FDE=90，DF=CFAH=，EG=EB-AH=1-=cosGED=，GED=60DEC=180-60=120DEF=CEFCEF=60在RtGED中，由勾股定理得：DG2=ED2-EG2=1-=DG= DH=AB-DG=2-=OH=OA-AH=2-= 故D（-，）（2）CEF60CF=ECtan60=OF=OC-CF=2-= F（0，），E（-1，2）設(shè)EF所在直

4、線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，由圖象，得，解得：故EF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-x+；（3）DF=CF=點(diǎn)P在直線EF上，當(dāng)PFD為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：（a）P1F=DF=， 可令P1（t，-t+），則：P1F2=3由兩點(diǎn)間的距離公式為：（t-0）2+（-t+-）2=3t2+3t2=3t2=，t1=-，t2= P1（-，+）； P3（，-+）（b） PD=DF=時(shí)，仍令P（t，-t+），注意D（-，），則：PD2=3（t+）2+（-t+-）2=3 t2+3t+3t2+3t+=34t2+6t=0t1=0，t2=-t1=0對應(yīng)F點(diǎn)，此時(shí)不構(gòu)成三角形，故舍去P4（-，）（c）當(dāng) PD=

5、PF仍令P（t，-t+），注意D（-，），F(xiàn)（0，），則：PD2=PF2（t+）2+（-t+-）2=（t-0）2+（-t+-）2，t2+3t+3t2+3t+=t2+3t26t+3=0t=-P4（-，）故滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)分別是：（）、（）、（）xy1yPBOCA3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,直線y=kx+b（k0） 經(jīng)過點(diǎn)C(1,0)且與線段AB交于點(diǎn)P,并把ABO分成兩部分.(1)求ABO的面積.(2)若ABO被直線CP分成的兩部分的面積相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線CP的函數(shù)表達(dá)式.解：(1)在直線中，令，得B(0，2)令，得A(3，0)、 (2)

6、點(diǎn)P在第一象限，解得而點(diǎn)P又在直線上，解得P()將點(diǎn)C(1，0)、P()，代入中，有直線CP的函數(shù)表達(dá)式為 4.如圖,在RtABC中,已知A=90,AB=AC,G、F分別是AB、AC上兩點(diǎn)，且GFBC，AF=2，BG=4.(1)求梯形BCFG的面積.(2)有一梯形DEFG與梯形BCFG重合,固定ABC,將梯形DEFG向右運(yùn)動,直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合為止,如圖.若某時(shí)段運(yùn)動后形成的四邊形BDGG中,DGBG,求運(yùn)動路程BD的長,并求此時(shí)GB的值.設(shè)運(yùn)動中BD的長度為x,試用含x的代數(shù)式表示出梯形DEFG與RtABC重合部分的面積.備用圖AGFB(D)C(E)圖AGFBDCE圖解：（1）在RtABC中

7、，AB=AC，ABC=ACB=45又GFBC，AGF=AFG=45AG=AF=2，AB=AC=6S梯形GBCF=SABC-SAGF=（2）在運(yùn)動過程中有DGBG且DG=BG，BDGG是平行四邊形當(dāng)DGBG時(shí)，BDGG是菱形BD=BG=4如圖，當(dāng)BDGG為菱形時(shí)，過點(diǎn)G作GMBC于點(diǎn)M在RtGDM中，GDM=45，DG=4，DM=GM且DM2+GM2=DG2DM=GM=，BM=連接GB在RtGBM中，當(dāng)0x時(shí)，其重合部分為梯形，如圖在RtAGF與RtABC中，過G點(diǎn)作GH垂直BC于點(diǎn)H，得GH=由，知BD=GG=x，DC=，S梯形=當(dāng)x時(shí)，其重合部分為等腰直角三角形，如圖斜邊DC=，斜邊上的高為

8、，5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知直線PA是一次函數(shù)y=x+m(m0)的圖象,直線PB是一次函數(shù)y=-3xn（nm） 的圖象,點(diǎn)P是兩直線的交點(diǎn),點(diǎn)A、B、C、Q分別是兩條直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。（1）用m、n分別表示點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)及PAB的度數(shù)；（2）若四邊形PQOB的面積是，且CQ:AO=1:2，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出直線PA與PB的函數(shù)表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，是否存在一點(diǎn)D，使以A、B、P、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。xAOBPQC解：（1）在直線y=x+m中，令y=0，得x=-m點(diǎn)A（-m，0）在直線y=-3x+n中，令y

9、=0，得點(diǎn)B（，0）由，得，點(diǎn)P（，）在直線y=x+m中，令x=0，得y=m，|-m|=|m|，即有AO=QO又AOQ=90，AOQ是等腰直角三角形，PAB=45度（2）CQ：AO=1：2，（n-m）：m=1：2，整理得3m=2n，n=m，=m，而S四邊形PQOB=SPAB-SAOQ=（+m）（m）-mm=m2=，解得m=4，m0，m=4，n=m=6，P（）PA的函數(shù)表達(dá)式為y=x+4，PB的函數(shù)表達(dá)式為y=-3x+6（3）存在過點(diǎn)P作直線PM平行于x軸，過點(diǎn)B作AP的平行線交PM于點(diǎn)D1，過點(diǎn)A作BP的平行線交PM于點(diǎn)D2，過點(diǎn)A、B分別作BP、AP的平行線交于點(diǎn)D3PD1AB且BD1AP，

10、PABD1是平行四邊形此時(shí)PD1=AB，易得；PD2AB且AD2BP，PBAD2是平行四邊形此時(shí)PD2=AB，易得；BD3AP且AD3BP，此時(shí)BPAD3是平行四邊形BD3AP且B（2，O），yBD3=x-2同理可得yAD3=-3x-12，得， 6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線： 與直線相交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，直線交y軸于點(diǎn)B，且OA=OB。（1）試求直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若將直線沿著x軸向左平移3個(gè)單位，交y軸于點(diǎn)C，交直線于點(diǎn)D。試求BCD的面積。解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，代入直線l1：中，得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，即點(diǎn)A（3，4）；即OA=5，又|OA|=|OB|即OB=

11、10，且點(diǎn)B位于y軸上，即得B（0，-10）；將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l2中，得4=3k+b；-10=b；解之得，k=，b=-10；即直線l2的解析式為y=x-10；（2）根據(jù)題意，設(shè)平移后的直線l1的解析式為y=x+m，代入（-3，0），可得：-4+m=0，解得：m=4，平移后的直線l1的直線方程為；即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）；聯(lián)立線l2的直線方程，解得x=，y=，即點(diǎn)D（）；又點(diǎn)B（0，-10），如圖所示：故BCD的面積S=14=7.正方形ABCD的邊長為4，將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系中，使AB邊落在X軸的正半軸上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）。直線y= x - 經(jīng)過點(diǎn)C，且與x軸交與點(diǎn)E，求

12、四邊形AECD的面積；若直線經(jīng)過點(diǎn)E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分求直線的解析式，若直線經(jīng)過點(diǎn)F且與直線y=3x平行,將中直線沿著y軸向上平移個(gè)單位交x軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn),求的面積.解：（1）在y=x中，令y=4，即xx=4，解得：x=5，則B的坐標(biāo)是（5，0）；令y=0，即x=0，解得：x=2，則E的坐標(biāo)是（2，0）則OB=5，OE=2，BE=OB-OA=5-2=3，AE=AB-BE=4-3=1，四邊形AECD=（AE+CD）AD=（4+1）4=10；（2）經(jīng)過點(diǎn)E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，則直線與CD的交點(diǎn)F，必有CF=AE=1，則F的坐標(biāo)是（4，4）設(shè)直線的解析式是

13、y=kx+b，則，解得：則直線l的解析式是：y=2x-4；（3）直線l1經(jīng)過點(diǎn)F（-，0）且與直線y=3x平行，設(shè)直線11的解析式是y1=kx+b，則：k=3，代入得：0=3（-）+b，解得：b=，y1=3x+，已知將（2）中直線l沿著y軸向上平移個(gè)單位，則所得的直線的解析式是y=2x-4+，即：y=2x-3，當(dāng)y=0時(shí)，x=，M（，0），解方程組得：，即：N（-7，-19），SNMF=-（-）|-19|=答：NMF的面積是8.如圖，已知的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將沿CA方向平移CA長度得到求四邊形CEFB的面積；試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；若，求AC的長解：（1）由平移的性質(zhì)得

14、AFBC，且AF=BC，EFAABC四邊形AFBC為平行四邊形SEFA=SBAF=SABC=3四邊形EFBC的面積為9；（2）BEAF證明：由（1）知四邊形AFBC為平行四邊形BFAC，且BF=AC又AE=CA四邊形EFBA為平行四邊形又已知AB=ACAB=AE平行四邊形EFBA為菱形BEAF；（3）如上圖，作BDAC于DBEC=15，AE=ABEBA=BEC=15BAC=2BEC=30在RtBAD中，AB=2BD設(shè)BD=x，則AC=AB=2xSABC=3，且SABC=ACBD=2xx=x2x2=3x為正數(shù)x=AC=29.已知如圖，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)P求點(diǎn)P的坐標(biāo)請判斷的形狀

15、并說明理由動點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著OPA的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動（E不與點(diǎn)O、A重合），過點(diǎn)E分別作EFx軸于F，EBy軸于B設(shè)運(yùn)動t秒時(shí)，矩形EBOF與OPA重疊部分的面積為S求： S與t之間的函數(shù)關(guān)系式試題分析：（1）由兩直線相交可列出方程組，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將y=0代入y=x+4，可求出OA=4，作PDOA于D，則OD=2，PD=2，利用tanPOA=，可知POA=60，由OP=4可知POA是等邊三角形；（3）當(dāng)0t4時(shí)，在RtEOF中，EOF=60，OE=t，可以求出EF，OF，從而得到S；分情況討論當(dāng)0t4時(shí)，t=4時(shí)，當(dāng)4t8時(shí)，S的值，最終求出最大值試題解析：

16、POA是等邊三角形理由：將代入，即OA=4作PDOA于D，則OD=2，PD=2， tanPOA=，POA=60， OP=POA是等邊三角形 ；(2) 當(dāng)0t4時(shí)，如圖1在RtEOF中，EOF=60，OE=tEF=t，OF=t S=OFEF=當(dāng)4t8時(shí)，如圖2設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C，易知：CE=PE=t4，AE=8t，AF=4t，EF=(8t)，OF=OAAF=4(4t)= t，S= (CE+OF)EF，= (t4+t)(8t)，=+4t8； 當(dāng)0t4時(shí)，S=， t=4時(shí)，S最大=2當(dāng)4t2，當(dāng)t=時(shí)，S最大=FyOAxPEB10.如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別是y1=x和y2=-2x+6

17、，動點(diǎn)P（x，0）在OB上運(yùn)動（0xy2？ （2）設(shè)COB中位于直線m左側(cè)部分的面積為s，求出s與x之間函數(shù)關(guān)系式 （3）當(dāng)x為何值時(shí)，直線m平分COB的面積？ 分析：（1）由于C是直線OC、BC的交點(diǎn)，根據(jù)它們的解析式即可求出坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象和交點(diǎn)坐標(biāo)可以求出當(dāng)x取何值時(shí)y1y2；（2）此小題有兩種情況：當(dāng)0x2，此時(shí)直線m左側(cè)部分是PQO，由于P（x，0）在OB上運(yùn)動，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s與x之間函數(shù)關(guān)系式即可求出；當(dāng)2x3，此時(shí)直線m左側(cè)部分是四邊形OPQC，可以先求出右邊的PQB的面積，然后即可求出左邊的面積，而PQO的面積可以和一樣的方法求出；（3）利用（2）中的解

18、析式即可求出x為何值時(shí)，直線m平分COB的面積簡解：（1）解方程組得C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）； 當(dāng)x2時(shí)，y1y2（2）作CDx軸于點(diǎn)D，則D（2，0）s=x2（0x2）；s=-x2+6x-6（2x3）；（3）直線m平分AOB的面積，則點(diǎn)P只能在線段OD，即0x2又COB的面積等于3，故x2=3，解之得x=.11.已知正方形ABCD。（1）如圖1，E是AD上一點(diǎn)，過BE上一點(diǎn)O作BE的垂線，交AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，求證：BEGH；（2）如圖2，過正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，交AB、CD于點(diǎn)G、H，EF與GH相等嗎？請寫出你的結(jié)論；（3）當(dāng)點(diǎn)O在正方形ABCD的邊上或外部時(shí)，過點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，被正方形相對的兩邊（或它們的延長線）截得的兩條線段還相等嗎？其中一種情形如圖3所示，過正方形ABCD外一點(diǎn)O作互相垂直的兩條直線m、n，m與AD、BC的延長線分別交于點(diǎn)E、F，n與AB、DC的延長線分別交于點(diǎn)G、H，試就該圖對你的結(jié)論加以證明。解答：（1）證明：在圖1中，過點(diǎn)A作GH的平行線，交DC于點(diǎn)H，交B