1、量子力學(xué)總結(jié),一、量子力學(xué)的基本思想和基本原理,（1）物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)伴隨物質(zhì)波，物質(zhì)波波長可由下式求出：,1、量子力學(xué)基本思想,對(duì)于非相對(duì)論粒子：,如自由粒子：,對(duì)于相對(duì)論粒子：,如光子：,（2）物體的運(yùn)動(dòng)具有不確定度，任何兩個(gè)共軛物理量均有不確定度存在，即不可能同時(shí)精確測量兩個(gè)共軛物理量。,對(duì)于任一物理量：,對(duì)于 ：,2、量子力學(xué)基本原理：,（1）狀態(tài)數(shù)學(xué)上用波函數(shù)描述，波函數(shù)是 的函數(shù)，是希爾伯特空間中的矢量。,波函數(shù)滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件：單值、連續(xù)、有限（或平方可積）。,波函數(shù)|(x,t)|2才有物理意義，解釋為概率密度。,在t時(shí)刻，在x-x+dx區(qū)域發(fā)現(xiàn)粒子的概率：dp=|(x,t)|2 dx,

2、（2）物理量用厄米算符表示，對(duì)體系物理量的測量，體現(xiàn)在厄米算符對(duì)波函數(shù)的作用，說明了量子力學(xué)理論包括了測量對(duì)體系的影響。,一般經(jīng)典力學(xué)量是坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)，這類力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符可直接將函數(shù)中的坐標(biāo)和動(dòng)量換為相應(yīng)的算符即可得到。,對(duì)于不是的經(jīng)典力學(xué)量，如自旋、宇稱等，量子力學(xué)中重新給出定義。,一般算符可以展開為動(dòng)量和坐標(biāo)的級(jí)數(shù)形式：,常見力學(xué)量算符：,在直角坐標(biāo)系中：,在球坐標(biāo)系中：,厄米算符及性質(zhì),定義,因?yàn)?性質(zhì),算符時(shí)指：,矩陣時(shí)指：,本征值為一些實(shí)數(shù)，,也是體系中測量這些力學(xué)量得到的測量值,計(jì)算的常用基本公式,如果一體系有一組算符完備組，則任何一個(gè)算符都可以該組算符展開。,（3）力學(xué)量的

3、測量,測力學(xué)量A時(shí)，將狀態(tài)函數(shù)以A本征函數(shù)展開,cn 的平方是出現(xiàn)第n個(gè)本征值的概率,矩陣表示,力學(xué)量平均值,矩陣表示,給出 ，一般是多值。,對(duì)應(yīng)不同本征值 代入本征方程中，在考慮歸一化條件，就可得到本征函數(shù),屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交。,、計(jì)算平均值和不確定度,、計(jì)算本征值和本征函數(shù),、計(jì)算本征值出現(xiàn)的概率，或塌縮到本征態(tài)的概率,(4) 狀態(tài)的演化,Schrdinger方程,當(dāng)哈密頓量不顯含時(shí)間時(shí)，即勢能不是時(shí)間函數(shù)時(shí)，體系的狀態(tài)為定態(tài),定態(tài)方程,對(duì)所有表象都成立。,a、空間概率密度和概率流密度不隨時(shí)間改變。,b、測量系統(tǒng)能量總是有確定值。, 在定態(tài)狀態(tài)時(shí), 方程中常帶有本征值問題，通

4、過邊界條件，可以確定出本征值, 能計(jì)算的問題,、無限深勢阱問題。,、已知初始時(shí)刻波函數(shù)，求任意時(shí)刻波函數(shù)問題。,、中心力場問題。,、諧振子問題。,（5）全同粒子狀態(tài)的描述,全同粒子波函數(shù)為對(duì)稱化函數(shù).,費(fèi)米子：為反對(duì)稱波函數(shù)，粒子交換一次位置，改變符號(hào)。,玻色子：為對(duì)稱波函數(shù)，粒子交換一次位置，不改變符號(hào)。,費(fèi)米子：,玻色子：,2個(gè)費(fèi)米子,2個(gè)玻色子,位形和自旋直積空間,波函數(shù),=,位形空間波函數(shù),自旋空間波函數(shù),它們各自單獨(dú)歸一,典型例題一,、計(jì)算平均值和不確定度,3.14 證明在 的本征態(tài)下，,證明,證明：假設(shè) 是 的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值是 ，,類似可以利用 可得,是 及 的本征函數(shù)，即,

5、3.15設(shè)粒子處于 狀態(tài)下，求 和,按3.14題 ，則有：,其次證明 ，利用,解,所以,再利用 ，可得,所以,8.3 在 本征態(tài) 下，求,解 因?yàn)?而,所以,類似有,所以,、計(jì)算本征值和本征函數(shù),a、函數(shù)形式的本征方程-連續(xù)表象中的表示,b、矩陣形式的本征方程-分離表象中的表示,如 x, p表象,如 其它算符表象,c、常見表象的本征方程,如 能量、動(dòng)量、角動(dòng)量、坐標(biāo)表象,（1）（張p82 3-18） 質(zhì)量為m的粒子處于諧振子勢 的基態(tài)。,（1）如彈性系數(shù)增大一倍，及勢場突然變?yōu)?， 隨即測量粒子的能量，求粒子處于勢場基態(tài)的概率,（2）勢場由 突變?yōu)?后不進(jìn)行測量，經(jīng)過一段時(shí)間 后，讓勢場重新恢

6、復(fù)成 ，問 取什么值時(shí)，粒子正好恢復(fù)到原來勢場 的基態(tài)（概率100%）？,解（1）初始時(shí)，諧振子的基態(tài)波函數(shù),勢場改變后粒子的基態(tài)波函數(shù)為,、計(jì)算本征值和本征函數(shù),23,這里,勢場改變后，諧振子的波函數(shù)不變，仍為 ，所以在此波函數(shù)中找到 的概率幅為,24,所以概率為,（2）設(shè)t=0的時(shí)刻，Hamilton量為H，勢突變后的Hamilton量為 分別是 的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為,將 用 的本征函數(shù)族 展開，,隨時(shí)間演化,經(jīng)過時(shí)間 后，粒子又變成 ，則要求,25,t=0時(shí)，諧振子的基態(tài)為偶宇稱態(tài)，勢場始終保持宇稱態(tài)，所以，n只能取偶數(shù)，取n=2k，于是有,為了使此式每一個(gè)k都滿足， 必須是 的整數(shù)

7、倍， 即 所以,26,（2）（張p108 4-13）,設(shè) ，求粒子的能量本征值,取守恒量完全集為 其共同本征函數(shù)為,滿足徑向方程,令,27,方程化為,相當(dāng)于氫原子的徑向方程 換成 ， 換成 ，上式只有在 為正整數(shù)，且 取正根時(shí)有解，有氫原 子的能級(jí),得到本題的解,28,（3）（張p44 2-5）,證明對(duì)于一組波包，有,由題設(shè) 考慮到 有,29,（4）（曾p95 4-2）,設(shè)體系有兩個(gè)粒子，每個(gè)粒子可處于三個(gè)單粒子態(tài) 中的任何一個(gè)態(tài)。試求體系可能態(tài)的數(shù)目，分三種情況討論（a）兩個(gè)全同Bose子；（b）兩個(gè)全同F(xiàn)ermi子；（c）兩個(gè)不同粒子,Bose子體系的量子態(tài)對(duì)于兩個(gè)粒子的交換必須是對(duì)稱的，

8、Fermi體系則是反對(duì)稱的，經(jīng)典粒子被認(rèn)為是可區(qū)分的，沒有對(duì)稱性的限制,當(dāng)兩個(gè)粒子處于相同的單粒子態(tài)時(shí)體系的狀態(tài)當(dāng)然必是交換對(duì)稱的，這種狀態(tài)只能出現(xiàn)在Bose子體系和經(jīng)典粒子體系，體系的波函數(shù)的方式為,當(dāng)兩個(gè)粒子處于不同的粒子態(tài)（ 和 ）是，如果是經(jīng)典粒子，有兩種體系態(tài),30,由單粒子態(tài) 和 可以構(gòu)成對(duì)稱和反對(duì)稱的體系態(tài)各一種，即,對(duì)稱適合Bose子體系，反對(duì)稱適合Fermi體系。,對(duì)于兩粒子體系來說，Bose子體系的可能態(tài)總數(shù)與Fermi子體系的可能態(tài)之和，顯然，正好等于經(jīng)典粒子體系的可能態(tài)總數(shù)，如可能的單粒子態(tài)為k個(gè)，這三種兩粒子體系的可能態(tài)函數(shù)目如下,經(jīng)典粒子,Fermi子,Bose子,

9、31,本題k=3 ，F(xiàn)ermi子、Bose子、經(jīng)典粒子的可能態(tài)數(shù)目分別為3、6、9,Bose子體系態(tài)有,Fermi子體系有三種,當(dāng)全同粒子的體系粒子數(shù)目超過兩個(gè)時(shí)，一般說來，對(duì)于粒子的交換完全對(duì)稱的狀態(tài)與完全反對(duì)稱的狀態(tài)數(shù)目之和總是小于沒有對(duì)稱性限制的體系狀態(tài)總數(shù)，亦即后者除了完全對(duì)稱與反對(duì)稱態(tài)，還有一些沒有對(duì)稱性或只有混雜對(duì)稱性的狀態(tài)。,32,（5）（曾p193 10-1）,10.1 設(shè)非簡諧振子的Hamilton量表示為,為實(shí)數(shù),用微擾論求其能量本征值（準(zhǔn)確到二級(jí)近似）和本征函數(shù)（準(zhǔn)確到二級(jí)近似）,能量的本征值和歸一化的本征態(tài)（無簡并）為,33,利用Hermite多項(xiàng)式 的遞推關(guān)系,得,3

10、4,對(duì)于非簡并態(tài)的微擾論，能量的一級(jí)修正為0，因?yàn)?能量的二級(jí)修正為,35,由式（6）可知，只當(dāng)m?。╪-3），（n-1），（n+1），（n+3）才有貢獻(xiàn)，即,由此可得,在準(zhǔn)確到二級(jí)近似下體系能量值為,在準(zhǔn)確到一級(jí)近似下，能量本征函數(shù)為,36,37,（6）（曾p162 8-8）,8.8 由兩個(gè)非全同粒子（自旋均為 ）組成的體系，設(shè)粒子間的相互作用為 （不考慮軌道運(yùn)動(dòng)）。設(shè)初始時(shí)刻（t=0）粒子1自旋”向上“ 粒子2自旋”向下“ 求時(shí)刻t(0)時(shí)，（a）粒子1自旋向上的概率； （b）粒子1和2自旋均向上的概率；（c）總自旋S=0和1的概率；（d）求 和 的平均值。,從求體系的自旋波函數(shù)入手，由于

11、,得到總自旋 是守恒量，所以定態(tài)波函數(shù)可以選擇為 的共同本征函數(shù)，按照總自旋量子數(shù)S的不同取值，本征函數(shù)和能級(jí)為,t=0時(shí)，體系的自旋為,38,因此，t0時(shí)，體系的波函數(shù)為,即,（a）由（5）式知道，在時(shí)刻t，粒子1自旋向上，同時(shí)粒子自 旋向下的概率為,（b）粒子1和2自旋均向上的的概率為0，因?yàn)?為守恒量，而體系的初態(tài) ，所以任何時(shí)刻 必為0，不可能均向上,39,（c）由式（4）式可知，總自旋量子數(shù)取1和0的概率相等，各為1/2,概率不隨時(shí)間改變,（d）利用（5）式，容易算出 和 的平均值,40,（7）（曾p162 8-10）,8.10 兩個(gè)全同粒子處于一維諧振子 中，分別下列幾種情況，求此

12、二粒子體系的最低三條能級(jí)及本征函數(shù) （a）單粒子自旋為0； （b）單粒子自旋為1/2； （c）如果兩個(gè)粒子之間還有相互作用 ，討論上述（a）和（b）兩種情況下能級(jí)發(fā)生的變動(dòng)，畫出能級(jí)圖。,解（a）單粒子自旋為0情況。波函數(shù)只含二粒子的空間坐標(biāo) 和 ，但要求對(duì) 變換對(duì)稱。設(shè)兩粒子分別處于諧振子的 和 能級(jí) ，二粒子能量為 。由此可知二粒子體系的最低3條能級(jí)的能級(jí)填布情況和對(duì)稱波函數(shù)分別如下：,41,42,(4) (5) (6) (7),任意t 時(shí)的態(tài)矢為,其中,43,將ci (i=1,2,3,4)的值代入(6)式，,任意t時(shí)刻，粒子1的自旋處于z軸正方向的幾率是,兩個(gè)粒子的自旋同時(shí)沿z軸正方向的幾率為零，因?yàn)?中不存在(1)(2),44,陳P256 6.25,兩個(gè)自旋s=1/2的粒子在(S1z,S2z)表象的態(tài)為 ，其 中|i|2代表粒子i自旋向上的幾率，|i|2代表粒子i自旋向下的幾率。 (1)求 的本征值與本征態(tài)矢，V0是常數(shù)； (2)設(shè)t=0時(shí)，體系的態(tài)為 ，求任意t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系處 于 態(tài)的幾率。,解(1) (S1z,S2z)表象的基矢依次記為,(1),45,利用公式,(2),算出,可見，|3與|4是 的本征態(tài)，本征值均為0， 的另外兩個(gè)本征態(tài)因同|3與|4正交，只能由|1與|2的線性組合構(gòu)成：,(3),(4),(5),46,定態(tài)