1、專題4 第3課時(本欄目內(nèi)容，在學生用書以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題1若直線l1，l2的方向向量分別為u，v，則下列直線l1，l2中既不平行也不垂直的是()Au(1,2，1)，v(0,2,4)Bu(3,0，1)，v(0,0,2)Cu(0,2，3)，v(0，2,3)Du(1,6,0)，v(0,0，4)解析：A選項中uv0440，所以l1l2；C選項中uv，所以u，v共線，因此l1，l2平行；D選項中uv0000，所以l1l2，故選B.答案：B2在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是CC1的中點，F(xiàn)是A1B的中點，且，則()A，1B，1C1， D1，解析：()()，1.答案：A3已知平面內(nèi)有一個

2、點M(1，1,2)，它的一個法向量為n(6，3,6)，則下列點P中，在平面內(nèi)的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)解析：由于n(6，3,6)是平面的一個法向量，所以它應該和平面內(nèi)的任意一個向量垂直，只有在選項A中，(2,3,3)(1，1,2)(1,4,1)，n(1,4,1)(6，3,6)0，所以點P(2,3,3)在平面內(nèi)答案：A4.如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為()A. B.C. D.解析：如圖所示，連接A1C1，AA1平面A1B1C1D1，AC1A1就是直線AC1

3、與平面A1B1C1D1所成角的平面角而AC13，sinAC1A1.答案：D5.菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AB2，BCD60，現(xiàn)將其沿對角線BD折成直二面角ABDC(如圖)，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為()A. B.C. D.解析：()()00011，而|2，cos，故異面直線AB與CD所成角的余弦值為.故選C.答案：C6正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為()A. B.C. D.解析：以A為坐標原點，AB、AD、AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則A1(0,0,1)，E，

4、D(0,1,0)，F(xiàn)，D1(0,1,1)，(0,1,0)設平面A1D1E的一個法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x1.n(1,0,2)又，點F到平面A1D1E的距離d.答案：C二、填空題7設a(1,2,0)，b(1,0,1)，則：“c”是“ca，cb且c為單位向量”的_條件解析：當c時，ca，cb且c為單位向量，反之則不成立答案：充分不必要8.如右圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是_解析：以C為坐標原點，CA、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0

5、,0)，C(0,0,0)，則(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.答案：9將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角ABDC，有如下四個結論：ACBD；ACD是等邊三角形；AB與平面BCD所成的角為60；AB與CD所成的角為60.其中正確的序號是_(寫出你認為正確的結論的序號)解析：取BD中點O，連接AO、CO，則AOBD，COBD，BD面AOC，ACBD，又ACAOADCD，ACD是等邊三角形而ABD是AB與平面BCD所成的角，應為45.又AABD(設ABa)，則a2a22a2a22aa2aa2a2cosA，D，cosA，D，AB與CD所成角為60.答案：三、解答題10(2020陜西卷)如

6、圖，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)設E為BC的中點，求A與D夾角的余弦值解析：(1)證明：折起前AD是BC邊上的高，當ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ADB平面BDC.(2)由BDC90及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設|DB|1，以D為坐標原點，分別以D，D，D所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，A，D(1,0,0)，A與D夾角的余弦值為c

7、osA，D.11.如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，BC側面AA1C1C，ACBC1，CC12，CAA1，D、E分別為AA1、A1C的中點(1)求證：A1C平面ABC；(2)求平面BDE和平面ABC所成銳二面角的余弦值解析：(1)證明：BC側面AA1C1C，A1C平面AA1C1C，BCA1C.在AA1C中，AC1，AA1C1C2，CAA1，由余弦定理得A1C2AC2AA122ACAA1cosCAA11222212cos3，所以A1C，故有AC2A1C2AA12，所以ACA1C，而ACBCC.A1C平面ABC.(2)如圖，以C為原點，以CA，CA1，CB所在直線分別作為x軸，y軸，z軸建立空間直

8、角坐標系，則C(0,0,0)，B(0,0,1)，A(1,0,0)，A1(0，0)由此可得，D，E，故，.設平面BDE的法向量n(x，y，z)，則由得，即，整理得，令z1，則x0，y，n是平面BDE的一個法向量A1C平面ABC，(0，0)是平面ABC的一個法向量，cosn，平面BDE和平面ABC所成銳二面角的余弦值為.12.如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA12.(1)求三棱錐CA1B1C1的體積V；(2)求直線BD1與平面ADB1所成角的正弦值；(3)若棱AA1上存在一點P，使得，當二面角AB1C1P的大小為30時，求實數(shù)的值解析：(1)在RtA1AD中，A1DA90，A1A2，AD1，A1D.注意到點C到面A1B1C1的距離即為四棱柱ABCDA1B1C1D1的高A1D的長，所以VA1B1B1C1A1D.(2)以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)A1(0,0，)，B1(0,1，)，D1(1,0，)，C1(1,1，)，(2，1，)，(1,0,0)，(0,1，)，設平面ADB1的