1、數(shù)學(xué)概念的理解與教學(xué),人民教育出版社 章建躍 zhangjy,一、教師專業(yè)化發(fā)展的三大基石,理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。 “三個(gè)理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。 特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。,例1：為什么說在有理數(shù)乘法法則的教材設(shè)計(jì)中，滲透了數(shù)系擴(kuò)充的基本思想原有數(shù)系的運(yùn)算和運(yùn)算律保持不變？,例2：理解有理數(shù)的意義，重點(diǎn)是理解負(fù)有理數(shù)的意義。那么，難點(diǎn)在哪里？ 難點(diǎn)是用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，描述

2、向指定方向變化的情況，即：向指定方向變化用正數(shù)表示，向指定方向的相反方向變化用負(fù)數(shù)表示這與學(xué)生的日常經(jīng)驗(yàn)有一定的矛盾，需要一個(gè)“心理轉(zhuǎn)換”：把“體重減少1kg”轉(zhuǎn)換為“體重增長(zhǎng)1kg”，需要對(duì)“負(fù)”與“正”的相對(duì)性有較好的理解。,例3 在“二元一次方程組”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在認(rèn)知上會(huì)有哪些問題？應(yīng)如何化解？,例4 方程概念的本質(zhì)是什么？,方程是含有未知數(shù)的等式重要嗎？例如：ab=ba，是含有字母的恒等式，是不是方程？0 x=0，xx=0，x=1也是含有“未知數(shù)”的等式，值得研究嗎？ 理解方程，其核心在于： 引入方程概念的目的是為了求未知數(shù)； 方程是一種關(guān)系， 即在未知數(shù)和已知數(shù)之間產(chǎn)生的一種關(guān)系；

3、 方程是一種等式關(guān)系，借助等式的同解變換， 經(jīng)過對(duì)消和還原，將未知數(shù)暴露出來。,方程的這些思想方法，是代數(shù)方法不同于算術(shù)方法的本質(zhì)所在。 方程使用的代數(shù)方法，和算術(shù)方法的思路是相反的。如果把未知數(shù)當(dāng)做在河對(duì)岸的寶石，那么算術(shù)方法是摸著石頭過河，一步步地接近寶石；代數(shù)的方程解法，則是把帶鉤子的繩子甩過河，勾住寶石（建立關(guān)系），然后一把一把地拉過河，最后得到寶石。,二、數(shù)學(xué)教學(xué)存在的主要問題,數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然”，強(qiáng)加于人，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣與內(nèi)部動(dòng)機(jī)都有不利影響； 缺乏問題意識(shí)，對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力培養(yǎng)不利； 重結(jié)果輕過程，“掐頭去尾燒中段” ，關(guān)注知識(shí)背景和應(yīng)用不夠，導(dǎo)致學(xué)習(xí)過程不完整；,

4、重解題技能、技巧輕普適性思考方法的概括，方法論層次的內(nèi)容滲透不夠，機(jī)械模仿多獨(dú)立思考少，數(shù)學(xué)思維層次不高； 講邏輯而不講思想，關(guān)注數(shù)學(xué)思想、理性精神不夠，對(duì)學(xué)生整體數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高不利。,三、在理解內(nèi)容的前提下制定教學(xué)目標(biāo),如何理解三維目標(biāo) 當(dāng)前，教學(xué)目標(biāo)的表達(dá)比較混亂。較多的老師采用了“三維目標(biāo)”分別闡述的方式呈現(xiàn)目標(biāo)。,例5 同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角,（一）知識(shí)與技能目標(biāo)： 1理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念； 2能在基本的圖形中識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；,（二）過程與方法目標(biāo)： 1經(jīng)歷由已知知識(shí)，發(fā)展推廣到新知識(shí)的過程； 2從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行探索歸納過程； 3體會(huì)分類分

5、步、化歸等數(shù)學(xué)思維方法； （三）情感與發(fā)展目標(biāo)： 1從實(shí)際情景引入新課，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣； 2從兩直線相交到兩直線被第三條所截的變化過程，感受數(shù)學(xué)的發(fā)展與變化關(guān)系； 3培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作學(xué)習(xí)等能力。,對(duì)上述“目標(biāo)”的評(píng)價(jià),好的方面：已經(jīng)注意了課堂教學(xué)不僅是教知識(shí)，關(guān)注到顯性目標(biāo)與隱性目標(biāo)的不同。 需要改進(jìn)的：貼標(biāo)簽；沒有反應(yīng)內(nèi)容的特點(diǎn)；不具體；對(duì)教學(xué)的定向作用不充分；表述混亂； 特別是：混淆了課程目標(biāo)與課堂教學(xué)目標(biāo)的關(guān)系。,“三維目標(biāo)”的理解,“三維目標(biāo)”是課程目標(biāo)，不是課堂教學(xué)目標(biāo)！ “三維目標(biāo)”有內(nèi)在統(tǒng)一性，都指向人的發(fā)展，是交融互進(jìn)的：“知識(shí)和技能”只有在學(xué)生積極反思、大膽批判

6、和實(shí)踐運(yùn)用中，才能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的意義建構(gòu)；“情感、態(tài)度和價(jià)值觀”只有伴隨著學(xué)生對(duì)學(xué)科知識(shí)技能的反思、批判與運(yùn)用，才能得到提升；“過程和方法”，只有學(xué)生以積極的情感、態(tài)度為動(dòng)力，以知識(shí)和技能目標(biāo)為適用對(duì)象，才能體現(xiàn)它的存在價(jià)值。,“三維目標(biāo)”是課程目標(biāo)的設(shè)計(jì)思路，是同一學(xué)習(xí)過程中的三個(gè)心理維度，不是教學(xué)目標(biāo)的維度。 教學(xué)目標(biāo)取決于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，要在“三個(gè)維度”的指導(dǎo)下，綜合考慮學(xué)段目標(biāo)、內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)情來確定；課堂教學(xué)不是為了體現(xiàn)課程目標(biāo)的“三個(gè)維度”而存在，而是要具體而扎實(shí)地把課程內(nèi)容傳遞給學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展。,數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)系統(tǒng),教育方針學(xué)校一切學(xué)科的目標(biāo)。 課程目標(biāo)宏觀目標(biāo)，要付出大量時(shí)間和

7、精力，經(jīng)過長(zhǎng)期努力才能實(shí)現(xiàn)的學(xué)習(xí)結(jié)果；通常包含多方面的、更為具體的目標(biāo)。目前采用“總體目標(biāo)+學(xué)段目標(biāo)”的方式來呈現(xiàn)。,單元目標(biāo)中觀目標(biāo)，用于計(jì)劃需要幾周或幾個(gè)月的時(shí)間學(xué)習(xí)的單元，是課程目標(biāo)的具體化。例如，“了解函數(shù)的概念”就是一個(gè)單元目標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)的概念包含了函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)等眾多內(nèi)容。從這個(gè)單元目標(biāo)到課堂教學(xué)目標(biāo)，還需要教師的工作。,課堂教學(xué)目標(biāo)微觀目標(biāo)。專注于具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，只處理細(xì)節(jié)，它們?cè)谟?jì)劃日常教學(xué)中發(fā)揮作用。 例如，“了解函數(shù)的概念”這一單元目標(biāo)要具體化為： 了解函數(shù)的定義和三種表示法，能用函數(shù)的概念作簡(jiǎn)單判斷（是不是函數(shù)）。 能分析簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系。 能確定簡(jiǎn)單實(shí)際

8、問題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會(huì)求出函數(shù)值。 能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫簡(jiǎn)單實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系。 結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，能對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論。,正確理解內(nèi)容基礎(chǔ)上制訂目標(biāo),例5 “三線八角”的內(nèi)容理解 “兩條直線”被“第三條直線所截”，得到八個(gè)角圖形的結(jié)構(gòu)。 對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角，都是描述一對(duì)角的位置關(guān)系； 核心：根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類正確識(shí)別的前提。,“三線八角”的教學(xué)目標(biāo),能以“結(jié)構(gòu)特征”為依據(jù)對(duì)角的位置關(guān)系進(jìn)行分類，從中體會(huì)分類思想。 能正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到“兩條直線”和“第三條直線”，并識(shí)別出同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。 在“三線八角”概

9、念的引入過程中，體驗(yàn)研究幾何圖形的基本思路，如：兩條直線三條直線，共頂點(diǎn)的角不共頂點(diǎn)的角；借助第三條直線研究平行線；等。,例6 三角形的有關(guān)概念,內(nèi)容理解 面臨一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象，應(yīng)如何搭建“研究框架”？給學(xué)生展示一個(gè)研究的“基本套路”： （1）界定研究對(duì)象，即給定義（什么叫三角形）共同特征的概括（內(nèi)涵的把握）； （2）對(duì)象的組成要素、記號(hào)（邊、角、頂點(diǎn)等）； （3）分類依據(jù)本質(zhì)屬性的異同點(diǎn)，選定分類標(biāo)準(zhǔn)（如，單一屬性：角的大小，關(guān)系屬性：邊相等，還有聯(lián)合屬性：等腰直角三角形）；,（4）要素之間的關(guān)系邊、角之間的關(guān)系； （5）相關(guān)要素及其關(guān)系高、中線、角平分線，外角等； （6）其他性質(zhì)，推廣和應(yīng)

10、用等。,教學(xué)目標(biāo),知道三角形的有關(guān)概念及三角形的分類，從中體會(huì)分類思想。 掌握“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)并能初步運(yùn)用。 理解三角形的中線、角平分線、高的概念，并通過畫圖了解三角形的三條中線、三條角平分線、三條高所在的直線的交點(diǎn)情況。 通過三角形有關(guān)概念的討論過程，初步體會(huì)研究一個(gè)幾何對(duì)象的“基本套路”，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。,四、提高概念的教學(xué)水平,1當(dāng)前概念教學(xué)的問題 概念教學(xué)走過場(chǎng)，常常采用“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實(shí)惠 有些老師不知如何教概念,危害,以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法

11、嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空,2教概念的意義,李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！,3概念教學(xué)的核心,概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。,4理論依據(jù),概括是人們掌握概念的直接前提； 概括是思維的速度、靈活遷移程度、廣度和深度、創(chuàng)造程度等思維品質(zhì)的基礎(chǔ)； 概括是科學(xué)研究的關(guān)鍵機(jī)制； 學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識(shí)的過程也是概括的過程； 數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的基礎(chǔ)，概括能力的

12、訓(xùn)練是數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)； 概括與歸納、類比等直接相關(guān)，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。,5.概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié),概念的引入借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實(shí)際問題的需要引入概念； 概念屬性的概括提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括不同例證的共同特征； 概念的明確與表示下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字的、符號(hào)的）；,概念的辨析以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）； 概念的鞏固應(yīng)用用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟； 概念的“精致”納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。,例7 數(shù)軸概念的教學(xué)設(shè)計(jì),（一）內(nèi)容和內(nèi)容分析 內(nèi)容：數(shù)軸的概念，用數(shù)軸上的點(diǎn)表

13、示數(shù)（點(diǎn)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)）。 內(nèi)容分析：數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物。由此，數(shù)的概念和運(yùn)算與位置、方向、距離相統(tǒng)一，使數(shù)的語(yǔ)言得到了幾何解釋，數(shù)有了直觀意義，有助于數(shù)的概念的理解，還可以從中得到啟發(fā)而提出新的問題或結(jié)論，如相反數(shù)、絕對(duì)值等。,數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)的本質(zhì)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)（存在性、唯一性）。 這樣要求的意義：等價(jià)性，將問題轉(zhuǎn)化后所得到的結(jié)論就是原問題的結(jié)過需要學(xué)生逐漸體會(huì)。 在這樣的要求下，明確規(guī)定原點(diǎn)、方向和單位長(zhǎng)度“三要素”是必須而且自然的。,數(shù)軸的“三要素”與實(shí)數(shù)集的“三要素”,原點(diǎn) 0（原點(diǎn)和0的“基準(zhǔn)”作用） 單位長(zhǎng)度 1（“單位”的“標(biāo)準(zhǔn)”作用） 方向 符號(hào)（“方向”、“長(zhǎng)

14、度”是標(biāo)記“空間位置差別”的兩個(gè)要素。數(shù)軸的方向“左”“右”，具有“相反意義”，對(duì)應(yīng)于負(fù)數(shù)、正數(shù)。 教學(xué)重點(diǎn)是：體會(huì)數(shù)軸的三要素；體會(huì)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的合理性。,（二）目標(biāo)和目標(biāo)解析,目標(biāo) （1）能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)； （2）能借助具體實(shí)例，解釋數(shù)軸三要素的作用。,目標(biāo)解析： 目標(biāo)（1）屬于“理解”層次，是指學(xué)生能畫出數(shù)軸并找到表示給定數(shù)的點(diǎn)； 目標(biāo)（2）也屬“理解”層次，是指學(xué)生能判斷一種情境是否適合用數(shù)軸表示，并將情境中的事物與三要素分別對(duì)應(yīng)起來。 從發(fā)展的角度看，學(xué)生還應(yīng)體會(huì)到，“用點(diǎn)表示數(shù)”時(shí)，數(shù)軸“三要素”保證了點(diǎn)與數(shù)的“一一對(duì)應(yīng)”，即任意一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn)；反之，

15、數(shù)軸上任意一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于唯一一個(gè)數(shù)。這里，為什么要這樣定義，好處是什么，需要逐步體會(huì)。另外，還要逐步學(xué)會(huì)借助數(shù)軸研究問題，如與絕對(duì)值相關(guān)的問題等。,（三）教學(xué)問題診斷分析,學(xué)生第一次遇到用形表示數(shù)的問題，領(lǐng)會(huì)其中蘊(yùn)含的思想、體驗(yàn)這一方法的意義，尚待時(shí)日。可以借鑒引入負(fù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)。在基本思想上，還是要借助于具體情境，教師先講解，學(xué)生獲得體驗(yàn)后進(jìn)行模仿式舉例。 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)軸“三要素”與數(shù)集中0，1以及數(shù)的符號(hào)的對(duì)應(yīng)性。,(四)教學(xué)過程設(shè)計(jì),1問題情境下的三次抽象 問題1 在一條東西向的馬路上，有一個(gè)汽車站牌，汽車站牌往東3和7.5m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站牌往西3m和4.8m處分

16、別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境 師生活動(dòng)： 學(xué)生小組討論解決問題的方法，學(xué)生代表畫圖演示 學(xué)生畫圖后提問： （1）馬路可以用什么幾何圖形代表？（直線） （2）你認(rèn)為站牌起什么作用？（基準(zhǔn)點(diǎn)） （3）你是怎么確定問題中各物體的位置的？（方向，與站牌的距離） 設(shè)計(jì)意圖：“三要素”為定向，用直線、點(diǎn)、方向、距離等幾何符號(hào)表示實(shí)際問題這是實(shí)際問題的第一次數(shù)學(xué)抽象 說明：學(xué)生也可能只用與站牌的距離來表示有不同表示最好，可以與下面的方法做比較，看哪個(gè)更方便,問題2 上面的問題中，“東”與“西”、“左”與“右”都具有相反意義我們知道，正數(shù)和負(fù)數(shù)可以表示兩種具有相反意義的量，那么如何用數(shù)表示這些

17、樹、電線桿與汽車站牌的相對(duì)位置呢？ 學(xué)生畫圖表示后提問： （1）0代表什么？（基準(zhǔn)點(diǎn)） （2）數(shù)的符號(hào)的實(shí)際意義是什么？（方向） （3）如圖，在一條直線上，A，B的距離等于B，C的距離，B點(diǎn)用3表示，C點(diǎn)用7.5表示，行嗎？為什么？（不行，單位不一致，與實(shí)際情境不符） E D O A B C 4.8 3 0 1 3 7.5 （4）上述方法表示了這些樹、電線桿與汽車站牌的相對(duì)位置關(guān)系例如，4.8表示位于汽車站牌西側(cè)4.8 m處的電線桿你能自己再舉個(gè)例子嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)以“三要素”為定向，將點(diǎn)用數(shù)表示，實(shí)現(xiàn)第二次抽象，為定義數(shù)軸概念提供直觀基礎(chǔ),問題3 大家都見過溫度計(jì)吧？你能描述一下溫度計(jì)的

18、結(jié)構(gòu)嗎？比較上面的問題，你認(rèn)為它用了什么數(shù)學(xué)知識(shí)？ 教師可以先解釋0度的含義（冰水混合物的溫度規(guī)定為0度溫度的基準(zhǔn)點(diǎn)） 設(shè)計(jì)意圖：借用生活中的常用工具，說明正數(shù)、負(fù)數(shù)的作用引導(dǎo)學(xué)生用“三要素”表達(dá)，為定義數(shù)軸概念提供又一個(gè)直觀基礎(chǔ) 問題4 你能說說上述兩個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：完成第三次概括，即進(jìn)一步明確“三要素”的意義，體會(huì)“用點(diǎn)表示數(shù)”和“用數(shù)表示點(diǎn)”的思想方法，為定義數(shù)軸概念提供進(jìn)一步的直觀基礎(chǔ),2定義、辨析數(shù)軸概念 請(qǐng)你帶著下列問題閱讀教科書： （1）畫數(shù)軸的步驟是什么？ （2）根據(jù)上述實(shí)例的經(jīng)驗(yàn)，“原點(diǎn)”起什么作用？（“原點(diǎn)”是數(shù)軸的“基準(zhǔn)”，表示0，是表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)）

19、 （3）你是怎么理解“選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度”的？（與問題的需要相關(guān)，表示較大的數(shù)，單位長(zhǎng)度取小一些等） （4）數(shù)軸上，在原點(diǎn)的右邊，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的數(shù) ；在原點(diǎn)的左邊，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的數(shù) （宏觀看大小） 設(shè)計(jì)意圖：明晰概念，加深對(duì)數(shù)軸“三要素”的理解,3練習(xí)、鞏固概念 （1）課本練習(xí)1，2； （2）數(shù)軸上表示3的點(diǎn)在原點(diǎn)的哪一側(cè)？與原點(diǎn)的距離是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？表示數(shù)-2的點(diǎn)在原點(diǎn)的哪一側(cè)？與原點(diǎn)的距離是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，對(duì)表示a的點(diǎn)和表示a的點(diǎn)進(jìn)行同樣的討論 設(shè)計(jì)意圖： 練習(xí)（1）包括畫數(shù)軸表示有理數(shù)和指出數(shù)軸上的點(diǎn)表示的有理數(shù)，使學(xué)生進(jìn)一步鞏固數(shù)軸的概念，并使學(xué)

20、生了解所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示 練習(xí)（2）通過從特殊到一般的方法歸納出數(shù)軸上不同位置（原點(diǎn)左右）點(diǎn)的特點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括（由具體的數(shù)到字母表示的數(shù)）能力,4小結(jié)、布置作業(yè) 教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題： （1）本節(jié)課學(xué)了哪些主要內(nèi)容？ （2）數(shù)軸的“三要素”各指什么？它們各起什么作用？ （3）你能舉出引進(jìn)數(shù)軸概念的一個(gè)好處嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心數(shù)軸“三要素”，感受通過數(shù)軸把數(shù)與形結(jié)合起來的好處 布置作業(yè)： 教科書練習(xí)第3題，習(xí)題1.2第2題,例8一元二次方程求根公式的概括,整體思路： 沿著從特殊到一般、從具

21、體到抽象的思路展開，即從熟悉的方程x2=p出發(fā)，經(jīng)過不斷推廣而得到一般的ax2+bx+c=0；探究解法時(shí)，利用“配方法”，把“新方程”化歸為已解決的形式。,問題1 對(duì)于最簡(jiǎn)單的一元二次方程，例如，x2 = 25，你能根據(jù)平方根的意義直接得出它的解嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：從最簡(jiǎn)單情形出發(fā)，指明求解依據(jù)。 問題2 設(shè)p是一個(gè)常數(shù)，你能求出方程x2 =p的解嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的過程。應(yīng)放手讓學(xué)生自主探索，對(duì)p0，p0和p0三種情況進(jìn)行詳細(xì)討論。學(xué)生思考不全面的話，讓同學(xué)之間糾正。,練習(xí)1 解方程（1）x2 =5；（2）x2 =a；（3）(x+3)2 =5。 問題3 因?yàn)榉匠?x+3)2

22、=5的左邊是含有x的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程。那么，能否將x2 +6x+4=0轉(zhuǎn)化為可直接降次的形式？ 設(shè)計(jì)意圖：將x2+6x+4=0左邊配方，得(x+3)2=5，有利于學(xué)生想到配方法。 問題4 如何解方程x2 +px+q =0？ 設(shè)計(jì)意圖：將問題3一般化，配方轉(zhuǎn)化為(x+n)2 =m的形式，讓學(xué)生再次經(jīng)歷分類討論過程。,練習(xí)2 解方程（1）x2+6x+5=0； （2）x2+8x+7=0；（3）2x2 +6x8=0。 問題5 方程2x2 +6x8=0的二次項(xiàng)系數(shù)不是1，但我們通過方程兩邊除以2，將它轉(zhuǎn)化成x2 +3x4=0 ，再通過配方而得解。那么，方程ax2+bx+c=0(a0)如何求解呢？ 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合問題4，將方程轉(zhuǎn)化為(x+n)2 =p的形式，進(jìn)而得到求根公式。 說明：推導(dǎo)求根公式時(shí)，主要是“配方分類討論”，應(yīng)該讓學(xué)生自己完成。,五、核心是“思維的教學(xué)”,1樹立正確的學(xué)生觀學(xué)生的主動(dòng)參與是根本保證。 2讓學(xué)生真正“動(dòng)起來”書上得來終覺淺，絕知此事須躬行。 3精心選擇和使用例子一個(gè)好例子勝過一千次說教。 4關(guān)注課堂中生成的教學(xué)資源從學(xué)生的切身體驗(yàn)中引發(fā)更深層次的思考。 5把概括的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生。,例9 銳角三角函數(shù)概念概括過程的設(shè)計(jì),目的：解直角三角形