1、復(fù)習(xí)（數(shù) 列） 一、要點(diǎn)透視數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，同是數(shù)列與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系密切。在內(nèi)容上本章包括數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)概念、性質(zhì)、通項、前n項和等。等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個特殊數(shù)列，是本章的核心。由于數(shù)列可以看成是正整數(shù)集或其子集上的函數(shù)，因此，要注意用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法研究數(shù)列。二、知識復(fù)習(xí)（1） 有關(guān)概念：1數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項。 2數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做數(shù)列的通項公式。 3數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第一項（或前n項，且任一項an與它的前一項an-1（或前n項）間

2、的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式。 4若數(shù)列an的前n項和為Sn則 （2）等差與等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。即an-an-1=d，公差d可為正數(shù)、負(fù)數(shù)和零（A.P） 如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。即，公比q是一個不等于零的常數(shù)。（G.P）通項公式（來源：定義，迭加，迭代）（證明）(定義,迭乘，迭代）中項 若a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，且2A=a+b。（充要條件存在唯一）若a，G，b成等比數(shù)列，那么G

3、叫做a與b的等比中項，且G2=ab。G2=ab，僅是a，G，b成等比數(shù)列的必要非充分條件。前n項和（倒序相加）（錯位相減）性質(zhì)（1）（2）（3）若an為等差數(shù)列，則an，a2n，a3n也為等差數(shù)列（4）若an為等差數(shù)列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也為等差數(shù)列（5）若an，bn都是等差數(shù)列，則an+c，kan，an+bn也是等差數(shù)列（其中k、c為任何常數(shù)）(1)（2）（3）若an為GP，則an，a2n，a3n也為GP（4）若an為GP，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也為GP。（5）若an，bn都是GP，則kan（k0），也是GP。充要條件（1）（常數(shù)）an為等差數(shù)列（2）（k、b

4、不同時為0的常數(shù)）an為等差數(shù)列（3）不同時為0的常數(shù)）為等差數(shù)列（4）為等差數(shù)列（1）（q0常數(shù)）an為GP。（2）常數(shù)）an為GP。（3）（）為GP。三、典型例題例1數(shù)列中，求該數(shù)列的通項公式。解：由有： 故數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，且首項為 說明：一般地，形如為非零常數(shù)，可變形為，其中，則是一個公比為的等比數(shù)列。例2設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，則其的通項公式 。解：， 即 是各項為正的數(shù)列， 由此有： 說明：本題先得到，再采用連乘，從而得到數(shù)列的通項。當(dāng)然，作為2000年的高考題，本題也可以計算，從而采用猜想可得若將變形為，視為整體，則，構(gòu)成一個常數(shù)列，故，。例3已知等差數(shù)列前三項為，4

5、，前n項和為，若 求a及k的值；求解：設(shè)等差數(shù)列為，則，由已知有，公差，代入得即（舍去）， 由例4、設(shè)數(shù)列的前n項和，設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列。解：當(dāng)時，當(dāng)時，故數(shù)列為等比數(shù)列，且其通項公式為而 所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列。例5、已知n為正整數(shù)，解關(guān)于x的不等式：解：原不等式左邊化為原不等式可化為：當(dāng)為奇數(shù)時，則不等式等價于 即因為，故不等式的解集為；當(dāng)為偶數(shù)時，則不等式等價于，則即或 ， 則不等式的解集為綜上所述：當(dāng)為奇數(shù)時，原不等式的解集為；當(dāng)為偶數(shù)時，原不等式的解集為 例6設(shè)，且集合為單元素集合。求的表達(dá)式；已知數(shù)列滿足條件，且。求的值。解：由得 對于方程 若是方程的解且的解也為

6、，此時， 若是方程的解，且無解，即無解，則，此時，。若不是方程的解，即使得分母，此時，即綜上可知的表達(dá)式為：或或?qū)τ冢瑒t，且 對于有，且 故對于則有，故例7設(shè)，是函數(shù)的反函數(shù)圖象上不同三點(diǎn)，如果使得成等差數(shù)列的實數(shù)有且僅有一個，試求實數(shù)的取值范圍。解：是的反函數(shù)上不同三點(diǎn)， 關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，在的圖象上。即又、成等差數(shù)列， 則即原問題轉(zhuǎn)化為使方程有且僅有一有且滿足或者有兩個相等的實根且滿足。由 時，此時滿足時，此時 滿足且故必須使不滿足或。而 必須使，即 解得 綜上所述或。鞏固習(xí)題1成等差數(shù)列，和依次成等比數(shù)列，則 2在等差數(shù)列中，已知，則 3三個正數(shù)成等比數(shù)列，若是的等差中項，為的等差中項，

7、則的值為 4數(shù)列的通項，則的前項和為 5數(shù)列的前項和滿足，則通項 6各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則 7數(shù)列中，那么該數(shù)列中相領(lǐng)兩項乘積為負(fù)的是 和 。8某工廠生產(chǎn)總值月平均增長率為P，則年平均增長率為9某正項等比數(shù)列的首項為，其前13項的幾何平均值為，前13項中去掉一項后的幾何平均值為，則去掉的是第 項。10首項相等的正項等差數(shù)列和等比數(shù)列，若，則和的大小關(guān)系是 11若，則數(shù)列，前項和為 12數(shù)列的前項和為 13兩個等差數(shù)列和，它們的前項和分別為和，若，則 14有四個數(shù)成等差數(shù)列，把它們分別加上4，3，3，5后又依次成等比數(shù)列，求此四個數(shù)。15已知數(shù)列前項和。數(shù)列中，且存在常數(shù)C使得對一切正整數(shù)，恒好常數(shù)，試求出和M的值。16數(shù)列和中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)