1、專題七 二次函數(shù)綜合題,類型三 特殊四邊形的存在性問(wèn)題 (遵義2014.27(3)；銅仁2018.25(2),【方法指導(dǎo)】 平行四邊形的判定,矩形、菱形的判定方法參照中平行四邊形的判定,典例精講,例 已知拋物線yax2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(diǎn) (1)求拋物線的解析式、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；,例題圖,【思維教練】要求拋物線的解析式，需將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入yax2bxc中，解方程組即可；把拋物線一般式化成頂點(diǎn)式，可得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸,解：將點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(diǎn)代入yax2bxc中，得 ，解得 ， 拋物線的解析式為yx24x3. 把

2、yx24x3化成頂點(diǎn)式為y(x2)21， 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，對(duì)稱軸是直線x2；,(2)過(guò)點(diǎn)C作CD平行于x軸，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)D，試判斷四邊形ABDC的形狀，并說(shuō)明理由；,例題圖,【思維教練】要判斷四邊形ABDC的形狀，觀察發(fā)現(xiàn)：四邊形ABDC為平行四邊形，結(jié)合已知條件有CDAB，再設(shè)法證明ABCD即可,解：四邊形ABDC是平行四邊形 理由如下： D點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，CDx軸， D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即CD2， A (1，0)，B(3，0)， AB2， ABCD， 又CDAB， 四邊形ABDC是平行四邊形；,(3)如果點(diǎn)G是直線BC上一點(diǎn)，點(diǎn)H是拋物線上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)G和

3、H，使得以G，H，O，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；,例題圖,【思維教練】先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G和H，由于OC的長(zhǎng)度和位置確定，所以點(diǎn)G、H的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值與OC相等，據(jù)此可求出點(diǎn)H的坐標(biāo),解：存在，如解圖， 設(shè)直線BC的解析式為ykxb(k0)， 將點(diǎn)B(3，0)，C(0，3)代入可得： ，解得 ， 直線BC的解析式為yx3. 點(diǎn)G在直線BC上，點(diǎn)H在拋物線上，且以點(diǎn)G，H，O，C構(gòu)成的四邊形是以O(shè)C為邊的平行四邊形，GHx軸，GHOC， 設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為(n，n3)，H點(diǎn)坐標(biāo)為(n，n24n3)，,例題解圖,GHOC3， GH|n24n3(n3)|n23n|3

4、， 當(dāng)n23n3時(shí)， 解得n ； 當(dāng)n23n3時(shí)，方程無(wú)解； 當(dāng)n 時(shí)，n24n3 ； 當(dāng)n 時(shí)，n24n3 . 綜上所述，存在這樣的點(diǎn)G和H，使得以G，H，O，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)H的坐標(biāo)為( ， )或( ， ) ；,例題解圖,(4)如果點(diǎn)M在直線BC上，點(diǎn)N在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M和N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；,例題圖,【思維教練】先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M、N，因?yàn)锳B長(zhǎng)度和位置確定，故需分AB作邊還是對(duì)角線兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)AB為邊時(shí)，則MNAB，且MNAB，據(jù)此可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，則MN與AB互相平

5、分，從而確定點(diǎn)N的坐標(biāo),解：存在點(diǎn)M，N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形 當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí)，需考慮點(diǎn)M和N的位置關(guān)系(即點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊還是右邊)，如解圖， ()當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，m24m3)， 則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m2，m5)，四邊形ABNM是平行四邊形， m24m3m5，解得m ， 當(dāng)m 時(shí)，m24m3 ； 當(dāng)m 時(shí)，m24m3 . 點(diǎn)N的坐標(biāo)為( ， )或( ， ) ；,例題解圖,()當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(m，m24m3)， 則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m2，m1)， 四邊形ABMN是平行四邊形， m24m3m1，解得m1或2， 當(dāng)m1時(shí)，

6、點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，故舍去； 當(dāng)m2時(shí)，m24m31， 點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2，1)；,當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，則MN與AB互相平分，如解圖，AB與MN相交于點(diǎn)J，易得J(2，0)，易得AJNJBJMJ， 設(shè)M(m，m3)，N(n，n24n3)， 則有 2， m3n24n30， 整理，得n23n20， 解得n11(舍去)，n22， N點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1) 綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為( ， ) ， ( ， ) ，(2，1)；,例題解圖,(5)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)為K，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為y軸上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P和Q，使得四邊形CKPQ是菱形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；,例題

7、圖,【思維教練】先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，由于四邊形CKPQ四個(gè)頂點(diǎn)順序已確定，則CK為菱形的邊，故利用KPCK上下平移直線BC，與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.,解：存在理由如下： K點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)， CK ， 假如存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形CKPQ為菱形， 則KPCK2 ，如解圖， 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)K的下方時(shí)，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2，12 )， 當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)K的上方時(shí)，點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(2，12 ) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，12 )或(2，12 )；,例題解圖,(6)若點(diǎn)R是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)S是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任一點(diǎn)，是否存在滿足條件的點(diǎn)R、S，使得四邊形BCRS為矩形？若存在，求出點(diǎn)R、S的坐

8、標(biāo),例題圖,【思維教練】先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R、S，要使四邊形BCRS為矩形，則點(diǎn)R在直線BC上方，且BCR90，可通過(guò)尋找相似三角形利用相似求出點(diǎn)R，再根據(jù)矩形性質(zhì)求出點(diǎn)S.,解：存在，如解圖，要使四邊形BCRS為矩形，拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)T， 則BCR90，CRKTBK， ， 由(5)知，K(2，1)，CK2 ， T(2，0)，TK1，BK ， RK 4， R(2，5)， CBRS，CBRS，根據(jù)點(diǎn)平移及矩形性質(zhì)可得S(5，2) 故存在滿足條件的點(diǎn)R、S，使得四邊形BCRS為矩形，且點(diǎn)R、S的坐標(biāo)分別為R(2，5)，S(5，2),例題解圖,針對(duì)演練,解：(1)設(shè)拋物線的解析式為yax2

9、bxc， 將對(duì)稱軸和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式， 得 ，解得 ， 拋物線的解析式為y x2 x4， 配方，得y (x )2 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為( ， )； (2)設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x， x2 x4)，S2 OAyE6( x2 x4)，即S4x228x24；,(3)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，平行四邊形OEAF可能為菱形，理由如下： 當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)， 即4x228x2424，化簡(jiǎn)，得x27x120，解得x3或4， 當(dāng)x3時(shí)，EOEA，則平行四邊形OEAF為菱形； 當(dāng)x4時(shí)，EOEA，則平行四邊形OEAF不為菱形 平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，平行四邊形OEAF可能為菱形

10、,解：(1)C1與C2關(guān)于y軸對(duì)稱， C1與C2交點(diǎn)一定在y軸上，且C1與C2的形狀、大小均相同， a1，n3，C1的對(duì)稱軸為x1， C2的對(duì)稱軸為x1，m2， C1：yx22x3，C2：yx22x3； (2)令C2中y0，則x22x30， 解得x13，x21， 點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，A(3，0)，B(1，0)； (3)存在如解圖，設(shè)P(a，b)，,第2題解圖,四邊形ABPQ是平行四邊形，PQAB4，Q(a4，b)或(a4，b) 當(dāng)Q(a4，b)時(shí)， 得a22a3(a4)22(a4)3，解得a2， ba22a34435，P1(2，5)，Q1(2，5)； 當(dāng)Q(a4，b)時(shí)， 得a22a3(a4)22

11、(a4)3，解得a2， ba22a34433.P2(2，3)，Q2(2，3) 綜上所述,所求點(diǎn)的坐標(biāo)為P1(2，5),Q1(2，5)或P2(2，3)，Q2(2，3),類型四 相似三角形的存在性問(wèn)題 (銅仁2018.25(3) 【方法指導(dǎo)】ABC與DEF相似，在沒指明對(duì)應(yīng)點(diǎn)的情況下，理論上應(yīng)分六種情況討論，但實(shí)際問(wèn)題中通常不超過(guò)四種，常見有如下兩種類型，每類分兩種情況討論就可以了,另外，如果不滿足以上兩種情況，但可以確定已知三角形的形狀(特征)時(shí)，先確定動(dòng)態(tài)三角形中固定的因素，看是否與已知三角形中有相等的角，若存在，根據(jù)分類討論列比例關(guān)系式求解；已知條件中有一條對(duì)應(yīng)邊，只需要討論另外兩條邊的對(duì)應(yīng)

12、關(guān)系，列比例關(guān)系式求解；若可得相似三角形的某個(gè)對(duì)應(yīng)角的度數(shù)時(shí)，分類討論另外兩個(gè)角的對(duì)應(yīng)情況，列比例關(guān)系式求解,典例精講,例 如圖，拋物線圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A位于x軸的正半軸，點(diǎn)B位于x軸的負(fù)半軸，且OA ，OB3 .拋物線交y軸于點(diǎn)C(0，3) (1)求拋物線的解析式；,例題圖,【思維教練】要求拋物線的解析式，已知OA，OB 的長(zhǎng)度，可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式,解：OA ，點(diǎn)A在x軸的正半軸，A( ，0)， OB3 ，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸， B(3 ，0)， 設(shè)拋物線的解析式為：yax2bxc， 將點(diǎn)A( ，0)，B(3 ，0)，C(0，

13、3)代入，得 ， 解得 ，即此拋物線的解析式為y x2 x3；,(2)連接AC、BC，則在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)D，使得ABCACD(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合)，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)；,例題圖,【思維教練】要在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)D，使得ABCACD，由(1)知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷出ABC為直角三角形，則可知ACD必是直角三角形且點(diǎn)D對(duì)應(yīng)直角頂點(diǎn)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),解：存在，如解圖，tanOCA ，OCA30， tanBCO ，BCO60，ACB90， ABC為直角三角形， ABCACD，且點(diǎn)D在坐標(biāo)軸上， 由題易知，AB4 ，AC2 ，BC6， ，即 ， CD3，C(0，3

14、)，D(0，0)；,例題解圖,(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸分別交拋物線，x軸于點(diǎn)E，F(xiàn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)G(不與點(diǎn)F重合)，使得AEF與AEG相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G坐標(biāo)；,【思維教練】要使AEF與AEG相似，因?yàn)锳EF為直角三角形，需考慮AEG中哪個(gè)角為直角的情況：當(dāng)點(diǎn)G在x軸上時(shí)，分AEFAGE和AEFAEG兩種情況,例題圖,解：存在，AEF是直角三角形，且AEF與AEG相似， AEG也是直角三角形，點(diǎn)G在x軸上，分兩種情況討論： 當(dāng)AGEAEF時(shí)，由(1)知A( ，0)，E( ，4)，EF4，AF2 ， 根據(jù)勾股定理，得AE2 ， ，AE2AGAF， 解得AG ， OGAGOA ，即G(

15、，0)； 當(dāng)AEFAEG時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)G重合， 綜上所述，G點(diǎn)坐標(biāo)為( ，0) ；,(4)直線AC與拋物線的對(duì)稱軸交于M點(diǎn)，在y軸上是否存在一點(diǎn)N，使得AOC與MNC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N坐標(biāo)；,例題圖,【思維教練】要使AOC與MNC相似，因?yàn)锳COMCN，則需考慮AOC90這個(gè)直角與哪個(gè)角對(duì)應(yīng)，從而分以下兩種情況討論：AOCMNC，AOCNMC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例計(jì)算出點(diǎn)N的坐標(biāo),解：存在，設(shè)直線AC的解析式為ykxb，將A( ，0)，C(0，3)代入， 直線AC的解析式為y x3，易知AC2 ， 又拋物線對(duì)稱軸為x ， 將x 代入y x3中，得y6， M( ，6)， 又C(0，3)， MC

16、. 分以下兩種情況討論：,()如解圖，過(guò)點(diǎn)M作MNy軸于點(diǎn)N，此時(shí)AOCMNC， 則此時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相等， N(0，6)；,例題解圖,()如解圖，過(guò)點(diǎn)M作MNAC 于點(diǎn)M，此時(shí)AOCNMC， ，即 ， NC4， 則ONOCNC7， N(0，7) 綜上所述：滿足要求的點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，6)或(0，7)；,例題解圖,(5)在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使AOC與ACP相似若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由,例題圖,【思維教練】要使AOC與ACP相似，因?yàn)锳OC是直角三角形，而ACP中三個(gè)內(nèi)角均可能為直角，故需分三種情況討論，在每種情況之下，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再看求出的點(diǎn)是否滿足三角形相似的條件

17、,解：存在，AOC是直角三角形，AOC與ACP相似， ACP也是直角三角形， 分以下三種情況討論： ()如解圖， 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即ACP90時(shí)， AOCACB，CAOBAC， AOCACB， 此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3 ，0)；,例題解圖,()如解圖，當(dāng)CAP90時(shí)，AC2AP2CP2， 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x， x2 x3)， A( ，0)，C(0，3)， AC2( )23212，AP2(x )2( x2 x3)2， CP2x2(3 x2 x3)2， 即12(x )2( x2 x3)2x2(3 x2 x3)2， 解得x 或4 . 當(dāng)x 時(shí)y0，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，故舍去，P(4 ，5)；,例題解圖,A

18、P . ， 2， ， ， ， . AOC與ACP不相似， P(4 ，5)(舍去)； ()如解圖，當(dāng)CPA90時(shí)，以AC為直徑作圓， 此圓過(guò)點(diǎn)O、A、C，不與拋物線有其他交點(diǎn)， 則不存在符合要求的點(diǎn)P. 綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3 ，0),例題解圖,針對(duì)演練,1. (2018烏魯木齊)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y x2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(8，0) (1)求拋物線的解析式； (2)點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，連接BC，設(shè)點(diǎn)P是拋物 線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，PDBC，垂足為點(diǎn)D. 是否存在點(diǎn)P，使線段PD的長(zhǎng)度最大，若存在，請(qǐng) 求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； 當(dāng)PDC與COA相似時(shí)，求點(diǎn)P的

19、坐標(biāo),第1題圖,解：(1)將A(2，0)，B(8，0)代入y x2bxc得， 拋物線解析式為：y x2 x4；,在RtPDE中，PDPEsinPEDPEsinOCBPE PE PE，當(dāng)線段PE最長(zhǎng)時(shí)，PD的長(zhǎng)度最大 設(shè)P(t， t2 t4)， 點(diǎn)E在直線BC上，且點(diǎn)E，G的橫坐標(biāo)與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相等， E(t， t4)，G(t，0)，即PG t2 t4， EG t4， PEPGEG t22t (t4)24(0t0，將ACD 拆分成同底，且以點(diǎn)A、C為頂點(diǎn)的兩個(gè)三角 形求解,例題圖,解：依題意可設(shè)D(x， x2 x2)(4x0)， 如解圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)D作DFx軸交AC于點(diǎn)F， 設(shè)直線AC的解析

20、式為ykxb(k0)，將點(diǎn)A(4，0)，C(0，2)代入， 得 ，解得 ， 直線AC的解析式為y x2， F(x， x2)，,SADCSADFSCDF (xDxA)(yDyF) (xCxD)(yDyF) (xCxA)(yDyF) 4( x2 x2 x2) x22x (x2)22， 0，4x0，MQEQ，ME5，MQ3， 由勾股定理得EQ 4， ，解得 或 (舍去)， 點(diǎn)Q( ， )，同理可得點(diǎn)P( ， )，,例題解圖,設(shè)直線l1和直線l2的解析式分別為y1k1xb1，y2k2xb2， 則 ，解得 ； ，解得 . 直線l1、l2的解析式分別是 y1 x ，y2 x . 直線l的解析式是 y x

21、或y x .,針對(duì)演練,1. 如圖，拋物線yax2bx3(a0)與x軸交于A(3，0)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸是直線x1，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方，且CE . (1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)求證：直線DE是ACD的外接圓的切線,第1題圖,(1)解：拋物線的解析式為yax2bx3，對(duì)稱軸為直線x1， x 1，即b2a， 點(diǎn)A(3，0)在拋物線上，9a3b30， 聯(lián)立得 ，解得 ， 拋物線的解析式為yx22x3. 當(dāng)x1時(shí)，y1234， 頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，4)；,(2)證明：點(diǎn)C是拋物線yx22x3與y軸的交點(diǎn)， 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)， AC3 ，CD ，AD2 ， AC2CD2AD2， ACD是直角三角形，且ACD90， AD是ACD外