1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算-換底公式一、內(nèi)容與內(nèi)容解析本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教A版必修1第二章基本初等函數(shù)（I）中2.2.1節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的第三課時(shí)，主要內(nèi)容是探究換底公式并會(huì)用其進(jìn)行簡單的證明和計(jì)算.在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了對(duì)數(shù)的概念、指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，并且利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系推導(dǎo)出了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，本節(jié)課就是在此基礎(chǔ)上，探究討論對(duì)數(shù)的換底公式.從指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系出發(fā)，證明對(duì)數(shù)換底公式，有多種途徑，在教學(xué)中要讓學(xué)生去探究，對(duì)學(xué)生的正確證法要給予肯定；證明得到對(duì)數(shù)的換底公式以后，要引導(dǎo)學(xué)生利用換底公式得到一些常見的結(jié)果，并處理一些求值轉(zhuǎn)化的問題.教學(xué)的重點(diǎn)：對(duì)數(shù)的換底公式的應(yīng)用

2、.本節(jié)內(nèi)容具有很強(qiáng)的靈活性，換底公式在以后的學(xué)習(xí)中有著非常重要的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則是在同底的基礎(chǔ)上，就使得其有很強(qiáng)的局限性，因此利用對(duì)數(shù)換底公式把不同底數(shù)的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為同底顯得非常重要.特別是在解決實(shí)際問題，計(jì)算具體的對(duì)數(shù)數(shù)值時(shí)，換底公式更是不可或缺.因此要反復(fù)訓(xùn)練，強(qiáng)化記憶.本節(jié)內(nèi)容由兩部分構(gòu)成，其一探究對(duì)數(shù)的換底公式并對(duì)其進(jìn)行證明，并在探究過程中學(xué)會(huì)研究某些數(shù)學(xué)問題的過程與方法；其二利用換底公式去進(jìn)行具體的求值和運(yùn)算.本節(jié)課內(nèi)容是體現(xiàn)新課程讓學(xué)生積極自主探索、合作交流學(xué)習(xí)方式的良好素材.本節(jié)課蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想及方法，尤其是在探究換底公式的過程中，以特殊例子為引入，然后逐步的一般化，體現(xiàn)

3、了從特殊到一般以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.本節(jié)的實(shí)例，可以讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，從而向?qū)W生滲透學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的思想，能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣.也能給學(xué)生一些科普方面的教育.同時(shí)，本節(jié)課又教給學(xué)生如何利用計(jì)算器去算對(duì)數(shù)的方法，增強(qiáng)了本節(jié)課的實(shí)用性,也給了學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）教學(xué)目標(biāo)1掌握對(duì)數(shù)的換底公式，并能利用換底公式解決對(duì)數(shù)問題.2在探究換底公式過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸以及從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.3培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用已有知識(shí)發(fā)現(xiàn)問題及解決問題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.（二）教學(xué)目標(biāo)解析1掌握換底公式指的是：熟記換底

4、公式，能夠證明換底公式，并且要鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同的方法去證明,拓展思維；對(duì)數(shù)的換底公式是進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算的重要基礎(chǔ)，這里要求學(xué)生能夠利用它將對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)來計(jì)算.2體會(huì)數(shù)學(xué)思想指的是：通過問題1、問題2和問題3的逐步的推進(jìn)和一般化，體會(huì)數(shù)學(xué)從特殊到一般的解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)，利用指數(shù)對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化或者題目中底數(shù)的化歸統(tǒng)一等，加深對(duì)轉(zhuǎn)化和化歸的理解. 3對(duì)于具體的求值問題，可以應(yīng)用不同的性質(zhì)來解決，非常靈活，但不困難，題目做起來非常有趣；通過這部分內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn).如例2是一道跟歷史、科普知識(shí)有關(guān)的題目，而且還要用到計(jì)算器，這些都將吸引學(xué)生，并且激發(fā)學(xué)生學(xué)

5、習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.三、教學(xué)問題診斷分析（一）問題診斷分析（1）個(gè)別同學(xué)在求解時(shí)會(huì)存在無從下手的感覺，其根本原因是學(xué)生對(duì)于利用指數(shù)與對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化探究對(duì)數(shù)性質(zhì)的過程理解不深刻，教學(xué)中以小組合作探究式的學(xué)習(xí)方式來彌補(bǔ)這一不足.（2）在解決具體問題時(shí)，學(xué)生不能選擇適當(dāng)?shù)牡讛?shù)來應(yīng)用換底公式.出現(xiàn)這一問題的原因是：學(xué)生對(duì)換底公式尚不太熟悉，轉(zhuǎn)化的能力也有待提高。要解決這一問題，需要通過對(duì)換底公式的變形公式的探究及具體的例子，讓學(xué)生自主探究，必要時(shí)給予適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，逐步掌握換底公式的應(yīng)用.（3）學(xué)生對(duì)于應(yīng)用題有一定的畏難情緒，因此在處理本課中的兩道應(yīng)用題時(shí)，采取第一道，教師引領(lǐng)的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)；第二道

6、先讓學(xué)生分組探究合作理解，再讓學(xué)生講解.從而讓學(xué)生意識(shí)到，應(yīng)用問題并不難解決，只要靜下心來，慢慢讀題，理解題意，就能很好的完成. （二）學(xué)情分析本節(jié)課的授課對(duì)象是高一年級(jí)的學(xué)生.從知識(shí)層面上看，學(xué)生在前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì),這些為本節(jié)課打下了知識(shí)基礎(chǔ);從思想方法層面說，學(xué)生對(duì)于倒序相加這種方法從未接觸過，但此處證明采取的從特殊到一般的方法，學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)學(xué)生已經(jīng)知道在解決有關(guān)對(duì)數(shù)問題時(shí)，涉及轉(zhuǎn)化的思想，對(duì)于有特殊到一般地研究數(shù)學(xué)問題的模式也有所了解，這些都為本節(jié)學(xué)習(xí)和證明換底公式打下了思想上的基礎(chǔ);從學(xué)生情感層面上看,學(xué)生對(duì)于對(duì)數(shù)這個(gè)新知識(shí)，尤其感興趣，本節(jié)的換底公式能解決

7、學(xué)生對(duì)于對(duì)數(shù)應(yīng)用的疑惑，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.但探究問題的能力以及合作交流等方面發(fā)展不夠均衡，教師對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行關(guān)注.教學(xué)難點(diǎn)：換底公式及其應(yīng)用.四、教法分析本節(jié)課以問題為載體，采取講授與探究相結(jié)合的方法，通過逐層深入的問題將學(xué)習(xí)內(nèi)容逐步的呈現(xiàn)給學(xué)生，為學(xué)生提供動(dòng)手做、動(dòng)眼看、動(dòng)腦想和動(dòng)口說的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、合作探究，體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念.讓學(xué)生在解決問題的過程中探究數(shù)學(xué)知識(shí)獲取直接經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和問題意識(shí).五、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)提問，導(dǎo)入新課活動(dòng)一：問題1：對(duì)數(shù)的定義.問題2：指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系.問題3：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).【設(shè)計(jì)意

8、圖】本節(jié)課需要利用指數(shù)對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化以及對(duì)數(shù)的性質(zhì)來推導(dǎo)換底公式，以復(fù)習(xí)提問開場，讓學(xué)生做好充分的知識(shí)準(zhǔn)備，以便新課的探究和學(xué)習(xí).活動(dòng)二：問題：截止到1999年底，我國人口約13億.如果今后能將人口平均增長率控制在1%，那么經(jīng)過年后人口總數(shù)為,則經(jīng)過多少年后人口總數(shù)可達(dá)到18億？【師生活動(dòng)】學(xué)生針對(duì)問題，進(jìn)行回答.同時(shí)，留下懸念. 【設(shè)計(jì)意圖】利用前面講過的人口增長模型為引例，設(shè)疑導(dǎo)入新課.讓學(xué)生知道學(xué)習(xí)新知的必要性.（二）多元互動(dòng)，探究新知問題1：已知 求【師生活動(dòng)】學(xué)生投影展示解題過程,教師給與適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)和補(bǔ)充.【設(shè)計(jì)意圖】本問題時(shí)作為課后思考題布置給學(xué)生的,希望學(xué)生們能在課下的獨(dú)立思考和討論

9、中，得到不同的方法，擴(kuò)展思維，同時(shí)也為下面的問題2和問題3的解決打下基礎(chǔ).問題2：根據(jù)問題1,如你能用含的對(duì)數(shù)式來表示嗎？【師生活動(dòng)】本問題讓學(xué)生獨(dú)立思考，教師巡視，對(duì)于有問題的給予個(gè)別輔導(dǎo).最后同學(xué)口答出結(jié)果.【設(shè)計(jì)意圖】問題1是問題2的特例，問題2將已知一般化，學(xué)生通過問題1的解題思路，可以很容易的知道可以用任意的一個(gè)大于零且不等于1的常數(shù)為底的3的對(duì)數(shù)與以為底的2的對(duì)數(shù)的商來表示，這樣就更加接近換底公式的一般結(jié)論.問題3：通過問題1和問題2，能猜想到的更一般的結(jié)論是如何證明呢？【師生活動(dòng)】全體同學(xué)一起猜想結(jié)論，教師給予肯定，然后思考如何證明，不同方法進(jìn)行展示.【設(shè)計(jì)意圖】有了問題1和問題

10、2做鋪墊，對(duì)于問題3的結(jié)論學(xué)生可以很自然的猜測到，并且證明過程也很容易得到.到了這步教師更是要啟發(fā)學(xué)生展示不同的方法，從不同的角度去解決這個(gè)問題. 在從問題1到問題3的解決過程中，讓學(xué)生體會(huì)如何從特殊到一般地猜想問題、證明問題.問題4：解決本課開始留下的問題,利用計(jì)算器計(jì)算的值.【師生活動(dòng)】學(xué)生利用換底公式解決問題.【設(shè)計(jì)意圖】與本課開始的設(shè)計(jì)呼應(yīng),新課的學(xué)習(xí)解決了遺留的問題,更讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)換底公式的必要性.問題5:利用換底公式證明下面等式成立.【師生活動(dòng)】雖然證明過程很簡單，但對(duì)個(gè)別學(xué)生來說會(huì)稍有困難，所以有必要對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥.得出結(jié)論后，教師要針對(duì)公式本身進(jìn)行一個(gè)剖析.【設(shè)計(jì)意圖

11、】對(duì)這兩個(gè)等式進(jìn)行證明，一來是通過證明加深學(xué)生對(duì)換底公式的理解，二來給出換底公式的兩個(gè)變形結(jié)論，方便學(xué)生以后的學(xué)習(xí).（三）應(yīng)用新知，交流展示例1 求的值.變式 求的值.【師生活動(dòng)】學(xué)生觀察題目，思考交流，教師適時(shí)提示，學(xué)生板演，利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)，解題方法不唯一，對(duì)于不同的方法進(jìn)行投影展示.【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)例題的練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)到換底公式及其推論在解決有關(guān)對(duì)數(shù)問題時(shí)的方便性,還要注意對(duì)其的靈活應(yīng)用.例2 生物機(jī)體內(nèi)碳14的“半衰期”為5730年，湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆古墓的年代.【師生活動(dòng)】師生共同分析題目，學(xué)生列式子解題，并利用計(jì)

12、算器計(jì)算對(duì)數(shù)，最后得出結(jié)論.【設(shè)計(jì)意圖】1.在給出換底公式并應(yīng)用其解決了簡單的計(jì)算問題之后，給出例2，一道實(shí)際應(yīng)用的問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用；2.對(duì)學(xué)生進(jìn)行科普教育，如半衰期的概念以及通過碳14含量推斷古物的年代的方法；3.學(xué)生體會(huì)利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器計(jì)算對(duì)數(shù)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)的實(shí)用性.例3 20世紀(jì)30年代,里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說的里氏震級(jí),計(jì)算公式為.其中,是被測地震的最大振幅,是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）.（1）

13、假設(shè)在一次地震中,一個(gè)距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001,計(jì)算這次地震的震級(jí)（精確到0.1）；（2）5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍（精確到1）.【師生活動(dòng)】讓學(xué)生分組去學(xué)習(xí)例3，教師在巡視的過程中，對(duì)個(gè)別同學(xué)進(jìn)行輔導(dǎo).在分組討論后，請(qǐng)小組代表來講解.最后，教師進(jìn)行總結(jié).【設(shè)計(jì)意圖】在分組學(xué)習(xí)討論的過程中，可以加強(qiáng)學(xué)生的溝通交流，讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)成功的樂趣，同時(shí)教師給與適當(dāng)?shù)慕逃?，使學(xué)生克服對(duì)應(yīng)用題的畏難情緒.（四）歸納梳理，總結(jié)提升1.本節(jié)課學(xué)到了哪些知識(shí)？2.針對(duì)本節(jié)課，覺得自己哪些方面需要

14、加強(qiáng)？【師生活動(dòng)】：先由學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師作補(bǔ)充說明，尤其指出本節(jié)課所經(jīng)歷的知識(shí)探究過程，強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)換底公式在實(shí)際應(yīng)用中的重要性.【設(shè)計(jì)意圖】1.通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識(shí)及方法納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).2.分析自己的表現(xiàn)，了解自己的長處和不足，以便今后改進(jìn),同時(shí)，提升情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo).（五）反饋練習(xí) 1.列各式的值(1)(2)【設(shè)計(jì)意圖】兩道簡單的直接應(yīng)用換底公式或其推論計(jì)算的題目，檢測學(xué)生對(duì)換底公式的掌握和使用情況.（六）分層作業(yè)，夯實(shí)基礎(chǔ)必做題：質(zhì)量監(jiān)測P49A組，選做題：P50頁B組. 【設(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，讓不

15、同的學(xué)生有不同的收獲.天津市西青區(qū) 楊柳青第一中學(xué) 張波對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算-換底公式的教學(xué)反思本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)人教A版必修1第二章基本初等函數(shù)（I）中2.2.1節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的第三課時(shí)換底公式。下面就本節(jié)課的設(shè)計(jì)和具體實(shí)施的情況做個(gè)分析比對(duì)。 第一個(gè)環(huán)節(jié)是“復(fù)習(xí)提問，導(dǎo)入新課”，通過一個(gè)人口問題設(shè)置一個(gè)疑問，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)新知的必要性。在上課過程中，這個(gè)問題達(dá)到了預(yù)設(shè)的效果。第二個(gè)環(huán)節(jié)是“多元互動(dòng)，探究新知”，課前留下了思考問題1，學(xué)生很好的完成了，并且在課上做了展示，以此問題為契機(jī)，去探究問題2和問題3，最終得到了換底公式。在上課過程中，發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)對(duì)于由具體到

16、一般的證明過程還是有些問題的，在課下我也對(duì)個(gè)別同學(xué)又進(jìn)行了有針對(duì)性的輔導(dǎo)。第三個(gè)環(huán)節(jié)是“應(yīng)用新知，展示交流”，在這個(gè)環(huán)節(jié)展示兩個(gè)推論的證明過程中，發(fā)現(xiàn)同學(xué)對(duì)換底公式的應(yīng)用還不夠靈活，針對(duì)展示中出現(xiàn)的問題，也進(jìn)行了及時(shí)的糾正，這里處理的還是比較好的。在讓學(xué)生去板書例1的過程中，應(yīng)該對(duì)板書做個(gè)更好的引導(dǎo)，這樣使得最后整個(gè)板書看起來比較擁擠不美觀。在例2和例3的處理上，例2是教師引導(dǎo)然后學(xué)生自主完成，例3是學(xué)生分組學(xué)習(xí)然后代表展示，我認(rèn)為對(duì)這兩道比較難理解的應(yīng)用題的處理還是很到位的，這樣的處理讓絕大部分同學(xué)都能很好的學(xué)習(xí)這兩道題，也起到了一定的教育作用。但由于時(shí)間的限制，給同學(xué)自主學(xué)習(xí)或合作探究的時(shí)間還不夠充分，而且有些同學(xué)仍然不能投入到小組探究中去，教師應(yīng)更積極主動(dòng)的去組織，在今后的教學(xué)中應(yīng)注意這個(gè)問題。第四個(gè)環(huán)節(jié)是“歸納梳理，總結(jié)提升”，這個(gè)環(huán)節(jié)的本意是讓