1、專題7 立體幾何一、填空題例1.下列結(jié)論正確的是 各個面都是三角形的幾何體是三棱錐以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線答案：，簡單幾何體基本概念與性質(zhì)例2在正方體各個表面的12條對角線中，與垂直的有_ _ 條答案：6，異面直線垂直判斷例3已知正四棱錐的底面邊長是6，高為，這個正四棱錐的側(cè)面積是 答案：24，正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征、側(cè)面積的計算方法例4已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB6，BC，則棱錐OABCD的體積為 答案：，球與其它幾

2、何體的組合問題例5如圖，在三棱錐中，三條棱，兩兩垂直，且,分別經(jīng)過三條棱，作一個截面平分三棱錐的體積，截面面積依次為，則，的大小關(guān)系為 .答案：考查立體圖形的空間感和數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用能力，通過補(bǔ)形，借助長方體驗證結(jié)論，特殊化，令邊長為1，2，3得.例6 若、為兩條不重合的直線，、為兩個不重合的平面，則下列命題中的真命題是_.若、都平行于平面，則、一定不是相交直線；若、都垂直于平面，則、一定是平行直線；已知、互相垂直，、互相垂直，若，則；、在平面內(nèi)的射影互相垂直，則、互相垂直答案：為假命題，為真命題，在中n可以平行于，也可以在內(nèi)，是假命題，中，m、n也可以不互相垂直，為假命題；故答案為.例7、為兩

3、個互相垂直的平面，a、b為一對異面直線，下列四個條件中是ab的充分條件的有 a/，b；a，b/；a，b；a/，b/且a與的距離等于b與的距離答案：，本題主要考查空間線面之間的位置關(guān)系，特別是判斷平行與垂直的常用方法例8一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為18 cm的扇形，則圓錐母線與底面所成角的余弦值為_答案：例9已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，在它的所有內(nèi)接圓柱中，全面積的最大值是_答案：，將全面積表示成底面半徑的函數(shù)，即可求出函數(shù)的最大值設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r，高為h，全面積為S，則有，。當(dāng)時，S取的最大值。故選B。例10如圖，有一圓柱形的開口容器（下表面密封），其軸截面是邊長為2的

4、正方形，P是BC重點，現(xiàn)有一只螞蟻位于外壁A處，內(nèi)壁P處有一米粒，則這只螞蟻取得米粒所需經(jīng)過的最短路程為 答案：，倒置一個完全相同的圓柱在原圓柱上方，再展開如圖，則可得最短路程為例11正四面體ABCD的棱長為1，棱AB平面，則正四面體上的所有點在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是. 答案：，當(dāng)正四面體繞著與平面平行的一條邊轉(zhuǎn)動時，不管怎么轉(zhuǎn)動，投影的三角形的一個邊始終是AB的投影，長度是1，而發(fā)生變化的是投影的高，體會高的變化，得到結(jié)果正四面體的對角線互相垂直，且棱AB平面，當(dāng)CD平面，這時的投影面等于正四面體的側(cè)視圖的面積，根據(jù)正四面體的性質(zhì)，面積此時最大，是；當(dāng)面ABC平面面積最小時構(gòu)

5、成的三角形底邊是1，高是正四面體的高，面積是。正四面體上的所有點在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是。例12 已知正四棱錐中，當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為_.答案：本試題主要考察椎體的體積，考察函數(shù)的最值問題.設(shè)底面邊長為a，則高所以體積，設(shè)，則，當(dāng)y取最值時，解得a=0或a=4時，體積最大，此時.例13如圖,在三棱錐中, 、兩兩垂直,且設(shè)是底面內(nèi)一點,定義,其中、分別是三棱錐、 三棱錐、三棱錐的體積若,且恒成立,則正實數(shù)的最小值為_答案：1 ，由題意可知，又，得恒成立，再由基本不等式可知當(dāng)是取最小值1例14如圖，在長方形中，為的中點，為線段（端點除外）上一動點現(xiàn)將沿折起，使平面平面在平

6、面內(nèi)過點作，為垂足設(shè)，則的取值范圍是答案：此題的破解可采用二個極端位置法：（1）當(dāng)F點位于DC的中點時，過點D作DGAF，連接BG。，。在ABG中，。在RtBDG中， .ABD是直角三角形。（2）當(dāng)F點到C點時，過點D作DHAF，連接BH。，。在ABH中，。在RtBDH中， 。在ABD中，。的取值范圍是。二、解答題例15如圖，已知直四棱柱的底面是直角梯形，分別是棱，上的動點，且，.（）證明：無論點怎樣運(yùn)動，四邊形都為矩形；（）當(dāng)時，求幾何體的體積答案：（）在直四棱柱中， 又平面平面，平面平面，平面平面，四邊形為平行四邊形， 側(cè)棱底面，又平面內(nèi)，四邊形為矩形；（）證明：連結(jié)，四棱柱為直四棱柱，側(cè)

7、棱底面，又平面內(nèi)，在中，則； 在中，則； 在直角梯形中，；，即，又，平面； 由（）可知，四邊形為矩形，且，矩形的面積為，幾何體的體積為 例16在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構(gòu)成一個三棱錐（1）判別MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明；（2）求多面體E-AFMN的體積答案：（1）因翻折后B、C、D重合（如圖），所以MN應(yīng)是的一條中位線， 則 （2）因為平面BEF， 且， 又例17如圖，弧AEC是半徑為的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F

8、滿足FC平面BED,FB=（1）證明：EBFD（2）求點B到平面FED的距離. 答案：（1）證明：點E為弧AC的中點又又（2）解：在由于：所以由等體積法可知：即，所以即點B到平面FED的距離為例18 如圖，三角形ABC中，AC=BC=，ABED是邊長為1的正方形，平面ABED底面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點()求證：GF/底面ABC；()求證：AC平面EBC；()求幾何體ADEBC的體積V答案：（I）證法一：取BE的中點H，連結(jié)HF、GH，（如圖）G、F分別是EC和BD的中點HG/BC，HF/DE，又ADEB為正方形 DE/AB，從而HF/ABHF/平面ABC，HG/平面ABC, HFHG=H,平面HGF/平面ABCGF/平面ABC證法二：取BC的中點M，AB的中點N連結(jié)GM、FN、MN（如圖）G、F分別是EC和BD的中點又ADEB為正方形 BE/AD，BE=ADGM/NF且GM=NFMNFG為平行四邊形GF/MN，又，GF/平面ABC 證法三：連結(jié)AE，ADEB為正方形，AEBD=F，且F是AE中點， GF/AC，又AC平面ABC，GF/平面ABC （）ADEB為正方形，EBAB，GF/平面ABC又平面ABED平