1、第9章 組合變形桿件的應(yīng)力分析與強(qiáng)度計算,本章主要介紹桿在斜彎曲、拉伸(壓縮)和彎曲、偏心壓縮(偏心拉伸)以及彎曲和扭轉(zhuǎn)等組合變形下的應(yīng)力和強(qiáng)度計算。,9.1 基本概念與工程實例,9.2 斜彎曲,9.3 軸向拉壓與彎曲的組合變形,9.4 偏心壓縮（拉伸）,9.5 截面核心,*9.6 彎曲與扭轉(zhuǎn)組合,9.1 基本概念與工程實例,這些桿件同時發(fā)生兩種或兩種以上基本變形，且不能略去其中的任何一種，稱為組合變形桿件。,組合變形是屬于小變形時，且材料是在線彈性范圍內(nèi)工作。,分析方法疊加法,將作用于桿件上的荷載分解或簡化成幾組荷載，每組荷載只產(chǎn)生一種基本變形；單獨計算每一種基本變形下桿件的內(nèi)力、應(yīng)力和變形

2、，結(jié)果疊加起來得到組合變形下的內(nèi)力、應(yīng)力和變形。,9.2 斜彎曲,9.2.1 正應(yīng)力計算,9.2.2 中性軸的位置、最大正應(yīng)力和 強(qiáng)度條件,工程中，外力不作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面（或形心主慣性平面）內(nèi)，梁變形后軸線不位于外力作用平面內(nèi)，這種彎曲稱為斜彎曲。,斜彎曲是兩個相互正交的平面彎曲的組合。,9.2.1 正應(yīng)力計算,設(shè)F 力作用在梁自由端截面的形心, Fy、Fz為F沿兩形心軸的分量，桿在Fy和Fz單獨作用下，將分別在xy平面和xz平面內(nèi)產(chǎn)生平面彎曲。,F與豎向形心主軸夾角為,在梁的任意橫截面上，由Fy和Fz引起的彎矩為,力F引起的x截面上的彎矩。,（1）在Fy單獨作用下,（2）在Fz單獨作用

3、下,考察距固端為x的橫截面上A點的正應(yīng)力：,， 分別為Fy和Fz在A點處引起的正應(yīng)力,應(yīng)用疊加法,9.2.2 中性軸的位置、最大正應(yīng)力和強(qiáng)度條件,設(shè)中性軸上任一點的坐標(biāo)為y0和z0 。因中性軸上各點處的正應(yīng)力為零，即,因M0，故,中性軸方程,上式表明，中性軸是一條通過橫截面形心的直線。,設(shè)中性軸與z 軸成 角，則由上式得到,對矩形截面，IyIz，即，因而中性軸與F力方向并不相互垂直。這是斜彎曲的一個重要特征。,對圓形、正多邊形截面，Iy=Iz，即=，中性軸與F力方向垂直，即是平面彎曲。,橫截面上的最大正應(yīng)力，發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)的點。,角點b產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，角點c產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，分別為,對于有凸

4、角的截面，例如矩形、工字形截面，根據(jù)斜彎曲是兩個平面彎曲組合的情況，最大正應(yīng)力顯然產(chǎn)生在角點上。,對于沒有凸角的截面，可用作圖法確定產(chǎn)生最大正應(yīng)力的點。,如圖所示橢圓形截面，當(dāng)確定了中性軸的位置后，作平行于中性軸并切于截面周邊的兩條直線，切點D1和D2即為產(chǎn)生最大正應(yīng)力的點。,危險點處于單向應(yīng)力狀態(tài)，故強(qiáng)度條件：,例91 如圖所示懸臂梁，采用25a號工字鋼。在豎直方向受均布荷載q=5kN/m 作用，在自由端受水平集中力F =2kN作用。已知截面的幾何性質(zhì)為：I z =5023.54cm4，W z =401.9cm3，I y =280.0cm4，W y =48.28cm3。試求梁的最大拉應(yīng)力和最

5、大壓應(yīng)力。,解：均布荷載q 使梁在xy平面內(nèi)彎曲，集中力F使梁在xz平面內(nèi)彎曲，故為雙向彎曲問題。兩種荷載均使固定端截面產(chǎn)生最大彎矩，所以固定端截面是危險截面。由變形情況可知，在該截面上的A 點處產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，B 點處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，且兩點處應(yīng)力的數(shù)值相等。,N/m2,=107.7MPa,MPa,9.3 軸向拉壓與彎曲的組合變形,對于EI較大的桿，橫向力引起的撓度與橫截面的尺寸相比很小，因此，由軸向力引起的彎矩可以略去不計。 可分別計算由橫向力和軸向力引起的桿橫截面上的正應(yīng)力，按疊加原理求其代數(shù)和，即得在軸向拉伸(壓縮)和彎曲組合變形下，桿橫截面上的正應(yīng)力。,上圖懸臂梁受軸向拉力及均布荷載，

6、以此為例來說明拉伸(壓縮)和彎曲組合變形下的正應(yīng)力及強(qiáng)度計算方法。,（1）該桿受軸向力F 拉伸時，任一橫截面上的正應(yīng)力為,（2）桿受均布荷載作用時，距固定端為x 的任意橫截面上的彎曲正應(yīng)力為,（3）疊加得x截面上第一象限中一點A(y,z)處的正應(yīng)力為,固定端截面有最大彎矩，為危險截面，按疊加原理，該截面的上、下邊緣處各點可能是危險點，其正應(yīng)力為,在這三種情況下，橫截面的中性軸分別在橫截面內(nèi)、橫截面邊緣和橫截面以外。,桿在拉伸(壓縮)和彎曲組合變形下的強(qiáng)度條件為,例9-2 如圖a所示托架，受荷載F =45kN作用。設(shè)AC 桿為工字鋼，許用應(yīng)力=160MPa，試選擇工字鋼型號。,解：取AC 桿進(jìn)行

7、分析，其受力情況如圖b所示。,FAy=15kN, FBy=60kN, FAx=FBx=104kN,AB段桿的變形是拉伸和彎曲的組合變形。,AC桿的軸力圖和彎矩圖如圖c和d所示。B截面的上邊緣各點處的拉應(yīng)力最大，是危險點。強(qiáng)度條件為,因為 A和Wz都是未知量，無法由上式選擇工字鋼型號，通常是先只考慮彎曲應(yīng)力，求出Wz后，選擇Wz略大一些的工字鋼，再考慮軸力的作用進(jìn)行強(qiáng)度校核。,由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，求出,由型鋼表，選22a 號工字鋼， W z =309 cm3，A=42.0 cm2?？紤]軸力后，最大拉應(yīng)力為,N/m2,=170.4MPa,最大拉應(yīng)力超過許用應(yīng)力，不滿足強(qiáng)度條件，可見22a號工字鋼

8、截面還不夠大。,現(xiàn)重新選擇22b號工字鋼， W z =325cm3，A=46.6cm2，此時的最大拉應(yīng)力為,N/m2,=160.9MPa,此時，最大拉應(yīng)力雖然超過容許應(yīng)力，但超過不到5%，工程上認(rèn)為仍能滿足強(qiáng)度要求。,9.4 偏心壓縮（拉伸）,當(dāng)直桿受到與桿的軸線平行但不重合的拉力或壓力作用時，即為偏心拉伸或偏心壓縮。,偏心壓縮,單偏,雙偏,以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受距離截面形心為e(稱為偏心距)的偏心壓力F為例，來說明。,將偏心壓力F用靜力等效力系來代替。把A點處的壓力F向截面形心C點簡化，得到軸向壓力F和兩個在縱對稱面內(nèi)的力偶My、Mz。,因此，桿將發(fā)生軸向拉伸和在兩個縱對稱面Oxz

9、、Oxy內(nèi)的純彎曲。,在任一橫截面上第一象限點 B(y,z) 處的正應(yīng)力分別為,軸力FN=F 引起的正應(yīng)力,彎矩Mz引起的正應(yīng)力,彎矩My引起的正應(yīng)力,(a) (b) (c),(a)圖,(c)圖,(b)圖,按疊加法，得B點的正應(yīng)力,A為橫截面面積； Iz 、 Iy分別為橫截面對z軸、 y軸的慣性矩。,利用慣性矩與慣性半徑間的關(guān)系,B點的正應(yīng)力表達(dá)式變?yōu)?取=0 ，以y0、z0代表中性軸上任一點的坐標(biāo)，則可得中性軸方程,可見，在偏心拉伸(壓縮)情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線。,求出中性軸在y、z兩軸上的截距,對于周邊無棱角的截面，可作兩條與中性軸平行的直線與橫截面的周邊相切，兩切點D1

10、、D2，即為橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力所在的危險點。相應(yīng)的應(yīng)力即為最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。,對于周邊具有棱角的截面，其危險點必定在截面的棱角處,例中最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力分別在截面的棱角D1、D2處。,危險點處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，其強(qiáng)度條件為,例93 一端固定并有切槽的桿，如圖a所示。試求最大正應(yīng)力。,解：由觀察判斷，切槽處桿的橫截面是危險截面，如圖b所示。,（a） (b),對于該截面，F(xiàn)力是偏心拉力?，F(xiàn)將F力向該截面的形心C簡化，得到截面上的軸力和彎矩分別為,kN,m=(100.05)kNm=0.5kNm,m=(100.05)kNm=0.25kNm,A點為危險點，該點處的最大拉應(yīng)力為,

11、Pa=14MPa,9.5 截面核心,當(dāng)偏心拉（壓）作用點位于某一個區(qū)域時，橫截面上只出現(xiàn)一種性質(zhì)的應(yīng)力(偏心拉伸時為拉應(yīng)力，偏心壓縮時為壓應(yīng)力)，這樣一個截面形心附近的區(qū)域就稱為截面核心。 對于磚、石或混凝土等材料（如橋墩），由于它們的抗拉強(qiáng)度較低，在設(shè)計這類材料的偏心受壓桿時，最好使橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力。因此，確定截面核心是很有實際意義的。 為此，應(yīng)使中性軸不與橫截面相交。,前面偏心拉（壓）計算的中性軸截距表達(dá)式:,作一系列與截面周邊相切的直線作為中性軸，由每一條中性軸在 y、z 軸上的截距ay、az，即可求得與其對應(yīng)的偏心力作用點的坐標(biāo)(yF,zF)。有了一系列點，描出截面核心邊界。（一個

12、反算過程）,矩形截面:,邊長為a和b的矩形截面，y、z兩對稱軸為截面的形心主慣性軸。,得,將與 AB 邊相切的直線看作是中性軸，其在y、z 兩軸上的截距分別為,同理，分別將與BC、CD和DA邊相切的直線、看作是中性軸，可求得對應(yīng)的截面核心邊界上點2、3、4的坐標(biāo)依次為,當(dāng)中性軸從截面的一個側(cè)邊繞截面的頂點旋轉(zhuǎn)到其相鄰邊時，相應(yīng)的外力作用點移動的軌跡是一條連接點1、2的直線。 于是，將1、2、3、4四點中相鄰的兩點連以直線，即得矩形截面的截面核心邊界。它是個位于截面中央的菱形。,思考： 圓截面的截面核心 如何確定？,*9.6 彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合,以圓截面桿為例，研究桿在彎扭組合時的應(yīng)力和強(qiáng)度計算問

13、題。,直角曲拐 AB段為等直實心圓截面桿，進(jìn)行受力簡化，作彎矩圖和扭矩圖。,F力使AB桿發(fā)生彎曲，外力偶矩Mx=Fa使它發(fā)生扭轉(zhuǎn),由彎矩、扭矩圖知，危險截面為固定端截面A 危險截面上與彎矩和扭矩對應(yīng)的正應(yīng)力、切應(yīng)力為,A截面的上、下兩個點C1和C2是危險點 C1點的應(yīng)力狀態(tài)，取單元體得二向應(yīng)力狀態(tài),按應(yīng)力狀態(tài)分析的知識， C1點三個主應(yīng)力為,可用相應(yīng)的強(qiáng)度理論對其校核，如第四強(qiáng)度理論，第三強(qiáng)度理論。在這種特定的平面應(yīng)力狀態(tài)下，這兩個強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力的表達(dá)式可得,強(qiáng)度條件為,注意到=Mz/Wz、= Mx/Wp, 相當(dāng)應(yīng)力改寫為,對圓截面，,，則強(qiáng)度條件又可分別寫成：,上式同樣適用于空心圓截面桿，對其它的彎扭組合，可同樣采用上面的分析方法。,外力分析：外力向形心簡化并分解。,內(nèi)力分析：每個外力分量對應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險面。,應(yīng)力分析：建立強(qiáng)度條件。,彎扭組合問題的求解步驟：,例95 一鋼質(zhì)圓軸，直徑d=8cm，其上裝有直徑D=1m、重為5kN的兩個皮帶輪，如圖a所示。已知A處輪上的皮帶拉力為水平方向，C 處輪上的皮帶拉力為豎直方向。設(shè)鋼的=160MPa，試按第三強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。,解：將每個齒輪