1、1,第九章 熱應(yīng)力問題 Thermal Stress Problems,2,當(dāng)彈性體的溫度變化時，其體積將趨于膨脹和收縮，若外部的約束或內(nèi)部的變形協(xié)調(diào)要求而使膨脹或收縮不能自由發(fā)生時，結(jié)構(gòu)中就會出現(xiàn)附加的應(yīng)力。這種因溫度變化而引起的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力，或溫度應(yīng)力。 忽略變溫對材料性能的影響，為了求得溫度應(yīng)力，需要進(jìn)行兩方面的計算：（1）由問題的初始條件、邊界條件，按熱傳導(dǎo)方程求解彈性體的溫度場，而前后兩個溫度場之差就是彈性體的變溫。（2）按熱彈性力學(xué)的基本方程求解彈性體的溫度應(yīng)力。本章將對這兩方面的計算進(jìn)行簡單的介紹。,熱應(yīng)力問題,3,熱應(yīng)力問題,按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題,溫度場的邊界條件,熱

2、傳導(dǎo)微分方程,溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念,位移勢函數(shù)的引用,軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題,4,溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念,1.溫度場：在任一瞬時，彈性體內(nèi)所有各點的溫度值的總體。用T表示。 不穩(wěn)定溫度場或非定常溫度場：溫度場的溫度隨時間而變化。 即 T=T（x，y，z，t） 穩(wěn)定溫度場或定常溫度場：溫度場的溫度只是位置坐標(biāo)的函數(shù)。 即 T=T（x，y，z） 平面溫度場：溫度場的溫度只隨平面內(nèi)的兩個位置坐標(biāo)而變。 即 T=T（x，y，t）,5,2.等溫面：在任一瞬時，連接溫度場內(nèi)溫度相同各點的曲面。顯然，沿著等溫面，溫度不變；沿著等溫面的法線方向，溫度的變化率最大。,3.溫度梯度：沿等溫面的法線方向，

3、指向溫度增大方向的矢量。用T表示，其大小用 表示。其中n為等溫面的法線方向。溫度梯度在各坐標(biāo)軸的分量為,6,取 為等溫面法線方向且指向增溫方向的單位矢量，則有,T,（1）,4.熱流速度：在單位時間內(nèi)通過等溫面面積S 的熱量。用 表示。,7,熱流密度：通過等溫面單位面積的熱流速度。用 表示，則有,其大小為,(2),稱為熱導(dǎo)率。由（1）、（2）、（3）式得,8,由（1）和（3）可見，熱流密度的大小,可見，導(dǎo)熱系數(shù)表示“在單位溫度梯度下通過等溫面單位面積 的熱流速度”。,熱流密度在坐標(biāo)軸上的投影,可見：熱流密度在任一方向的分量，等于導(dǎo)熱系數(shù)乘以 溫度在該方向的遞減率。,9,熱應(yīng)力問題,按位移求解溫度

4、應(yīng)力的平面問題,溫度場的邊界條件,熱傳導(dǎo)微分方程,溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念,位移勢函數(shù)的引用,軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題,10,熱量平衡原理：在任意一段時間內(nèi)，物體的任一微小部分所積蓄的熱量，等于傳入該微小部分的熱量加上內(nèi)部熱源所供給的熱量。,熱傳導(dǎo)微分方程,取圖示微小六面體dxdydz。假定該六面體的溫度在dt時間內(nèi)由T 升高到 。由溫度所積蓄的熱量是 ， 其中 是物體的密度，C 是單位質(zhì)量的物體升高一度時所需的熱量比熱容。,11,由左右兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛?由上下兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛?由前后兩面?zhèn)魅氲膬魺崃繛椋?因此，傳入六面體的總凈熱量為： 簡記為：,12,假定物體內(nèi)部有正熱源供熱，在單位時

5、間、單位體積供熱為W，則該熱源在時間dt內(nèi)所供熱量為Wdxdydzdt。 根據(jù)熱量平衡原理得：,13,熱應(yīng)力問題,按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題,溫度場的邊界條件,熱傳導(dǎo)微分方程,溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念,位移勢函數(shù)的引用,軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題,14,溫度場的邊值條件,邊界條件分四種形式： 第一類邊界條件 已知物體表面上任意一點在所有瞬時的溫度，即 其中Ts 是物體表面溫度。,為了能夠求解熱傳導(dǎo)微分方程，從而求得溫度場，必須已知物體在初瞬時的溫度，即所謂初始條件；同時還必須已知初瞬時以后物體表面與周圍介質(zhì)之間熱交換的規(guī)律，即所謂邊界條件。初始條件和邊界條件合稱為初值條件。,初始條件：,15

6、,第三類邊界條件 已知物體邊界上任意一點在所有瞬時的運(yùn)流（對流）放熱情況。按照熱量的運(yùn)流定理，在單位時間內(nèi)從物體表面?zhèn)飨蛑車橘|(zhì)的熱流密度，是和兩者的溫差成正比的，即,其中Te是周圍介質(zhì)的溫度； 稱為運(yùn)流放熱系數(shù)，或簡稱熱系數(shù)。 第四類邊界條件 已知兩物體完全接觸，并以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換。即,第二類邊界條件 已知物體表面上任意一點的法向熱流密度， 即 其中角碼 s 表示“表面”，角碼n 表示法向。,16,熱應(yīng)力問題,按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題,溫度場的邊界條件,熱傳導(dǎo)微分方程,溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念,位移勢函數(shù)的引用,軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題,17,按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題,設(shè)彈性

7、體內(nèi)各點的溫變?yōu)門。對于各向同性體，若不受約束，則彈性體內(nèi)各點的微小長度，都將產(chǎn)生正應(yīng)變 （ 是彈性體的膨脹系數(shù)），這樣，彈性體內(nèi)各點的形變分量為,但是，由于彈性體所受的外在約束以及體內(nèi)各部分之間的相互約束，上述形變并不能自由發(fā)生，于是就產(chǎn)生了應(yīng)力，即所謂溫度應(yīng)力。這個溫度應(yīng)力又將由于物體的彈性而引起附加的形變，如虎克定理所示。因此，彈性體總的形變分量是：,18,對于平面應(yīng)力的變溫問題，上式簡化為,這就是平面應(yīng)力問題熱彈性力學(xué)的物理方程。,19,將應(yīng)力分量用形變分量和變溫T表示的物理方程為：,幾何方程仍然為：,將幾何方程代入物理方程，得用位移分量和變溫T 表示的應(yīng)力分量,20,將上式代入不計體

8、力的平衡微分方程,21,簡化得：,這就是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的微分方程。 同理，將應(yīng)力分量代入無面力的應(yīng)力邊界條件,（1）,22,簡化后得：,這是按位移求解溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的應(yīng)力邊界條件。,位移邊界條件仍然為：,將式(1)、(2)與第六章相關(guān)內(nèi)容對比，可見,（2）,23,代替了體力分量 X 及 Y ，而：,則得到在平面應(yīng)變條件下的相應(yīng)方程。,代替了面力分量 及 。,對于溫度應(yīng)力的平面應(yīng)變問題，只須將溫度應(yīng)力平面應(yīng)力問題的,24,熱應(yīng)力問題,按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題,溫度場的邊界條件,熱傳導(dǎo)微分方程,溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念,位移勢函數(shù)的引用,軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題,25,

9、位移勢函數(shù)的引用,由上一節(jié)知：在平面應(yīng)力的情況下按位移求解溫度應(yīng)力問題時，須使位移分量u 和v 滿足微分方程：,并在邊界上滿足位移邊界條件和應(yīng)力邊界條件。實際求解時，宜分兩步進(jìn)行：（1）求出上述微分的任意一組特解，它只需滿足微分方程，而不一定要滿足邊界條件。（2）不計變溫T，求出微分方程的一組補(bǔ)充解，使它和特解疊加以后，能滿足邊界條件。,26,引用一個函數(shù) ，將位移特解取為：,函數(shù) 稱為位移勢函數(shù)。以 和 分別作為u和v代入微分方程，簡化后得：,由于 和 都是常量，所以?。?滿足微分方程。因此 ， 可以作為微分方程的一組特解。將,以及,代入位移分量和變溫T表示的應(yīng)力分量表達(dá)式,27,可得相應(yīng)位

10、移特解的應(yīng)力分量是：,28,設(shè) ， 為位移的補(bǔ)充解，則 ， 需滿足齊次微分方程：,相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量為（注意不計變溫，即T=0）：,29,總的應(yīng)力分量是：,需滿足應(yīng)力邊界條件。在應(yīng)力邊界問題中（沒有位移邊界條件），可以把相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量直接用應(yīng)力函數(shù)來表示，即 其中的應(yīng)力函數(shù) 可以按照應(yīng)力邊界條件的要求來選取。,在平面應(yīng)變條件下，將上述各方程中的,這樣總的位移分量是：,需滿足位移邊界條件,30,例1：圖示矩形薄板中發(fā)生如下的變溫： 其中的T0 是常量。若 ，試求其溫度應(yīng)力。,解：位移勢函數(shù) 所應(yīng)滿足的微分方程為,31,將A，B回代，得位移勢函數(shù) 于是相應(yīng)于位移特解的應(yīng)力分量為

11、 為求補(bǔ)充解，取 可得所需要的相應(yīng)于位移補(bǔ)充解的應(yīng)力分量：,因此，總的應(yīng)力分量為,邊界條件要求,32,顯然，后三個條件是滿足的；而第一個條件不能滿足，但由于 ，可應(yīng)用圣維南原理，把第一個條件變換為靜力等效條件，即，在 的邊界上， 的主矢量及主矩等于零： 將,代入上式，求得 于是矩形板的溫度應(yīng)力為：,33,熱應(yīng)力問題,按位移求解溫度應(yīng)力的平面問題,溫度場的邊界條件,熱傳導(dǎo)微分方程,溫度場和熱傳導(dǎo)的基本概念,位移勢函數(shù)的引用,軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題,34,軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題,對于圓形、圓環(huán)及圓筒等這類軸對稱結(jié)構(gòu)彈性體，若其變溫也是軸對稱的T=T（r），則可簡化為軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問

12、題。軸對稱溫度場平面熱應(yīng)力問題，宜采用極坐標(biāo)求解。,在軸對稱問題中得到簡化，其第二式自然滿足；而第一式成為,不考慮體積力平面應(yīng)力問題平衡方程,35,幾何方程簡化為,物理方程簡化為,將應(yīng)力用應(yīng)變表示,36,37,其中常數(shù)A，B由邊界條件確定。 在平面應(yīng)變的情況下，只需在以上各式中將,例2： 設(shè)有一厚壁圓筒，內(nèi)半徑為a，外半徑為b。從一均勻溫度加熱，內(nèi)表面增溫Ta ，外表面增溫Tb，如圖所示。試求筒內(nèi)無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱應(yīng)力。,得無熱源，熱流穩(wěn)定后的熱傳導(dǎo)微分方程為,解：首先求溫度場。由熱傳導(dǎo)微分方程,38,對于軸對稱溫度場有,積分兩次得：,或,由邊界條件：,求出A，B后回代，得溫度場：,39,積分后得,將T代入平面應(yīng)變問題應(yīng)力表達(dá)式,40,練習(xí)9.1 圖示矩形薄板中發(fā)生變溫,試求溫度應(yīng)力（假定a遠(yuǎn)大于b）,41,由此得,取,則,42,所以,邊界條件,顯然滿足,由,即,43,得,而邊界條件,恒成立。,