1、湖南省師大附中2020學年高二數(shù)學上學期第一次階段性檢測試題 理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知，都是實數(shù)，那么“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】D【解析】；，與沒有包含關系，故為“既不充分也不必要條件”.2.如圖，在中，點在線段上，且，若，則（）A.B.C. 2D. 【答案】A【解析】，故故選3.對于程序：試問，若輸入，則輸出的數(shù)為（） A. 9B. -7C. 5或-7D. 5【答案】D【解析】分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)y的

2、函數(shù)值【詳解】由圖可知：該程序的作用是計算分段函數(shù)的函數(shù)值當輸入時，輸出的是：故選：【點睛】本題主要考查了條件結(jié)構(gòu)的程序語句及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎題.4.定義運算，若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案】A【解析】【分析】由已知得，變形后利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【詳解】由題意，則，在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，在第一象限故選：【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題5.已知正項等差數(shù)列的前項和為 ()，則的值為( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】

3、D【解析】【分析】本道題結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合，代入，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，而因為該數(shù)列為正項數(shù)列，可得，所以結(jié)合，可得，故選D。【點睛】本道題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，關鍵抓住，即可，難度中等。6.某城市有連接8個小區(qū)和市中心的整齊方格形道路網(wǎng)，每個小方格均為正方形，如圖所示某人從道路網(wǎng)中隨機地選擇一條最短路徑，由小區(qū)前往小區(qū)，則他經(jīng)過市中心的概率為（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】此人從小區(qū)A前往H的所有最短路徑共6條記“此人經(jīng)過市中心O”為事件M，則M包含的基本事件為共4個由此能求出他經(jīng)過市中心的概率【詳解】此人從小區(qū)A前往H所有最短路徑為：ABCEH，ABO

4、EH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，ADFGH，共6條記“此人經(jīng)過市中心O”為事件M，則M包含的基本事件為：ABOEH，ABOGH，ADOEH，ADOGH，共4條，即他經(jīng)過市中心的概率為，故選：B【點睛】本題考查概率的應用，是基礎題解題時要認真審題，仔細解答，注意列舉法的靈活運用7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的體積為( ).A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】本道題結(jié)合三視圖，還原直觀圖，計算體積，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合三視圖，還原直觀圖，得到三棱錐P-ABC即為該幾何體，結(jié)合題意可知AB=4，AC=2，高h為2，故體積為，故選C。【點

5、睛】本道題考查了三視圖還原直觀圖，計算體積關鍵抓住，即可，難度中等。8.已知函數(shù)且則函數(shù)的圖象的一條對稱軸是( )A.B.C.D. 【答案】A【解析】試題分析：函數(shù)的對稱軸為,因為,所以,即對稱軸 ()則是其中一條對稱軸,故選A.考點：三角函數(shù)圖像 輔助角公式 定積分9.已知A，B是函數(shù)的圖象上的相異兩點，若點A，B到直線的距離相等，則點A，B的橫坐標之和的取值范圍是（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】因為點，到直線的距離相等，所以可設，則在上，可得，即的橫坐標之和的取值范圍是，故選B. 【方法點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、對數(shù)的運算以及利用基本不等式求范圍，屬于難題.求范圍問題往往先

6、將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立.10.在二項式的展開式中，各項系數(shù)之和為，各項二項式系數(shù)之和為，且，則展開式中常數(shù)項的值為（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B【解析】在二項式的展開式中，令得各項系數(shù)之和為，二項展開式的二項式系數(shù)和為，解得，的展開式的通項為，令得，故展開式的常數(shù)項為，故選B.11.已知點為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左

7、、右焦點，為的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若（分別表示的面積）恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】分析：利用雙曲線的定義，由三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，結(jié)合可得關于半實軸與半焦距的不等式，從而可得結(jié)果.詳解：如圖，設圓與的三邊分別相切于點，分別連接，則，又，又，故選A.點睛：本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出

8、來，再利用其中的一些關系構(gòu)造出關于的不等式，從而求出的范圍.12.已知是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且，則不等式的解集是（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】分析：構(gòu)造函數(shù)，利用，判斷出單調(diào)性，結(jié)合列不等式求解即可.詳解：引入函數(shù)，則，又，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，不等式“”等價于“”，即，又，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，解得，又函數(shù)的定義域為，得，解得，故不等式的解集是，故選D.點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小,屬于難題.聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研

9、究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：根據(jù)導函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù).二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.設滿足約束條件，則的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】結(jié)合不等式組，繪制可行域，計算z的范圍，即可?！驹斀狻拷Y(jié)合不等式組,繪制可行域,得到轉(zhuǎn)化目標函數(shù),得到,，從虛線平移,運動到A點,z取到最小值，為-1，運動到C點，z取最大值，為-6，故z的范圍為【點睛】本道題考查了線性規(guī)劃問題，關鍵繪制可行域

10、，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)，計算z的范圍，即可，難度中等。14.已知等比數(shù)列滿足，前項和滿足，則等于_【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出【詳解】設等比數(shù)列的公比為，前項和滿足，聯(lián)立解得：則故答案為：【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題15.在直角坐標系中，拋物線：與圓：相交于兩點，且兩點間的距離為，則拋物線的焦點到其準線的距離為_【答案】【解析】【分析】原點是拋物線和圓的公共點，設另一個公共點為，利用圓的弦長為得到為等腰直角三角形，從而得到的坐標，代入拋物線方程可得的值，它就是焦點到準線的距離【詳解】圓，原點是拋物線和圓的公共點

11、，設另一個公共點為，因為，又因為，,故，故為等腰直角三角形，因，故，代入拋物線方程得填【點睛】求不同曲線的交點，一般是聯(lián)立方程組求解，但拋物線方程和圓的方程聯(lián)立消元后是高次方程，求其解不容易，故應該根據(jù)兩個幾何對象的特征求出交點的坐標16.設定義域為的單調(diào)函數(shù)，對任意的，都有，若是方程的一個解，且，則實數(shù)_【答案】1【解析】 根據(jù)題意，對任意的，都有， 又由時定義在上的單調(diào)函數(shù)，則為定值， 設，則， 又由，可得， 可得，所以，則 所以是方程的一個解，所以是函數(shù)的零點，又由，所以函數(shù)的零點介于之間，故點睛：本題主要考查函數(shù)的零點的判斷，及導數(shù)在函數(shù)中的應用，問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能

12、力與計算能力.導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，及切線方程的求解； (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)； (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題； (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.在中，角，所對的邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）若（）且，求的面積.【答案】（1）;（2）.【解析】試題分析：（1）由正弦定理對等式進行變形，再結(jié)合余弦定理，即可得到角的大??；（2）先由誘導公式和正弦定理求得角和邊，再利用三角形

13、的面積公式，即可求得三角形的面積.試題解析：（1）由得，.（2）由（），得，由正弦定理得，.根據(jù)正弦定理可得，解得，.18.在四棱錐中，（1）若點為的中點，求證：平面；（2）當平面平面時，求二面角的余弦值【答案】（1）見解析； （2）.【解析】【分析】(I)結(jié)合平面與平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,結(jié)合平面與平面性質(zhì),證明結(jié)論.(II)建立空間坐標系,分別計算平面PCD和平面PDB的法向量,結(jié)合向量數(shù)量積公式,計算余弦值,即可.【詳解】()取的中點為，連結(jié)，.由已知得，為等邊三角形，.，.又平面，平面，平面.為的中點，為的中點，.又平面，平面，平面.，平面平面.平面，平面. ()連

14、結(jié)，交于點，連結(jié)，由對稱性知，為的中點，且，.平面平面，平面，.以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系.則 (0，0)， (3，0，0)， (0，0，1).易知平面的一個法向量為.設平面法向量為，則，.令，得，.設二面角的大小為，則. 【點睛】本道題考查了平面與平面平行判定和性質(zhì),考查了空間向量數(shù)量積公式,關鍵建立空間坐標系,難度偏難.19.“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號某生產(chǎn)企業(yè)積極響應號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如表所示：試銷單價（元）456789產(chǎn)品銷

15、量（件）8483807568已知（1）求出的值；（2）已知變量具有線性相關關系，求產(chǎn)品銷量（件）關于試銷單價（元）的線性回歸方程；可供選擇的數(shù)據(jù)：，； （3）用表示用（2）中所求的線性回歸方程得到的與對應的產(chǎn)品銷量的估計值當銷售數(shù)據(jù)對應的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”現(xiàn)從6個銷售數(shù)據(jù)中任取3個，求“好數(shù)據(jù)”個數(shù)的分布列和數(shù)學期望（參考公式：線性回歸方程中的最小二乘估計分別為，）【答案】（1）90；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)y的平均數(shù)求出q的值即可；（2）分別求出回歸方程的系數(shù)的值，求出回歸方程即可；（3）根據(jù)回歸方程分別計算出共有3個“好數(shù)據(jù)”，求出滿足條件

16、的概率，列出分布列，求出均值即可【詳解】（1），可得：，求得 （2），所以所求的線性回歸方程為（3）利用（2）中所求的線性回歸方程，可得，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，與銷售數(shù)據(jù)對比可知滿足的共有3個“好數(shù)據(jù)”： 于是的所有可能取值為0，1，2，3；，的分布列為：于是【點睛】本題考查了求平均數(shù)和回歸方程問題，考查分布列以及均值問題，是一道中檔題20.設橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為（1）求橢圓的方程；（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由【答案】（1）； （2）見解析.【解析】

17、【分析】（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關系，計算A的坐標，計算切線與橢圓交點坐標，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可。（II）分切線斜率存在與不存在討論，設出M,N的坐標，設出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可?！驹斀狻?)設橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，橢圓的方程可設為.易求得，點在橢圓上，解得，橢圓的方程為. ()當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為，由()知，.當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得，得.，.綜上所述，圓上任意一點處

18、的切線交橢圓于點，都有.在中，由與相似得，為定值.【點睛】本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關系，考查了向量的坐標運算，難度偏難。21.已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的最小值；（2）設，若對任意的，都有，求整數(shù)的最大值【答案】(1)；(2)3.【解析】試題分析：（1）當時，函數(shù)的最小值為；（2）對任意的恒成立，即對任意的恒成立，通過求導得整數(shù)的最大值為3.試題解析：（1）當時，定義域為.，令，可得.列表：所以，函數(shù)的最小值為.（2）由題意對任意的恒成立，可得對任意的恒成立.即對任意的恒成立.記，得，設，則在是單調(diào)增函數(shù)，又，且在上的圖像是不間斷的，所以，存在唯一的實數(shù)，使得，當時，在上遞減；當時，在上遞增.所以當時，有極小值，即為最小值，又，故，所以，由知，又，所以整數(shù)的最大值為3.22.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線與直線有且僅有一個公共點（1）求；（2）設為曲線上的兩點，且，求的最大