1、,第二節(jié) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、按定義求導(dǎo)數(shù),三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二、函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則,五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,六、對數(shù)求導(dǎo)法,七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),八、高階導(dǎo)數(shù),一、按定義求導(dǎo)數(shù),常數(shù)的導(dǎo)數(shù),2冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù),所以,3 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即,4對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即,二、函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則,證(1),證(3),推論,解,解,解,例2-7 已知函數(shù) ,求,同理可得,即,解,同理可得,即,例2-8 已知函數(shù) ,求,三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理2-1,即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).,于是有,證明,即,例2-10,解,特別地,當(dāng) 時,解,同理可得,例2-11,即,

2、四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定理2-2,即 因變量對自變量求導(dǎo)，等于因變量對中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鎖鏈法則),或,推廣,則復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為,或,解,解,比較熟練后,中間變量不必寫出來,直接按鎖鏈法則對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).,解,例2-15 證明冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 對任意實數(shù)指數(shù) 成立.,證明 將 化為 ,則,例如,解,例2-18 放射性同位素碘 廣泛用來研究甲狀腺的功能.現(xiàn)將含量為 的碘 通過靜脈推入病人的血液中,血液中 時刻碘的含量為 (其中 為正常數(shù)),試求血,液中碘的減少速率 .,解,解,例2-19,五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,如果聯(lián)系兩個變量 和 的函數(shù)式是由方程 來確定的，這樣的函數(shù)稱

3、為隱函數(shù).,（不能顯化）,問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?,直接從方程 兩邊來求導(dǎo),稱為隱函數(shù)的求導(dǎo)法則.,例2-20 已知函數(shù) 是由橢圓方程 所確定 的,求,解 方程兩邊分別關(guān)于 求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運算法則有,解得,例2-21 已知函數(shù) 是由方程 確定的.求 和,解 方程兩邊分別關(guān)于 求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運算法則有,解得,所以,例2-22 設(shè)生物群體總數(shù)的生長規(guī)律為,其中 均為常數(shù),且 .試求生長率,解 將 寫成如下形式,兩邊對 求導(dǎo)得,整理得,六、對數(shù)求導(dǎo)法,方法: 先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).,適用范圍:,解 兩邊取對數(shù)，得,兩邊對 求導(dǎo)，得,例2-23 已知函數(shù) ,求,所以,解 兩邊取對數(shù)，得,例2-24 已知函數(shù) ,求,1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,或,3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),八、高階導(dǎo)數(shù),記作,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).,例2-25 已知指數(shù)函數(shù) ( 為常數(shù)) ,求,解,解,例2-27,解:,解:,同理可得,例2-28,主要內(nèi)容,1.基本初