1、一、無(wú)窮限的反常積分,二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,6.4 反常積分,上頁(yè),下頁(yè),鈴,結(jié)束,返回,首頁(yè),一、無(wú)窮限的反常積分,無(wú)窮限的反常積分的定義,在反常積分的定義式中, 如果極限是存在的, 則稱此反常積分收斂, 否則稱此反常積分發(fā)散.,連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, )上的反常積分定義為,下頁(yè),類似地, 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(, b上和在區(qū)間(, )的反常積分定義為,下頁(yè),一、無(wú)窮限的反常積分,無(wú)窮限的反常積分的定義,連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, )上的反常積分定義為,反常積分的計(jì)算,如果F(x)是f(x)的原函數(shù) 則有,可采用如下簡(jiǎn)記形式：,一、無(wú)窮限的反常積分,無(wú)窮限的反常積分的定義,連續(xù)函數(shù)f

2、(x)在區(qū)間a, )上的反常積分定義為,反常積分的計(jì)算,如果F(x)是f(x)的原函數(shù) 則有,類似地 有,下頁(yè),解,例1,下頁(yè),提示：,例2,下頁(yè),解,解,例3,當(dāng)p1時(shí) 此反常積分發(fā)散,首頁(yè),二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,注：,如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界 那么點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)(也稱為無(wú)界間斷點(diǎn)) 無(wú)界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分,無(wú)界函數(shù)反常積分的定義,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù), 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn). 函數(shù)f(x)在(a, b上的反常積分定義為,下頁(yè),在反常積分的定義式中, 如果極限是存在的, 則稱此反常積分收斂; 否則稱此反常積分發(fā)散.,函數(shù)f(x)在a

3、c)(c b上(c為瑕點(diǎn))的反常積分定義為,二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,類似地, 函數(shù)f(x)在a, b)上(b為瑕點(diǎn))的反常積分定義為,下頁(yè),無(wú)界函數(shù)反常積分的定義,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù), 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn). 函數(shù)f(x)在(a, b上的反常積分定義為,二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,無(wú)界函數(shù)反常積分的定義,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b上連續(xù), 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn). 函數(shù)f(x)在(a, b上的反常積分定義為,反常積分的計(jì)算,如果F(x)為f(x)的原函數(shù),可采用簡(jiǎn)記形式,則f(x)在(a, b上的反常積分為,下頁(yè),二、無(wú)界函數(shù)的反常積分,無(wú)界函數(shù)反常積分的定義,設(shè)函數(shù)f(x)在

4、區(qū)間(a, b上連續(xù), 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn). 函數(shù)f(x)在(a, b上的反常積分定義為,反常積分的計(jì)算,如果F(x)為f(x)的原函數(shù),則f(x)在(a, b上的反常積分為,提問(wèn)： f(x)在a, b)上和在a c)(c b上的反常積分如何計(jì)算？ 如何判斷反常積分的斂散性？,下頁(yè),所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn),解,例4,下頁(yè),解,例5,下頁(yè),當(dāng)c (acb)為瑕點(diǎn)時(shí),解,例6,當(dāng)q1時(shí) 此反常積分發(fā)散,結(jié)束,例7.,解：,求,的無(wú)窮間斷點(diǎn),故 I 為反常,積分.,說(shuō)明: (1) 有時(shí)通過(guò)換元 , 反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化 .,例如 ,(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類反常積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分

5、別討論每一區(qū)間上的反常積分.,(3) 有時(shí)需考慮主值意義下的反常積分. 其定義為,常積分收斂 .,注意: 主值意義下反常積分存在不等于一般意義下反,例題 試證, 并求其值 .,解:,令, 函數(shù),1. 定義,2. 性質(zhì),(1) 遞推公式,證:,(分部積分),注意到:,(2),證:,(3) 余元公式:,(4),得應(yīng)用中常見(jiàn)的積分,這表明左端的積分可用 函數(shù)來(lái)計(jì)算.,例如,問(wèn)題1: 曲邊梯形的面積,問(wèn)題2: 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程,存在定理,廣義積分,定積分,定積分 的性質(zhì),定積分的 計(jì)算法,牛頓-萊布尼茨公式,一、主要內(nèi)容,二、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法,1. 用定積分概念與性質(zhì)求極限,2. 用定積

6、分性質(zhì)估值,3. 與變限積分有關(guān)的問(wèn)題,三、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法,1. 熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定積分的計(jì)算,3. 利用各種積分技巧計(jì)算定積分,4. 有關(guān)定積分命題的證明方法,思考: 下列作法是否正確?,例1. 求,解: 因?yàn)?時(shí),所以,利用夾逼準(zhǔn)則得,因?yàn)?依賴于,且,1) 思考例1下列做法對(duì)嗎 ?,利用積分中值定理,原式,不對(duì) !,說(shuō)明:,2) 此類問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng) .,解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和：,已知,利用夾逼準(zhǔn)則可知,例2. 求,思考:,提示:由上題,故,練習(xí): 1.,求極限,解：,原式,2. 求極限,提示：,原式

7、,左邊,= 右邊,例3.,估計(jì)下列積分值,解: 因?yàn)?即,例4. 證明,證: 令,則,令,得,故,例5,解：,例6,解,例8,解,例9,解,令,例10,解,例11. 選擇一個(gè)常數(shù) c , 使,解: 令,則,因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù) , 故選擇 c 使,即,可使原式為 0 .,例12,解,是偶函數(shù),例13. 設(shè),解:,例14,證,例15,證,作輔助函數(shù),例16,解,(1),(2),例17.,解：,且由方程,確定 y 是 x 的函數(shù) , 求,方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得,令 x = 1, 得,再對(duì) y 求導(dǎo), 得,故,例18.,求可微函數(shù) f (x) 使?jié)M足,解: 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,不妨設(shè) f

8、 (x)0,則,注意 f (0) = 0, 得,例19. 求多項(xiàng)式 f (x) 使它滿足方程,解: 令,則,代入原方程得,兩邊求導(dǎo):,可見(jiàn) f (x) 應(yīng)為二次多項(xiàng)式 ,設(shè),代入 式比較同次冪系數(shù) , 得,故,再求導(dǎo):,例20. 證明恒等式,證: 令,則,因此,又,故所證等式成立 .,例21.,試證,使,分析:,要證,即,故作輔助函數(shù),至少存在一點(diǎn),證明: 令,在,上連續(xù),在,至少,使,即,因在,上,連續(xù)且不為0 ,從而不變號(hào),因此,故所證等式成立 .,故由羅爾定理知 ,存在一點(diǎn),思考: 本題能否用柯西中值定理證明 ?,如果能, 怎樣設(shè)輔助函數(shù)?,提示:,設(shè)輔助函數(shù),例22.,設(shè)函數(shù) f (x) 在a, b 上連續(xù),在(a, b) 內(nèi)可導(dǎo), 且,(1) 在(a, b) 內(nèi) f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn) , 使,(3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 相異的點(diǎn) , 使,(03考研),證: (1),由 f (x)在a, b上連續(xù),知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)內(nèi)單調(diào)增,因此,(2) 設(shè),滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中結(jié)論得,因此得,27