1、.費馬點 一、研究目的 費馬點是17世紀法國著名的數學家費馬發(fā)現的。所指的是在三角形所在的平面上，有一個點到三角形三個頂點距離之和最小。而費馬點有許多有意義的性質，即為此，本人以費馬點的性質為因來進行一系列的調查與研究。 二、研究結果 （一）費馬點的發(fā)現者 費馬點的發(fā)現者是費馬Fermat, Pierre de, 1601-1665，17世紀的法國數學家。1601年8月17日在法國南部圖盧茲附近波蒙-德洛馬涅出生。早年于家鄉(xiāng)受教育，后入圖盧茲大學供讀法律，畢業(yè)后任職律師。自1631年起任圖盧茲議會議員。任職期間，他利用工余時間鉆研數學，并經常以書信與笛卡兒、梅森、惠更斯等著名學者交往，討論數學

2、問題。他飽覽群書，精通數國文字，掌握多門自然科學的知識。雖年近三十才認真注意數學，但成就累累。最后于1665年1月12日在卡斯特爾逝世。 他生前由于性情淡泊，為人謙遜，因此較少發(fā)表論著，大多成果只留在手稿、通信或書頁之空白處。他的兒子于1679年把這些遺作整理匯集成書共兩卷，在圖盧茲出版。 由于他在數論、解析幾何、概率論等方面貢獻良多，被后世譽為業(yè)余數學家之王。 （二）費馬點的求法 ABC需是三個內角皆小于120三角形，分別以 AB、BC、CA為邊，向三角形外側做正三角形ABD、 ACE，然后連接DC、BE，則二線交于一點，記作點P，則點P就是所求的費馬點。 （三）費馬點的驗證 1.ABC是等

3、邊三角形，以邊AB、AC分別向ABC外 側作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為 費馬點。則可得出結論： AP=BP=CP；APB=BPC=APC=120；點P 是內心，是在三角形三個內角的角平分線的交點； 點P是垂心，是ABC各邊的高線的交點；ABP、 ACP、BCP全等。點P是ABC各邊的中線的交 點；ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點 P為費馬點時和最小。 2.ABC是等腰三角形，以邊AB、AC分別向ABC外 側作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為 費馬點。則可得出結論： ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為 費馬點時和最?。籄PB=B

4、PC=APC=120； ABP與ACP全等；BCP為等腰三角形。 3.ABC是直角三角形，以邊AB、AC分別向ABC外 側作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為 費馬點。則可得出結論： ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為 費馬點時和最??；APB=BPC=APC=120 （四）費馬點的性質 1.費馬點到三角形三個頂點距離之和最小 2.費馬點連接三頂點所成的三夾角皆為120 3.費馬點為三角形中能量最低點。（調查得知） 4.三力平衡時三力夾角皆為120，所以費馬點是三力平衡的點。（調查得知） （五）費馬點的應用 在實際生活中，若三角形的三個頂點分別是在三個地方，而要求是

5、在“三角形”內建一處車站等，且要是車站到三個地方的公路路程和最短，可利用費馬點的性質：費馬點到三角形三個頂點距離之和最小。則這車站應建在費馬點上。 三、結論 由此次研究可讓我們知道，若想要在某方面做出偉大成就必先努力、鍥而不舍的鉆研，就如胡適所言：“做學問要再不疑處有疑”。并且，將成就運用于生活，服務生活，方便生活，才是他們的價值所在！二、找費馬點 在平面上一三角形，試找出內部一點，使得為最小。首先，讓我們先找到點的性質，再來研究怎么做出點。 點有什么性質呢？它的位置是否有什么特殊意義呢？在中學里，我們學過三角形的內心、外心、重心以及垂心，點和這些心之間有關聯嗎？還是和有些線段長、角度大小有關系呢？ 、和很接近，這三個角度有何關聯？【解法1】 如右圖，以點為中心，將旋轉到 因為旋轉，且，所以為一個正三角形 因此， 由此可知當、四點共線時，為最小若共線時，則 同理，若共線時，則所以點為滿足的點。但是，該用什么方法找出點呢？ 以三邊為邊，分別向外作正三角形、連接、三線共點，設交點為，即為所求【證明1】(在解法1曾提到若，即四點共線時， 有最小值，所以要在上。) 則，得在上取點，使得為正三角形則，得所以【證明2】 ，又四點共圓()所以故，因此在上同理可證在、上，故為、三線交點三、畫出費馬點經過上面的討論，可以知道，在平面上，想找出一點