1、7-6-3計數(shù)之對應(yīng)法教學(xué)目標(biāo)前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時已經(jīng)穿插講解了計數(shù)中的一些常用的方法，比如枚舉法、樹形圖法、標(biāo)數(shù)法、捆綁法、排除法、插板法等等，這里再集中學(xué)習(xí)一下計數(shù)中其他常見的方法，主要有歸納法、整體法、對應(yīng)法、遞推法對這些計數(shù)方法與技巧要做到靈活運(yùn)用例題精講將難以計數(shù)的數(shù)量與某種可計量的事物聯(lián)系起來，只要能建立一一對應(yīng)的關(guān)系，那么這兩種事物在數(shù)量上是相同的事實上插入法和插板法都是對應(yīng)法的一種表現(xiàn)形式模塊一、圖形中的對應(yīng)關(guān)系【例 1】 在88的方格棋盤中，取出一個由三個小方格組成的“L”形（如圖），一共有多少種不同的方法？【考點】計數(shù)之圖形中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】3星 【題

2、型】解答 【解析】 注意：數(shù)“不規(guī)則幾何圖形”的個數(shù)時，常用對應(yīng)法第1步：找對應(yīng)圖形 每一種取法，有一個點與之對應(yīng)，這就是圖中的A點，它是棋盤上橫線與豎線的交點，且不在棋盤邊上第2步：明確對應(yīng)關(guān)系從下圖可以看出，棋盤內(nèi)的每一個點對應(yīng)著4個不同的取法（“L”形的“角”在22正方形的不同“角”上）第3步：計算對應(yīng)圖形個數(shù) 由于在 88的棋盤上，內(nèi)部有77=49（個）交叉點， 第4步：按照對應(yīng)關(guān)系，給出答案故不同的取法共有494=196（種）評注:通過上面兩個范例我們知道,當(dāng)直接去求一個集合元素的個數(shù)較為困難的時候,可考慮采用相等的原則,把問題轉(zhuǎn)化成求另一個集合的元素個數(shù)【答案】【例 2】 在88的

3、黑白相間染色的國際象棋棋盤中，以網(wǎng)格線為邊的、恰包含兩個白色小方格與一個黑色小方格的長方形共有多少個？【考點】計數(shù)之圖形中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】3星 【題型】解答【解析】 首先可以知道題中所講的長方形中間的那個小主格為黑色，這是因為兩個白格不相鄰，所以不能在中間顯然，位于棋盤角上的黑色方格不可能被包含在這樣的長方形中下面分兩種情況來分析：第一種情況，一個位于棋盤內(nèi)部的黑色方格對應(yīng)著兩個這樣的長方形(一橫一豎)；第二種情況，位于邊上的黑色方格只能對應(yīng)一個長方形由于在棋盤上的32個黑色方格中，位于棋盤內(nèi)部的18個，位于邊上的有12個，位于角上的有2個，所以共有個這樣的長方形本題也可以這樣來考慮：事實

4、上，每一行都有6個長方形，所以棋盤上橫、豎共有長方形個由于棋盤上的染色具有對稱性，因此包含兩個白色小方格與一個黑色小方格的長方形正好與包含兩個黑色小方格與一個白色小方格的長方形具有一一對應(yīng)關(guān)系，這說明它們各占一半，因此所求的長方形個數(shù)為個【答案】【鞏固】 用一張如圖所示的紙片蓋住方格表中的四個小方格，共有多少種不同的放置方法？【考點】計數(shù)之圖形中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】3星 【題型】解答 【解析】如圖，將紙片中的一個特殊方格染為黑色，下面考慮此格在方格表中的位置易見它不能位于四個角上；若黑格位于方格表中間如圖淺色陰影所示的正方形內(nèi)的某格時，紙片有4種不同的放法，共計種；若黑格位于方格表邊上如圖深色

5、陰影所示的方格中時，紙片的位置隨之確定，即只有1種放法，此類放法有種所以，紙片共有種不同的放置方法【答案】種【例 3】 圖中可數(shù)出的三角形的個數(shù)為 【考點】計數(shù)之圖形中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】4星 【題型】填空【解析】 這個圖不像我們以前數(shù)三角形那樣規(guī)則，粗看似乎看不出其中的規(guī)律，不妨我們?nèi)〕銎渲械囊粋€三角形，發(fā)現(xiàn)它的三條邊必然落在這個圖形中的三條大線段上，而每三條大線段也正好能構(gòu)成一個三角形，因此三角形的個數(shù)和三條大線段的取法是一一對應(yīng)的關(guān)系，圖中一共有8條大線段，因此有個三角形【答案】個三角形【例 4】 如圖所示，在直線上有7個點，直線上有9個點以上的點為一個端點、上的點為另一個端點的所有線段

6、中，任意3條線段都不相交于同一個點，求所有這些線段在與之間的交點數(shù)【考點】計數(shù)之圖形中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 常規(guī)的思路是這樣的：直線上的7個點，每個點可以與直線上的9個點連9根線段，然后再分析這些線段相交的情況如右圖所示，如果注意到下面這個事實：對于直線上的任意兩點、與直線上的任意兩點、都可以構(gòu)成一個四邊形，而這個四邊形的兩條對角線、的交點恰好是我們要計數(shù)的點，同時，對于任意四點(與上任意兩點)都可以產(chǎn)生一個這樣的交點，所以圖中兩條線段的交點與四邊形有一一對應(yīng)的關(guān)系這說明，為了計數(shù)出有多少個交點，我們只需要求出在直線與中有多少個滿足條件的四邊形就可以了！從而把問題轉(zhuǎn)

7、化為：在直線上有7個點，直線上有9個點四邊形有多少個？其中點、位于直線上，點、位于直線上這是一個常規(guī)的組合計數(shù)問題，可以用乘法原理進(jìn)行計算：由于線段有種選擇方式，線段有種選擇方式，根據(jù)乘法原理，共可產(chǎn)生個四邊形因此在直線與之間共有756個交點【答案】個交點模塊二、數(shù)字問題中的對應(yīng)關(guān)系【例 5】 有多少個四位數(shù)，滿足個位上的數(shù)字比千位數(shù)字大，千位數(shù)字比百位大，百位數(shù)字比十位數(shù)字大？【考點】計數(shù)之?dāng)?shù)字問題中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】4星 【題型】解答【解析】 由于四位數(shù)的四個數(shù)位上的數(shù)的大小關(guān)系已經(jīng)非常明確，而對于從09中任意選取的4個數(shù)字，它們的大小關(guān)系也是明確的，那么由這4個數(shù)字只能組成1個符合條件

8、的四位數(shù)(題目中要求千位比百位大，所以千位不能為0，本身已符合四位數(shù)的首位不能為0的要求，所以進(jìn)行選擇時可以把0包含在內(nèi))，也就是說滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)與從09中選取4個數(shù)字的選法是一一對應(yīng)的關(guān)系，那么滿足條件的四位數(shù)有個【答案】個【鞏固】 三位數(shù)中，百位數(shù)比十位數(shù)大，十位數(shù)比個位數(shù)大的數(shù)有多少個？【考點】計數(shù)之?dāng)?shù)字問題中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】4星 【題型】解答【解析】 相當(dāng)于在10個數(shù)字中選出3個數(shù)字，然后按從大到小排列.共有1098（321）=120種實際上，前鋪中每一種劃法都對應(yīng)著一個數(shù)【答案】種【例 6】 數(shù)3可以用4種方法表示為一個或幾個正整數(shù)的和，如3，問：1999表示為一個或幾個

9、正整數(shù)的和的方法有多少種？【考點】計數(shù)之?dāng)?shù)字問題中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】4星 【題型】解答【解析】 我們將1999個1寫成一行，它們之間留有1998個空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填上“”號例如對于數(shù)3，上述4種和的表達(dá)方法對應(yīng)：1 1 1，11 1，1 11，111可見，將1999表示成和的形式與填寫1998個空隙處的方式之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，而每一個空隙處都有填“”號和不填“”號2種可能，因此1999可以表示為正整數(shù)之和的不同方法有種【答案】種【例 7】 請問至少出現(xiàn)一個數(shù)碼3，并且是3的倍數(shù)的五位數(shù)共有多少個？【考點】計數(shù)之?dāng)?shù)字問題中的對應(yīng)關(guān)系 【難度】4星 【題型】解答【關(guān)鍵詞

10、】小學(xué)數(shù)學(xué)競賽【解析】 五位數(shù)共有90000個，其中3的倍數(shù)有30000個可以采用排除法，首先考慮有多少個五位數(shù)是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3.首位數(shù)碼有8種選擇，第二、三、四位數(shù)碼都有9種選擇當(dāng)前四位的數(shù)碼確定后，如果它們的和除以余數(shù)為0，則第五位數(shù)碼可以為0、6、9；如果余數(shù)為1，則第五位數(shù)碼可以為2、5、8；如果余數(shù)為2，則第五位數(shù)碼可以為1、4、7.可見只要前四位數(shù)碼確定了，第五位數(shù)碼都有3種選擇，所以五位數(shù)中是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3的數(shù)共有個所以滿足條件的五位數(shù)共有個【答案】個模塊三、對應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法【例 8】 游樂園的門票1元1張，每人限購1張現(xiàn)在有10個小朋友排隊購票，其中5個小朋友

11、只有1元的鈔票，另外5個小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準(zhǔn)備零錢問有多少種排隊方法，使售票員總能找得開零錢？【考點】計數(shù)之對應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】解答【解析】 與類似題目找對應(yīng)關(guān)系要保證售票員總能找得開零錢，必須保證每一位拿2元錢的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人數(shù)多，先將拿1元錢的小朋友看成是相同的，將拿2元錢的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型在下圖中，每條小橫線段代表1元錢的小朋友，每條小豎線段代表2元錢的小朋友，因為從點沿格線走到點，每次只能向右或向上走，無論到途中哪一點，只要不超過斜線，那么經(jīng)過的小橫線段都不少于小豎線段，所以本題相當(dāng)于求下圖

12、中從到有多少種不同走法使用標(biāo)數(shù)法，可求出從到有42種走法 但是由于10個小朋友互不相同，必須將他們排隊，可以分成兩步，第一步排拿2元的小朋友，5個人共有種排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120種排法，所以共有種排隊方法這樣，使售票員能找得開零錢的排隊方法共有(種)【答案】種【例 9】 學(xué)學(xué)和思思一起洗個互不相同的碗（順序固定），思思洗好的碗一個一個往上摞，學(xué)學(xué)再從最上面一個一個地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，那么學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞法【考點】計數(shù)之對應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級，第7題【解析】 方法一：如下所示，共有種不同

13、的摞法：， 。方法二：我們把學(xué)學(xué)洗的個碗過程看成從起點向右走步（即洗幾個碗就代表向右走幾步），思思拿個碗的過程看成是向上走步（即拿幾個碗就代表向上走幾步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走步到達(dá)終點最短路線的方法.由于洗的碗要多余拿的碗，所以向右走的路線要多余向上走的路線，所以我們用下面的斜三角形進(jìn)行標(biāo)數(shù)，共有種走法，所以共有42種不同的摞法。【答案】種【鞏固】 學(xué)學(xué)和思思一起洗個互不相同的碗（順序固定），思思洗好的碗一個一個往上摞，學(xué)學(xué)再從最上面一個一個地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一邊洗，學(xué)學(xué)一邊拿，問學(xué)學(xué)摞好的碗一共有 種不同的摞法?！究键c】計數(shù)之對應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法 【難度】4星 【題型】

14、填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，3年級，第7題【解析】 按思思洗碗的順序?qū)⑦@個碗依次標(biāo)號為、，則學(xué)學(xué)摞好的碗一共有如下種擺法：，。 【答案】【例 10】 一個正在行進(jìn)的8人隊列，每人身高各不相同，按從低到高的次序排列，現(xiàn)在他們要變成并列的2列縱隊，每列仍然是按從低到高的次序排列，同時要求并排的每兩人中左邊的人比右邊的人要矮，那么，2列縱隊有 種不同排法.【考點】計數(shù)之對應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】第七屆，走美杯【解析】 首先，將8人的身高從低到高依次編號為，現(xiàn)在就相當(dāng)于要將這8個數(shù)填到一個的方格中，要求每一行的數(shù)依次增大，每一列上面的要比下面的大下面我們將依次往方格中填，按照

15、題目規(guī)則，很容易就發(fā)現(xiàn)：第二行填的的數(shù)字的個數(shù)永遠(yuǎn)都小于或等于第一行數(shù)字填的個數(shù)也就是說，不能出現(xiàn)下圖這樣的情況而這個正好是“階梯型標(biāo)數(shù)”題型的基本原則于是，我們可以把原題轉(zhuǎn)化成：在這個階梯型方格中，橫格代表在第一行的四列，縱格代表第二行的四列，那么此題所有標(biāo)數(shù)的方法就相當(dāng)于從A走到B的最短路線有多少條例如，我們選擇一條路線：它對應(yīng)的填法就是：最后，用“標(biāo)數(shù)法”得出從A到B的最短路徑有14種，如下圖：【答案】種【鞏固】將112這12個數(shù)填入到2行6列的方格表中，使得每行右邊比左邊的大，每一列上面比下面的大，共有多少種填法？【考點】計數(shù)之對應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】解答【解析】 根

16、據(jù)對應(yīng)關(guān)系，再運(yùn)用階梯型標(biāo)數(shù)法畫圖如下：共有132種填法【答案】種【例 11】 在一次小組長選舉中，錚錚與昊昊兩人作為候選人參加競選，一共得了7張選票。在將7張選票逐一唱票的過程中，昊昊的得票始終沒有超過錚錚。那么這樣的唱票過程有 種不同的情況?！究键c】計數(shù)之對應(yīng)與階梯型標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級，1試，第14題【解析】 標(biāo)數(shù)法（1）7張全是錚錚，1種；（2）6張錚錚,1張昊昊,6種；（3）5張錚錚,2張昊昊,14種；（4）4張錚錚,3張昊昊,14種。一共35種?！敬鸢浮糠N模塊四、不完全對應(yīng)關(guān)系【例 12】 圓周上有12個點，其中一個點涂紅，還有一個點涂了藍(lán)色

17、，其余10個點沒有涂色，以這些點為頂點的凸多邊形中，其頂點包含了紅點及藍(lán)點的多邊形稱為雙色多邊形；只包含紅點(藍(lán)點)的多邊形稱為紅色(藍(lán)色)多邊形不包含紅點及藍(lán)點的稱無色多邊形試問，以這12個點為頂點的所有凸多邊形(邊數(shù)可以從三角形到12邊形)中，雙色多邊形的個數(shù)與無色多邊形的個數(shù)，哪一種較多？多多少個？【考點】計數(shù)之不完全對應(yīng)關(guān)系 【難度】4星 【題型】解答【解析】 從任意一個雙色的邊形出發(fā)(時)，在去掉這個雙色多邊形中的紅色頂點與藍(lán)色頂點后，將得到一個無色的邊形；另一方面，對于一個任意的無色的邊形，如果加上紅色頂點和藍(lán)色頂點，就得到一個雙色的邊形，所以無色多邊形與雙色多邊形中的五邊形以上的

18、圖形是一一對應(yīng)的關(guān)系，所以雙色多邊形的個數(shù)比較多，多的是雙色三角形和雙色四邊形的個數(shù)而雙色三角形有10個，雙色四邊形有個，所以雙色多邊形比無色多邊形多個【答案】雙色多邊形比無色多邊形多個【例 13】 有一類各位數(shù)字各不相同的五位數(shù)，它的千位數(shù)字比左右兩個數(shù)字大，十位數(shù)字也比左右兩位數(shù)字大另有一類各位數(shù)字各不相同的五位數(shù)，它的千位數(shù)字比左右兩個數(shù)字小，十位數(shù)字也比左右兩位數(shù)字小請問符合要求的數(shù)與，哪一類的個數(shù)多？多多少？【考點】計數(shù)之不完全對應(yīng)關(guān)系 【難度】5星 【題型】解答【解析】 與都是五位數(shù)，都有千位和十位與其它數(shù)位的大小關(guān)系，所以兩類數(shù)有一定的對應(yīng)關(guān)系比如有一個符合要求的五位數(shù)(不為0)，那么就有一個與之相反并對應(yīng)的五位數(shù)必屬于類，比如為類，則與之對應(yīng)的為類所以對于類的每一個數(shù)，類都有一個數(shù)與之對應(yīng)但是兩類數(shù)的個數(shù)不是一樣多，因為類中不能做首位，而類中9可以做首位所以類的數(shù)比類的數(shù)要多，多的就是就是首位為的符合要求的數(shù)計算首位為的類的數(shù)的個數(shù)，首先要確定另外四個數(shù)，因為要求各不相同，從除9外的其它個數(shù)字中選出個，有種選法對于每一種選法選出來的4個數(shù)，假設(shè)其大小關(guān)系為，由于其中最小的數(shù)只能在千位和十位上，最大的數(shù)只能在百位和個位上，所以符合要求的數(shù)