1、距離空間的可分性 有理數(shù)在實數(shù)集中的稠密性,第三節(jié) 距離空間的可分性與完備性,距離空間的完備性 實數(shù)的完備性,一般距離空間的完備化,已知：在實直線上， 存在一個處處稠密的可數(shù)子集Q, 且成立完備性定理（即柯西收斂原理)。 問題：在一般的距離空間中，是否存在一個處處稠密 的可數(shù)子集？完備性定理是否總成立？,一、距離空間的可分性,1.距離空間中的稠密子集,定義1（稠密性) 設X是距離空間，AX, BX. (1) B在A中稠密, 若對于xA, xn B, 使xnx (n) (2) B在X中處處稠密 (或B是X的一個稠密子集), 若對于 xX, xn B, 使xnx (n).,例1 有理數(shù)集在R中處處

2、稠密.,例2 Rn中的有理點集在Rn中稠密可數(shù).,例3 多項式集合P在Ca,bLpa,b中處處稠密. (魏爾斯特拉斯一致逼近定理: x(t)Ca,b, pn(t)P,使pn(t)x(t)(n), 即pn(t)按Ca,b中的距離收斂于x(t).),例4 a,b上的有界可測函數(shù)集合Ba,b在Lpa,b(p1)中處處稠密.,證: x(t)Lpa,b, 定義函數(shù)列,xn(t) (n=1,2,)是a,b上的有界可測函數(shù), 且有,x(t)Lpa,b x(t)pL1a,b0, 0, 使當E0E=a,b, m(E0)N時, m(E(xn)0, =(/2K)p, y(t)Ca,b使得 m(E(x(t)y(t)

3、(由魯金定理) 不妨設y(t) K, E0=E(x(t) y(t),(x,y)0, p(t)P Ca,b,使 (x,p)=max|x(t)-p(t)|0, p0(t)P0 P, 使 (p,p0)=max|p(t)-p0(t)| 0, p0(t)P0 P Ca,b, 使 (x,p0)=max|x(t)-p0(t)| max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)| 0, 有理系數(shù)多項式 p0(t)P0，使 C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|N時, 有 (xm,xn)0, N, 當m,n N時, 同時有(xn,x)N時, 有(xm,xn)(xn,x)+(xm,x)0, N=

4、N(), 當m,nN時, 有 (xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|N時，有|xn(t)-xm(t)|N時, 有,設xi(k)xi (k) (i=1,2,n) , 令x=(x1,xn)Rn,（k）,Rn按歐氏距離構成的歐氏空間是完備的.,xi(k)是基本列, 因而xi(k)收斂, 0, N,當k,jN時, 有, 0, N,當kN, j時，有,例6 空間Lpa,b、lp、 l (or m)、c 均為完備的距離空間。,證: x(k)l為一基本列,對于i=1,2,n, 當k,jN時,有|xi(k)xi(j)|N時，有,x(k)l xi(k)Mk, (k=1,2,) xixi-xi(k) +

5、 xi (k)+Mk, i=1,2, x=x1,x2,xn,)l, 0, N,當k,jN時, 有,例7 有理數(shù)集Q按距離(x,y)=|x-y|是距離空間, 但不完備. 事實上，在有理數(shù)集Q中，有理數(shù)列(1+1/n)n收斂, 因而是基本列, 但其極限為eQ，故Q不完備.,例8 a,b上實系數(shù)多項式全體Pa,b按Ca,b中通常的距離構成Ca,b的子空間, 但它是不完備的距離空間。 事實上, 存在多項式列 pn(t)一致收斂于x(t): x(t)Ca,b.x(t)Pa,b,(但是確實存在著不完備的距離空間),例9 C0,1按距離 構成的距離空間,是L10,1的子空間，但它按1(x,y)不完備.,(m

6、=1,2,),xm C0,1是基本列。,證: 構造函數(shù)列xm(t)C 0,1:,如果存在x(t) 使1(xm,x)0 (m), 由于,顯然x(t)C0,1，所以C0,1按距離1 (x,y)不完備。,可以證明xm在C0,1 中按1(x,y)不收斂。,例10 Ca,b按距離 構成的距離,空間是L2a,b的子空間，但它按2(x,y)不完備.,證: 構造函數(shù)列xn(t)Ca,b:, |xn(t) |0, N0, 當nN時, (xn,x)N, mN時, (xn,xm)(xn,x)+(x,xm) xn是基本列 “必要性” 設xn X是基本列, X完備xnX是收斂點列 （完備性定義） 2）“必要性” 設xn

7、F X是基本列，F(xiàn)是X的閉子空間. X完備，xn是基本列 xX, 使xnx (n) F閉 xF =Fxn在F中收斂F完備 “充分性” 設F完備. xnF，xnx xnF是基本列， F完備xF F是閉的。,3. 完備距離空間的兩個基本定理,定義5 （稀疏集與第二綱集）設X是距離空間 1）若X中任一個球都含有某一個球，使后者不含A的點，則稱A為X中的稀疏集（疏朗集）。 2）若A=An，每個An都在X內(nèi)稀疏，則稱A是在X內(nèi)的第一綱集, 而X內(nèi)的非第一綱集的集合稱為第二綱集. 注：1在稀疏集定義中，“任意球”可以是開球或閉球. 2在R中，有理數(shù)集是第一綱集，而無理數(shù)集是第二綱集。,定理3 設X是距離空

8、間，A是稀疏集A不在X的任意球中稠密。,證 “” 設A稀疏 S(x0,), S(x1 ,)S(x0,),使S(x1,)A= A不在S(x0,)中稠密 “” 設A不在任一球中稠密 S(x0,), x1S(x0,),但x1A S(x1, )S(x0,),使S(x1,)A=,定理4(第二綱集定理) 設X是完備的距離空間，則X是第二綱集。,推論: 給定完備的距離空間X,若AX是第一綱集,則AC 是第二綱集。 例如:由于有理數(shù)是R內(nèi)的第一綱集，故無理數(shù)是R內(nèi)的第二綱集。,注：1）閉球套定理是完備距離空間中的重要定理之一；刻劃了距離空間的完備性；是實數(shù)中的康托區(qū)間套定理的推廣。,2）第二綱集定理是完備距離

9、空間的重要定理之二。,完備性可以使空間具有很好的性質(zhì)和廣泛的應用，對于不完備的距離空間，它在應用上將會造成很多困難。,4. 距離空間的完備化,問題：能否在不完備的距離空間中補充一些新“點”， 使之成為完備的距離空間？,例如在有理數(shù)集Q中加入“無理數(shù)”，便得到完備度量空間R，并且Q在R中稠密。這就是所謂的距離空間完備化問題。,定義6 （等距映射與等距同構）設(X, X)和(Y, Y)是兩個距離空間,如果存在一個滿射T:XY, 使得x,yX,有 Y(Tx,Ty)= X(x,y) 則稱T使X到Y(jié)的等距映射，并稱X與Y是等距同構的。,定義7 （完備化空間）設(X, X) 是距離空間, (Y, Y)是一個完備的距離空間，Y1Y, 如