1、第22講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系,總綱目錄,泰安考情分析,基礎(chǔ)知識過關(guān),知識點(diǎn)四 三角形的外接圓和內(nèi)切圓,知識點(diǎn)一 與圓有關(guān)的位置關(guān)系,1.與圓有關(guān)的位置關(guān)系,溫馨提示 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可通過d(點(diǎn)到圓心的距離)和r(圓 的半徑)之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷;直線與圓的位置關(guān)系可通過d (圓心到直線的距離)和r(圓的半徑)之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.,2.過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓,不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓.,知識點(diǎn)二 切線的判定和性質(zhì) 1.切線的判定 (1)和圓 只有一個 公共點(diǎn)的直線是圓的切線; (2)到圓心的距離等于 半徑 的直線是圓的切線; (3)經(jīng)過半徑的外端并且 垂直于 這條半徑的直線是圓

2、的切線.,2.切線的性質(zhì) (1)切線的性質(zhì)定理:圓的切線 垂直于經(jīng)過切點(diǎn) 的半徑. (2)推論1:經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過 圓心 . (3)推論2:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過 切點(diǎn) . 溫馨提示 (1)要證的直線與圓有公共點(diǎn),且存在連接公共點(diǎn)的半徑,此時可直接根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直 線是圓的切線”來證明.口訣“見半徑、證垂直”. (2)給出了直線與圓的公共點(diǎn),但未給出過這點(diǎn)的半徑,則連接公 共點(diǎn)和圓心,根據(jù)“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線 是圓的切線”來證明.口訣“連半徑、證垂直”.,(3)當(dāng)直線與圓的公共點(diǎn)不明確時,則過圓心作該直線的垂線,然 后根據(jù)

3、“圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切 線”來證明.口訣是“作垂直、證相等”.,知識點(diǎn)三 切線長定理 1.切線長的定義:過圓外一點(diǎn)引圓的切線,這一點(diǎn)到切點(diǎn)之間線段 的長叫做這點(diǎn)到圓的 切線長 .,2.切線長定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的長 相等 ,圓心和這一點(diǎn)的連線 平分 這兩條切線的夾角.,知識點(diǎn)四 三角形的外接圓和內(nèi)切圓,溫馨提示 銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部;直角三角形的外 心在斜邊的中點(diǎn)處;鈍角三角形的外心在三角形的外部.所有三角 形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.,知識點(diǎn)五 正多邊形與圓 1.正多邊形的相關(guān)概念 (1)正多邊形:各邊相等,各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

4、(2)正多邊形的中心:一個正多邊形 外接圓的圓心 叫做這個正多邊形的中心. (3)正多邊形的半徑:正多邊形外接圓的 半徑 叫做正多邊形的半徑. (4)正多邊形的中心角:正多邊形的每一邊所對的 圓心角 叫做正多邊形的中心角. (5)正多邊形的邊心距:正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離 叫做正多邊形的 邊心距 .,2.正多邊形和圓的有關(guān)計算 如果把正n邊形的有關(guān)元素:中心角、半徑、邊長、邊心距、周 長、面積分別用n、R、an、rn、Pn、Sn表示,那么: (1)n= ;(2)R2= + ;(3)Pn=nan;(4)Sn= nrnan= rnPn .,泰安考點(diǎn)聚焦,考點(diǎn)一 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 例1

5、如圖,在網(wǎng)格中(每個小正方形的邊長均為1個單位)選取9個 格點(diǎn)(格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)).如果以A為圓心,r為半徑畫圓,選取的 格點(diǎn)中 恰好有3個在圓內(nèi),則r的取值范圍為( B ),A.2 r B. r3 C. r5 D.5r,解析 如圖,連接P1A,P2A,P8A. 根據(jù)勾股定理得P1A=5,P2A=3 ,P3A= ,P4A=5,P5A= ,P6A= ,P7A=5,P8A=2 , P8AP3A=P6AP2AP1A=P4A=P7AP5A, 除點(diǎn)A外恰好有三個格點(diǎn)在圓內(nèi), 這三個格點(diǎn)為P3,P6,P8, 5, 則m=0;若d=5,則m=1;若1d5,則m=3;若d=1,則m=2;若d 5時,m=0,

6、故正確; 當(dāng)d=5時,m=1,故正確; 當(dāng)1d5時,m=2,故錯誤; 當(dāng)d=1時,m=3,故錯誤; 當(dāng)dr(圓的半徑)時,相離;d=r時, 相切;dr時,相交.,考點(diǎn)三 切線的性質(zhì) 中考解題指導(dǎo) 熟練掌握切線的性質(zhì)定理及兩個推論,以及常用 輔助線的作法.,例3 如圖,I是ABC的內(nèi)切圓,與AB,BC,CA分別相切于點(diǎn)D,E, F,DEF=50,則A= 80 .,解析 連接DI,FI,如圖所示. DEF=50, DIF=2DEF=100, I是ABC的內(nèi)切圓, ADI=AFI=90, A=360-ADI-AFI-DIF=80.,變式3-1 (2018泰安)如圖,BM與O相切于點(diǎn)B,若MBA=14

7、0, 則ACB的度數(shù)為 ( A ) A.40 B.50 C.60 D.70,解析 連接OA,OB, BM與O相切于點(diǎn)B, OBM=90. MBA=140, OBA=50. OA=OB,OAB=OBA=50, AOB=80, ACB=40,故選A. 方法技巧 已知圓的切線,若圖中沒有連接切點(diǎn)的半徑,則需要 連接切點(diǎn)與圓心構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理、銳角三角函數(shù) 等知識進(jìn)行解答.,考點(diǎn)四 切線的判定 例4 (2017濟(jì)寧)如圖,已知O的直徑AB=12,弦AC=10,D是 的 中點(diǎn),過點(diǎn)D作DEAC,交AC的延長線于點(diǎn)E. (1)求證:DE是O的切線; (2)求AE的長.,解析 (1)證明:連接O

8、D. D為 的中點(diǎn), 的長= 的長. BOD=BAE,ODAE. DEAC,交AC的延長線于點(diǎn)E, ODDE, 則DE為O的切線. (2)過點(diǎn)O作OFAC, AC=10,AF=CF= AC=5, OFE=DEF=ODE=90, 四邊形OFED為矩形,FE=OD= AB, AB=12,FE=6, 則AE=AF+FE=5+6=11.,變式4-1 (2018濰坊)如圖,BD為ABC外接圓O的直徑,且 BAE=C. (1)求證:AE與O相切于點(diǎn)A; (2)若AEBC,BC=2 ,AC=2 ,求AD的長.,解析 (1)證明:連接OA交BC于點(diǎn)F, 則OA=OD,D=DAO, D=C,C=DAO, BAE

9、=C,BAE=DAO, BD是O的直徑, DAB=90,即DAO+OAB=90, BAE+OAB=90,即OAE=90, AEOA, AE與O相切于點(diǎn)A. (2)AEBC,AEOA, OABC, 的長= 的長,FB= BC, AB=AC, BC=2 ,AC=2 , BF= ,AB=2 .,在RtABF中,AF= =1, 在RtOFB中,OB2=BF2+(OA-AF)2, 即OB2=BF2+(OB-AF)2, OB=4,BD=8, 在RtABD中,AD= = = =2 . 方法技巧 證明圓的切線有三種思路:有過切點(diǎn)的半徑,證明垂 直;有切點(diǎn),無半徑,連半徑,證明垂直;無切點(diǎn),作垂直,證明相等.,

10、一、選擇題 1.若A的半徑為5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,8),則點(diǎn)P的位置為 ( A ) A.在A內(nèi) B.在A上 C.在A外 D.不確定,隨堂鞏固訓(xùn)練,2.如圖,兩個圓的圓心都是點(diǎn)O,AB是大圓的直徑,大圓的弦BC所 在直線與小圓相切于點(diǎn)D.則下列結(jié)論不一定成立的是 ( C ) A.BD=CD B.ACBC C.AB=2AC D.AC=2OD,3.(2017日照)如圖,AB是O的直徑,PA切O于點(diǎn)A,連接PO并延 長交O于點(diǎn)C,連接AC,AB=10,P=30,則AC的長度是 ( A ) A.5 B.5 C.5 D.,4.九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有下 列問

11、題“今有勾八步,股十五步,問勾中容圓徑幾何?”其意思是 “今有直角三角形,勾(短直角邊)長為8步,股(長直角邊)長為15 步,問該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)的直徑是多少?” ( C ) A.3步 B.5步 C.6步 D.8步,5.(2018煙臺)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于O,點(diǎn)I是ABC的內(nèi)心, AIC=124,點(diǎn)E在AD的延長線上,則CDE的度數(shù)為 ( C ) A.56 B.62 C.68 D.78,6.如圖,O的半徑為2,點(diǎn)O到直線l的距離為3,點(diǎn)P是直線l上的一 個動點(diǎn),PB切O于點(diǎn)B,則PB的最小值是 ( B ) A. B. C.3 D.2 二、填空題,7.已知正六邊形的邊心距為

12、 ,則它的周長是 12 . 解析 如圖,連接OA,OB,作OHAB于H. 六邊形ABCDEF是正六邊形, AOB= 360=60, OA=OB,OAB是等邊三角形, OAH=60, OHAB,OH= ,OA= =2,AB=OA=2, 該正方形的周長是26=12.,8.如圖,PA,PB是O的切線,A,B為切點(diǎn),AC是O 的直徑,若P=4 6,則BAC= 23 度.,解析 PA,PB是O的切線, PA=PB,又P=46, PAB=PBA= =67, 又PA是O是切線,AO為半徑, OAAP, OAP=90, BAC=OAP-PAB=90-67=23.,9.直角三角形的兩邊長分別為16和12,則此三

13、角形外接圓的半徑 是 10或8 . 解析 當(dāng)直角三角形的斜邊長為16時,這個三角形外接圓的半徑 為8;當(dāng)兩條直角邊長分別為16和12,則直角三角形的斜邊長= =20,因此這個三角形外接圓的半徑為10.綜上所述,這個三角形外接圓的半徑等于8或10.,10.如圖,APB=30,圓心在邊PB上的O半徑為1 cm,OP=3 cm, 若O沿BP方向移動,當(dāng)O與PA相切時,圓心O移動的距離為 1或5 cm.,解析 如圖,設(shè)O移動到O1,O2位置時與PA相切.,當(dāng)O移動到O1時,O1DP=90. APB=30,O1D=1 cm,PO1=2 cm. OP=3 cm,OO1=1 cm; 當(dāng)O移動到O2時,O2EP=90.,APB=30,O2E=1 cm, O2PE=30,PO2=2 cm. OP=3 cm,OO3=5 cm. 綜上所述,當(dāng)O與PA相切時,圓心O移動的距離為1或5 cm.,三、解答題 11.(2017德州)如圖,已知RtABC,C=90,D為BC的中點(diǎn),以AC 為直徑的O交AB于點(diǎn)E. (1)求證:DE是O的切線; (2)若AEEB=12,BC=6,求AE的長.,解析 (1)證明:連接OE,EC. AC是O的直徑