1、a,1,第五章定積分,定積分和不定積分是積分學(xué)的兩個,一種認(rèn)識問題、分析問題、解決問題的,definiteintegral,不定積分側(cè)重于基本積分法的訓(xùn)練,而定積分則完整地體現(xiàn)了積分思想,主要組成部分.,思想方法.,a,2,第五章定積分,基本要求,理解定積分的定義和性質(zhì),微積分基本定理,了解反常積分的概念,掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量(如面積、體積、弧長、功、引力等）的方法.,a,3,第一節(jié)定積分的概念與性質(zhì),定積分問題舉例,定積分的定義,關(guān)于函數(shù)的可積性,定積分的幾何意義和物理意義,小結(jié)思考題作業(yè),定積分,定積分的性質(zhì),*,*,*,definiteintegral,a,4,1.曲邊梯形

2、的面積,定積分概念也是由大量的實際問題,求由連續(xù)曲線,一、定積分問題舉例,抽象出來的,現(xiàn)舉兩例.,a,5,用矩形面積,梯形面積,（五個小矩形）,（十個小矩形）,思想,顯然,小矩形越多,矩形總面積越接近曲邊,近似取代曲邊梯形面積,a,6,采取下列四個步驟來求面積A.,(1)分割,(2)取近似,長度為,為高的小矩形,面積近似代替,a,7,(3)求和,這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形,面積A的近似值.,(4)求極限,為了得到A的精確值,取極限,形的面積:,分割無限加細(xì),極限值就是曲邊梯,a,8,2.求變速直線運動的路程,思想,以不變代變,設(shè)某物體作直線運動,已知速度,是時間間隔,的一個連續(xù)函數(shù),求物

3、體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.,思路,把整段時間分割成若干小段,每小段上,速度看作不變,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值,最后通過對時間的無限,細(xì)分過程求得路程的精確值,a,9,(1)分割,(3)求和,(4)取極限,路程的精確值,(2)取近似,表示在時間區(qū)間,內(nèi)走過的路程.,某時刻的速度,a,10,二、定積分的定義,設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入,定義,若干個分點,把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為,在各小區(qū)間上任取,一點,作乘積,并作和,記,如果不論對,(1),(2),(3),(4),a,11,被積函數(shù),被積表達(dá)式,記為,積分和,怎樣的分法,也不論在小

4、區(qū)間,上點,怎樣的取法,只要當(dāng),和S總趨于確定的,極限I,稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的,定積分.,積分下限,積分上限,積分變量,a,b積分區(qū)間,a,12,(2),的結(jié)構(gòu)和上、下限,今后將經(jīng)常利用定積分與變量記號無關(guān)性進(jìn)行推理.,定積分是一個數(shù),定積分?jǐn)?shù)值只依賴于被積函數(shù),有關(guān);,無關(guān).,而與積分變量的記號無關(guān).,a,13,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負(fù)值,1.幾何意義,三、定積分的幾何意義和物理意義,a,14,幾何意義,各部分面積的代數(shù)和.,取負(fù)號.,它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條,直線x=a,x=b之間的,在x軸上方的面積取正號;,在x軸下方的面積,a,15,例,解

5、,2.物理意義,t=b所經(jīng)過的路程s.,作直線運動的物體從時刻t=a到時刻,定積分,表示以變速,a,16,定理1,定理2,或,記為,黎曼德國數(shù)學(xué)家(18261866),四、關(guān)于函數(shù)的可積性,可積.,且只有有限個,可積.,當(dāng)函數(shù),的定積分存在時,可積.,黎曼可積,第一類間斷點,充分條件,a,17,例1,下面舉例按定義計算定積分.,求函數(shù),上的定積分.,a,18,討論定積分的近似計算問題.,存在.,n等分,用分點,分成n個長度相等的小區(qū)間,長度,取,有,每個小區(qū)間,對任一確定的自然數(shù),a,19,取,如取,矩形法,公式,矩形法的幾何意義,a,20,對定積分的補充規(guī)定,說明,五、定積分的性質(zhì),在下面的

6、性質(zhì)中,假定定積分都存在,且不考慮積分上下限的大小,a,21,證,(此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況),性質(zhì)1,a,22,證,性質(zhì)2,性質(zhì)1和性質(zhì)2稱為,線性性質(zhì).,a,23,補充,例,(定積分對于積分區(qū)間具有可加性),則,性質(zhì)3,假設(shè),的相對位置如何,上式總成立.,不論,a,24,證,性質(zhì)4,性質(zhì)5,如果在區(qū)間,則,a,25,解,令,于是,比較積分值,和,的大小.,例2,a,26,性質(zhì)5的推論1,證,如果在區(qū)間,則,于是,性質(zhì)5,如果在區(qū)間,則,a,27,思考,比較下列積分的大小.,(1),(2),(3),(4),(5),a,28,證,說明,性質(zhì)5的推論2,性質(zhì)5,如果在區(qū)間,則,可積

7、性是顯然的.,由推論1,a,29,證,(此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍),性質(zhì)6,分別是函數(shù),最大值及最小值.,則,a,30,例3.試證:,證:設(shè),即,故,即,a,31,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理:,性質(zhì)7(定積分中值定理）,如果函數(shù),在閉區(qū)間,連續(xù),則在積分區(qū)間,至少存在一點,使下式成立:,積分中值公式,至少存在一點,使,即,a,32,定理用途,1.無論從幾何上,還是從物理上,都容易理解,平均值公式,求連續(xù)變量的平均值要用到.,如何去掉積分號來表示積分值.,2.事實上,a,33,積分中值公式的幾何解釋,至少存在一點,在區(qū)間,使得以區(qū)間,為底邊,以曲線,為曲邊的曲邊梯形的,面積,等于同一底邊而高為,的一個矩形的面積.,a,34,例5,若函數(shù),上連續(xù),且,證明:,a,35,例6.用定積分表示下列極限:,解:,a,36,3.定積分的性質(zhì),(注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用),4.典型問題,(1)估計積分值;,(2)不計算定積分比較積分大小.,六、小結(jié),1.定積分的實質(zhì):特殊和式的極限.,2.定積分的思想和方法:,以直代曲、以勻代變.,四步曲:,分割、,取近似、,求和、,取極限.,思想,方法,a,37,思考與練習(xí),1.用定積分表示下述極限:,解: