1、第四章常用概率分布,為了便于讀者理解統(tǒng)計分析的基本原理，正確掌握和應(yīng)用以后各章所介紹的統(tǒng)計分析方法，本章在介紹概率論中最基本的兩個概念事件、概率的基礎(chǔ)上，重點介紹生物科學(xué)研究中常用的幾種隨機變量的概率分布正態(tài)分布、二項分布、波松分布以及樣本平均數(shù)的抽樣分布和t分布。,下一張,主頁,退出,上一張,第一節(jié)事件與概率,一、事件（一）必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象在自然界與生產(chǎn)實踐和科學(xué)試驗中，人們會觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來，大體上分為兩大類：,下一張,主頁,退出,上一張,一類是可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進行試驗，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生（或必然不發(fā)生）。這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象（i

2、nevitablephenomena）或確定性現(xiàn)象（definitephenomena）。另一類是事前不可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進行試驗，其結(jié)果未必相同。這類在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象（randomphenomena）或不確定性現(xiàn)象（indefinitephenomena）。,下一張,主頁,退出,上一張,隨機現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點：在一定的條件實現(xiàn)時，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)哪種結(jié)果；對一次或少數(shù)幾次觀察或試驗而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性；但在相同條件下進行大量重復(fù)試驗時，其試驗結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的特定的規(guī)律

3、性頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。,下一張,主頁,退出,上一張,（二）隨機試驗與隨機事件1、隨機試驗通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對自然現(xiàn)象所進行的觀察或試驗統(tǒng)稱為試驗（trial）。而一個試驗如果滿足下述三個特性，則稱其為一個隨機試驗（randomtrial），簡稱試驗：,下一張,主頁,退出,上一張,（1）試驗可以在相同條件下多次重復(fù)進行；（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且事先知道會有哪些可能的結(jié)果；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。例如在一定孵化條件下，孵化6枚種蛋，觀察其出雛情況；又如觀察兩頭臨

4、產(chǎn)妊娠母牛所產(chǎn)犢牛的性別情況，它們都具有隨機試驗的三個特征，因此都是隨機試驗。,下一張,主頁,退出,上一張,2、隨機事件隨機試驗的每一種可能結(jié)果，在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，稱為隨機事件（randomevent），簡稱事件(event），通常用A、B、C等來表示。（1）基本事件我們把不能再分的事件稱為基本事件（elementaryevent），也稱為樣本點（samplepoint）。,下一張,主頁,退出,上一張,例如，在編號為1、2、3、10的十頭豬中隨機抽取1頭，有10種不同的可能結(jié)果：“取得一個編號是1”、“取得一個編號是2”、“取得一個編號是10”，這10個事件都是不可能再分的事

5、件，它們都是基本事件。由若干個基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件（compoundevent）。如“取得一個編號是2的倍數(shù)”是一個復(fù)合事件，它由“取得一個編號是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10”5個基本事件組合而成。,下一張,主頁,退出,上一張,（2）必然事件我們把在一定條件下必然會發(fā)生的事件稱為必然事件（certainevent），用表示。例如，在嚴格按妊娠期母豬飼養(yǎng)管理的要求飼養(yǎng)的條件下，妊娠正常的母豬經(jīng)114天左右產(chǎn)仔，就是一個必然事件。,下一張,主頁,退出,上一張,（3）不可能事件我們把在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件（impossibleevent），用表示。例如

6、，在滿足一定孵化條件下，從石頭孵化出雛雞，就是一個不可能事件。必然事件與不可能事件實際上是確定性現(xiàn)象，即它們不是隨機事件，但是為了方便起見，我們把它們看作為兩個特殊的隨機事件。,下一張,主頁,退出,上一張,二、概率（一）概率的統(tǒng)計定義研究隨機試驗，僅知道可能發(fā)生哪些隨機事件是不夠的，還需了解各種隨機事件發(fā)生的可能性大小，以揭示這些事件的內(nèi)在的統(tǒng)計規(guī)律性，從而指導(dǎo)實踐。這就要求有一個能夠刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標，這指標應(yīng)該是事件本身所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們稱之為概率（probability）。事件A的概率記為P（A）。,下一張,主頁,退出,上一張,概率的統(tǒng)計定義在相同條件

7、下進行n次重復(fù)試驗，如果隨機事件A發(fā)生的次數(shù)為m，那么m/n稱為隨機事件A的頻率（frequency）；當試驗重復(fù)數(shù)n逐漸增大時，隨機事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，那么就把p稱為隨機事件A的概率。,下一張,主頁,退出,上一張,這樣定義的概率稱為統(tǒng)計概率（statisticsprobability），或者稱后驗概率（posteriorprobability）。例如為了確定拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上這個事件的概率，歷史上有人作過成千上萬次拋擲硬幣的試驗。在表4-1中列出了他們的試驗記錄。,下一張,主頁,退出,上一張,表4-1拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗記錄,下一張,主頁,退出,上一張,從

8、表4-1可看出，隨著實驗次數(shù)的增多，正面朝上這個事件發(fā)生的頻率越來越穩(wěn)定地接近0.5，我們就把0.5作為這個事件的概率。在一般情況下，隨機事件的概率p是不可能準確得到的。通常以試驗次數(shù)n充分大時隨機事件A的頻率作為該隨機事件概率的近似值。即P（A）=pm/n（n充分大）（4-1）,下一張,主頁,退出,上一張,（二）概率的古典定義對于某些隨機事件，用不著進行多次重復(fù)試驗來確定其概率，而是根據(jù)隨機事件本身的特性直接計算其概率。有很多隨機試驗具有以下特征：1、試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，即樣本空間中的基本事件只有有限個；2、各個試驗的可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即所有基本事件的發(fā)生是等可能的；3、試

9、驗的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。,下一張,主頁,退出,上一張,具有上述特征的隨機試驗，稱為古典概型（classicalmodel）。對于古典概型，概率的定義如下：設(shè)樣本空間由n個等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個基本事件，則事件A的概率為m/n，即P（A）=m/n(4-2),下一張,主頁,退出,上一張,這樣定義的概率稱為古典概率(classicalprobability)或先驗概率(priorprobability)。【例4.1】在編號為1、2、3、10的十頭豬中隨機抽取1頭，求下列隨機事件的概率。（1）A=“抽得一個編號4”；（2）B=“抽得一個編號是2的倍數(shù)”。因為該試驗樣本空間由

10、10個等可能的基本事件構(gòu)成，即n=10,而事件A所包含的基本事件有4個，即抽得編號為1，2，3，4中的任何一個，事件A便發(fā)生，于是mA=4，所以,下一張,主頁,退出,上一張,P(A)=mA/n=4/10=0.4同理，事件B所包含的基本事件數(shù)mB=5，即抽得編號為2，4，6，8，10中的任何一個，事件B便發(fā)生，故P(B)=mB/n=5/10=0.5。【例4.2】在N頭奶牛中，有M頭曾有流產(chǎn)史，從這群奶牛中任意抽出n頭奶牛，試求:(1)其中恰有m頭有流產(chǎn)史奶牛的概率是多少？(2)若N=30，M=8，n=10，m=2，其概率是多少？,下一張,主頁,退出,上一張,我們把從有M頭奶牛曾有流產(chǎn)史的N頭奶牛

11、中任意抽出n頭奶牛，其中恰有m頭有流產(chǎn)史這一事件記為A，因為從N頭奶牛中任意抽出n頭奶牛的基本事件總數(shù)為；事件A所包含的基本事件數(shù)為；因此所求事件A的概率為：,下一張,主頁,退出,上一張,將N=30，M=8，n=10，m=2代入上式，得=0.0695即在30頭奶牛中有8頭曾有流產(chǎn)史，從這群奶牛隨機抽出10頭奶牛其中有2頭曾有流產(chǎn)史的概率為6.95%。,下一張,主頁,退出,上一張,（三）概率的性質(zhì)1、對于任何事件A，有0P（A）1；2、必然事件的概率為1，即P（）=1；3、不可能事件的概率為0，即P（）=0。,三、小概率事件實際不可能性原理隨機事件的概率表示了隨機事件在一次試驗中出現(xiàn)的可能性大小

12、。若隨機事件的概率很小，例如小于0.05、0.01、0.001，稱之為小概率事件。,下一張,主頁,退出,上一張,小概率事件雖然不是不可能事件，但在一次試驗中出現(xiàn)的可能性很小，不出現(xiàn)的可能性很大，以至于實際上可以看成是不可能發(fā)生的。在統(tǒng)計學(xué)上，把小概率事件在一次試驗中看成是實際不可能發(fā)生的事件稱為小概率事件實際不可能性原理，亦稱為小概率原理。小概率事件實際不可能性原理是統(tǒng)計學(xué)上進行假設(shè)檢驗（顯著性檢驗）的基本依據(jù)。,下一張,主頁,退出,上一張,第二節(jié)概率分布,事件的概率表示了一次試驗?zāi)骋粋€結(jié)果發(fā)生的可能性大小。若要全面了解試驗，則必須知道試驗的全部可能結(jié)果及各種可能結(jié)果發(fā)生的概率，即必須知道隨機

13、試驗的概率分布(probabilitydistribution)。為了深入研究隨機試驗，我們先引入隨機變量(randomvariable)的概念。,下一張,主頁,退出,上一張,一、隨機變量作一次試驗，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變量x的取值范圍，則試驗結(jié)果可用變量x來表示?！纠?.3】對100頭病畜用某種藥物進行治療，其可能結(jié)果是“0頭治愈”、“1頭治愈”、“2頭治愈”、“”、“100頭治愈”。若用x表示治愈頭數(shù)，則x的取值為0、1、2、100。,下一張,主頁,退出,上一張,【例4.4】孵化一枚種蛋可能結(jié)果只有兩種，即“孵出小雞”與“未孵出小雞”。若用變量x

14、表示試驗的兩種結(jié)果，則可令x=0表示“未孵出小雞”，x=1表示“孵出小雞”。【例4.5】測定某品種豬初生重，表示測定結(jié)果的變量x所取的值為一個特定范圍(a,b)，如0.5-1.5kg，x值可以是這個范圍內(nèi)的任何實數(shù)。,下一張,主頁,退出,上一張,如果表示試驗結(jié)果的變量x，其可能取值至多為可列個，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱x為離散型隨機變量(discreterandomvariable)；如果表示試驗結(jié)果的變量x，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且x在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時，其概率是確定的，則稱x為連續(xù)型隨機變量(continuousrandomvariable)。,下一張,

15、主頁,退出,上一張,二、離散型隨機變量的概率分布要了解離散型隨機變量x的統(tǒng)計規(guī)律，就必須知道它的一切可能值xi及取每種可能值的概率pi。如果我們將離散型隨機變量x的一切可能取值xi(i=1,2,)，及其對應(yīng)的概率pi，記作P(x=xi)=pii=1,2,(4-3)則稱（4-3）式為離散型隨機變量x的概率分布或分布。常用分布列(distributionseries)來表示離散型隨機變量：,下一張,主頁,退出,上一張,x1x2xn.p1p2pn顯然離散型隨機變量的概率分布具有pi0和pi=1這兩個基本性質(zhì)。三、連續(xù)型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量(如體長、體重、蛋重)的概率分布不能用分布列來表示

16、，因為其可能取的值是不可數(shù)的。我們改用隨機變量x在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率P(axb)來表示。下面通過頻率分布密度曲線予以說明。,下一張,主頁,退出,上一張,由表2-7作126頭基礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布直方圖，見圖4-1，圖中縱座標取頻率與組距的比值?？梢栽O(shè)想，如果樣本取得越來越大(n+)，組分得越來越細(i0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個穩(wěn)定值概率。這時，頻率分布直方圖各個直方上端中點的聯(lián)線頻率分布折線將逐漸趨向于一條曲線，換句話說，當n+、i0時，頻率分布折線,下一張,主頁,退出,上一張,的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線。對于樣本是取自連續(xù)型隨機變量的情況，這條函數(shù)曲線將是光滑的。這條曲線排除了

17、抽樣和測量的誤差，完全反映了基礎(chǔ)母羊體重的變動規(guī)律。這條曲線叫概率分布密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)叫概率分布密度函數(shù)。,下一張,主頁,退出,上一張,(4-4)式為連續(xù)型隨機變量x在區(qū)間a,b）上取值概率的表達式?？梢?，連續(xù)型隨機變量的概率由概率分布密度函數(shù)確定。圖4-1表2-7資料的分布曲線,若記體重概率分布密度函數(shù)為f(x)，則x取值于區(qū)間a,b）的概率為圖中陰影部分的面積，即P(axb)=(4-4),連續(xù)型隨機變量概率分布的性質(zhì)：1、分布密度函數(shù)總是大于或等于0，即f(x)0；2、當隨機變量x取某一特定值時，其概率等于0；即(c為任意實數(shù))因而，對于連續(xù)型隨機變量，僅研究其在某一個區(qū)間內(nèi)取值的概率

18、，而不去討論取某一個值的概率。,下一張,主頁,退出,上一張,3、在一次試驗中隨機變量x之取值必在-x+范圍內(nèi)，為一必然事件。所以(4-5)(4-5)式表示分布密度曲線下、橫軸上的全部面積為1。,下一張,主頁,退出,上一張,第三節(jié)正態(tài)分布,正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機變量的概率分布。生物現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。許多統(tǒng)計分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實際應(yīng)用中，均占有重要的地位。,下一張,主頁,退出,上一張,一、正態(tài)分布的定義及其特征（一）正態(tài)分布的定義若連續(xù)型

19、隨機變量x的概率分布密度函數(shù)為(4-6)其中為平均數(shù)，2為方差，則稱隨機變量x服從正態(tài)分布(normaldistribution)，記為xN(,2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為(4-7),下一張,主頁,退出,上一張,分布密度曲線如圖4-2所示。(二)正態(tài)分布的特征1、正態(tài)分布密度曲線是單峰、對稱的懸鐘形曲線，對稱軸為x=；2、f(x)在x=處達到極大，極大值;3、f(x)是非負函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-至+；,下一張,主頁,退出,上一張,4、曲線在x=處各有一個拐點，即曲線在(-,-)和(+,+)區(qū)間上是下凸的，在-,+區(qū)間內(nèi)是上凸的；5、正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即平均數(shù)和標準差。是位置參數(shù)，如圖4

20、-3所示。當恒定時，愈大，則曲線沿x軸愈向右移動；反之，愈小，曲線沿x軸愈向左移動。是變異度參數(shù)，如圖4-4所示。當恒定時，愈大，表示x的取值愈分散，曲線愈“胖”；愈小，x的取值愈集中在附近，曲線愈“瘦”。,下一張,主頁,退出,上一張,6、分布密度曲線與橫軸所夾的面積為1，即：,下一張,主頁,退出,上一張,二、標準正態(tài)分布由上述正態(tài)分布的特征可知，正態(tài)分布是依賴于參數(shù)和2(或)的一簇分布，正態(tài)曲線之位置及形態(tài)隨和2的不同而不同。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難，需將一般的N(，2)轉(zhuǎn)換為=0,2=1的正態(tài)分布。,我們稱=0,2=1的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布(standardnormaldistr

21、ibution)。標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作(u)和(u)，由(4-6)及(4-7)式得：(4-8)(4-9)隨機變量u服從標準正態(tài)分布，記作uN(0，1)，分布密度曲線如圖45所示。,下一張,主頁,退出,上一張,對于任何一個服從正態(tài)分布N(,2)的隨機變量x，都可以通過標準化變換：u=(x-)/(4-10)將其變換為服從標準正態(tài)分布的隨機變量u。u稱為標準正態(tài)變量或標準正態(tài)離差(standardnormaldeviate)。,下一張,主頁,退出,上一張,三、正態(tài)分布的概率計算（一）標準正態(tài)分布的概率計算設(shè)u服從標準正態(tài)分布，則u在u1,u2）何內(nèi)取值的概率為：(u2)(u1

22、)(4-11)而(u1)與(u2)可由附表1查得。,下一張,主頁,退出,上一張,例如，u=1.75，1.7放在第一列0.05放在第一行。在附表1中，1.7所在行與0.05所在列相交處的數(shù)值為0.95994，即(1.75)=0.95994有時會遇到給定(u)值，例如(u)=0.284，反過來查u值。這只要在附表1中找到與0.284最接近的值0.2843，對應(yīng)行的第一列數(shù)-0.5，對應(yīng)列的第一行數(shù)值0.07，即相應(yīng)的u值為u=-0.57，即(-0.57)=0.284如果要求更精確的u值，可用線性插值法計算。,下一張,主頁,退出,上一張,由(4-11)式及正態(tài)分布的對稱性可推出下列關(guān)系式，再借助附表

23、1，便能很方便地計算有關(guān)概率：P(0uu1)(u1)-0.5P(uu1)=(-u1)P(uu1)=2(-u1)(4-12)P(uu11-2(-u1)P(u1uu2)(u2)-(u1),下一張,主頁,退出,上一張,【例4.6】已知uN(0，1)，試求：(1)P(u-1.64)?(2)P(u2.58)=?(3)P(u2.56)=?(4)P(0.34u1.53)=?,下一張,主頁,退出,上一張,利用(4-12)式，查附表1得：(1)P(u-1.64)=0.05050(2)P(u2.58)=(-2.58)=0.024940(3)P(u2.56)=2(-2.56)=20.005234=0.010468(

24、4)P(0.34u1.53)=(1.53)-(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389,下一張,主頁,退出,上一張,關(guān)于標準正態(tài)分布，以下幾種概率應(yīng)當熟記：P（-1u1）=0.6826P（-2u2）=0.9545P（-3u3）=0.9973P（-1.96u1.96）=0.95P(-2.58u2.58)=0.99圖46標準正態(tài)分布的三個常用概率,下一張,主頁,退出,上一張,u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為：P(u1)=2(-1)=1-P(-1u1)=1-0.6826=0.3174P(u2)=2(-2)=1-P（-2u2）=1-0.9545=0.0455P(u3)=1-0.99

25、73=0.0027P(u1.96)=1-0.95=0.05P(u2.58)=1-0.99=0.01,下一張,主頁,退出,上一張,（二）一般正態(tài)分布的概率計算正態(tài)分布密度曲線和橫軸圍成的一個區(qū)域，其面積為1，這實際上表明了“隨機變量x取值在-與+之間”是一個必然事件，其概率為1。若隨機變量x服從正態(tài)分布N(,2)，則x的取值落在任意區(qū)間x1,x2）的概率，記作P(x1xx2)，等于圖47中陰影部分曲邊梯形面積。即：,下一張,主頁,退出,上一張,(4-13)對(4-13)式作變換u=(x-)，得dx=du，故有其中，,下一張,主頁,退出,上一張,這表明服從正態(tài)分布N(,2)的隨機變量x在x1，x2

26、）內(nèi)取值的概率，等于服從標準正態(tài)分布的隨機變量u在(x1-)/,(x2-)/）內(nèi)取值的概率。因此，計算一般正態(tài)分布的概率時，只要將區(qū)間的上下限作適當變換(標準化)，就可用查標準正態(tài)分布的概率表的方法求得概率了。,下一張,主頁,退出,上一張,【例4.7】設(shè)x服從=30.26,2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64x32.98)。令則u服從標準正態(tài)分布，故=P(-1.69u0.53)=(0.53)-(-1.69)=0.7019-0.04551=0.6564,下一張,主頁,退出,上一張,關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個概率(即隨機變量x落在加減不同倍數(shù)區(qū)間的概率)是經(jīng)常用到的。,P(-x+)=0.6

27、826P(-2x+2)=0.9545P(-3x+3)=0.9973P(-1.96x+1.96)=0.95P(-2.58x+2.58)=0.99,上述關(guān)于正態(tài)分布的結(jié)論，可用一實例來印證。從圖2-7可以看出，126頭基礎(chǔ)母羊體重資料的次數(shù)分布接近正態(tài)分布，現(xiàn)根據(jù)其平均數(shù)=52.26(kg)，標準差S=5.10(kg)，算出平均數(shù)加減不同倍數(shù)標準差區(qū)間內(nèi)所包括的次數(shù)與頻率，列于表4-2。,下一張,主頁,退出,上一張,表4-2126頭基礎(chǔ)母羊體重在kS區(qū)間內(nèi)所包括的次數(shù)與頻率,下一張,主頁,退出,上一張,由表4-2可見，實際頻率與理論概率相當接近，說明126頭基礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布接近正態(tài)分布，

28、從而可推斷基礎(chǔ)母羊體重這一隨機變量很可能是服從正態(tài)分布的。生物統(tǒng)計中，不僅注意隨機變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標準差區(qū)間(-k,+k)之內(nèi)的概率而且也很關(guān)心x落在此區(qū)間之外的概率。我們把隨機變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標準差區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率(兩尾概率)，記作。,下一張,主頁,退出,上一張,對應(yīng)于雙側(cè)概率可以求得隨機變量x小于-k或大于+k的概率，稱為單側(cè)概率(一尾概率),記作2。例如，x落在(-1.96，+1.96)之外的雙側(cè)概率為0.05，而單側(cè)概率為0.025。即P(x-1.96=P(x+1.96)=0.025雙側(cè)概率或單側(cè)概率如圖4-8所示。x落在(-2.58，+2.58)之外

29、的雙側(cè)概率為0.01，而單側(cè)概率P(x-2.58)=P(x+2.58)=0.005,下一張,主頁,退出,上一張,附表2給出了滿足P(u)=的雙側(cè)分位的數(shù)值。因此，只要已知雙側(cè)概率的值，由附表2就可直接查出對應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)，查法與附表1相同。例如，已知uN(0,1)試求：(1)P(u-)+P(u)=0.10的(2)P(-u=0.86的因為附表2中的值是：,下一張,主頁,退出,上一張,所以（1)P(u-)+P(u)=1-P(-u=0.10=由附表2查得：=1.644854(2)P(-u)=0.86，=1-P(-u)=1-0.86=0.14由附表2查得：=1.475791對于xN(,2)，只要將其轉(zhuǎn)

30、換為uN(0,1),即可求得相應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)。,下一張,主頁,退出,上一張,【例4.8】已知豬血紅蛋白含量x服從正態(tài)分布N(12.86，1.332)，若P(x)=0.03,P(x)=0.03,求,。由題意可知，2=0.03,=0.06又因為P(x)=故P(x)+P(x)=P(u-)+P(u),下一張,主頁,退出,上一張,=1-P(-u)=0.06=由附表2查得：=1.880794,所以(-12.86)/1.33=-1.880794(-12.86)/1.33=1.880794即10.36，15.36。,下一張,主頁,退出,上一張,第四節(jié)二項分布,一、貝努利試驗及其概率公式將某隨機試驗重復(fù)進行n次

31、，若各次試驗結(jié)果互不影響，即每次試驗結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結(jié)果，則稱這n次試驗是獨立的。對于n次獨立的試驗，如果每次試驗結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對立事件A與之一，在每次試驗中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0p1)，因而出現(xiàn)對立事件的概率是1-p=q，則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重貝努利試驗，簡稱貝努利試驗(Bernoullitrials)。,下一張,主頁,退出,上一張,在生物學(xué)研究中，我們經(jīng)常碰到的一類離散型隨機變量，如入孵n枚種蛋的出雛數(shù)、n頭病畜治療后的治愈數(shù)、n尾魚苗的成活數(shù)等，可用貝努利試驗來概括。在n重貝努利試驗中，事件A可能發(fā)生0，1，2，n次，現(xiàn)在我們來求事件A恰好發(fā)生k(0kn

32、)次的概率Pn(k)。先取n=4，k=2來討論。在4次試驗中，事件A發(fā)生2次的方式有以下種：,下一張,主頁,退出,上一張,其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗發(fā)生；(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次試驗不發(fā)生。由于試驗是獨立的，按概率的乘法法則，于是有P()=P()=P()=P()P()P()P()=又由于以上各種方式中，任何二種方式都是互不相容的，按概率的加法法則，在4次試驗中，事件A恰好發(fā)生2次的概率為,下一張,主頁,退出,上一張,P4(2)=P()+P()+P()=一般，在n重貝努利試驗中，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為k=0,1,2，n(4-14)若把(4-

33、14)式與二項展開式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于展開式中的第k+1項，所以也把(4-14)式稱作二項概率公式。,下一張,主頁,退出,上一張,二、二項分布的意義及性質(zhì)二項分布定義如下：設(shè)隨機變量x所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,，n，且有k=0,1,2，n其中p0，q0，p+q=1，則稱隨機變量x服從參數(shù)為n和p的二項分布(binomialdistribution),記為xB(n,p)。,下一張,主頁,退出,上一張,二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布。參數(shù)n稱為離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)，它能取0與1之間的任何數(shù)值(q由p確定，故不是另

34、一個獨立參數(shù))。容易驗證，二項分布具有概率分布的一切性質(zhì)，即：1、P(x=k)=Pn(k)(k=0,1,，n)2、二項分布的概率之和等于1，即,下一張,主頁,退出,上一張,3、(4-15)4、(4-16)5、（m1m2）(4-17)二項分布由n和p兩個參數(shù)決定：1、當p值較小且n不大時，分布是偏倚的。但隨著n的增大，分布逐漸趨于對稱，如圖4-9所示；,下一張,主頁,退出,上一張,2、當p值趨于0.5時，分布趨于對稱，如圖4-10所示；3、對于固定的n及p，當k增加時，Pn(k)先隨之增加并達到其極大值，以后又下降。此外，在n較大，np、nq較接近時，二項分布接近于正態(tài)分布；當n時，二項分布的極

35、限分布是正態(tài)分布。,下一張,主頁,退出,上一張,三、二項分布的概率計算及應(yīng)用條件【例4.9】純種白豬與純種黑豬雜交，根據(jù)孟德爾遺傳理論，子二代中白豬與黑豬的比率為31。求窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬的概率。根據(jù)題意，n=10，p=3/4=0.75，q=1/4=0.25。設(shè)10頭仔豬中白色的為x頭，則x為服從二項分布B(10，0.75)的隨機變量。于是窩產(chǎn)10頭仔豬中有7頭是白色的概率為：,下一張,主頁,退出,上一張,【例4.10】設(shè)在家畜中感染某種疾病的概率為20，現(xiàn)有兩種疫苗，用疫苗A注射了15頭家畜后無一感染，用疫苗B注射15頭家畜后有1頭感染。設(shè)各頭家畜沒有相互傳染疾病的可能，問：應(yīng)該如何評

36、價這兩種疫苗?假設(shè)疫苗A完全無效，那么注射后的家畜感染的概率仍為20，則15頭家畜中染病頭數(shù)x=0的概率為,下一張,主頁,退出,上一張,同理，如果疫苗B完全無效，則15頭家畜中最多有1頭感染的概率為由計算可知，注射A疫苗無效的概率為0.0352，比B疫苗無效的概率0.1671小得多。因此，可以認為A疫苗是有效的，但不能認為B疫苗也是有效的。,下一張,主頁,退出,上一張,【例4.11】仔豬黃痢病在常規(guī)治療下死亡率為20，求5頭病豬治療后死亡頭數(shù)各可能值相應(yīng)的概率。設(shè)5頭病豬中死亡頭數(shù)為x，則x服從二項分布B(5,0.2)，其所有可能取值為0，1，5，按(4-6)式計算概率，用分布列表示如下：01

37、23450.32770.40960.20480.05120.00640.0003,下一張,主頁,退出,上一張,二項分布的應(yīng)用條件有三：（1）各觀察單位只具有互相對立的一種結(jié)果，如陽性或陰性，生存或死亡等，屬于二項分類資料；（2）已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡)的概率為p，其對立結(jié)果的概率則為1-P=q，實際中要求p是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值；（3）n個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨立，即每個觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。,下一張,主頁,退出,上一張,四、二項分布的平均數(shù)與標準差統(tǒng)計學(xué)證明，服從二項分布B(n,p)的隨機變量之平均數(shù)、標準差與參數(shù)n、p有如下關(guān)系：當試驗結(jié)果以事

38、件A發(fā)生次數(shù)k表示時=np(4-18)=(4-19),下一張,主頁,退出,上一張,【例4.12】求【例4.11】平均死亡豬數(shù)及死亡數(shù)的標準差。以p=0.2,n=5代入(4-18)和(4-19)式得：平均死亡豬數(shù)=50.20=1.0(頭)標準差=0.894(頭),當試驗結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率k/n表示時(4-20)(4-21)也稱為總體百分數(shù)標準誤，當p未知時，常以樣本百分數(shù)來估計。此時(4-21)式改寫為：=(4-22)稱為樣本百分數(shù)標準誤。,下一張,主頁,退出,上一張,第五節(jié)波松分布,波松分布是一種可以用來描述和分析隨機地發(fā)生在單位空間或時間里的稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量

39、n必須很大。在生物、醫(yī)學(xué)研究中，服從波松分布的隨機變量是常見的。如，一定畜群中某種患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)，畜群中遺傳的畸形怪胎數(shù)，每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計數(shù)器小方格中血球數(shù)，單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)等，都是服從波松分布的。,下一張,主頁,退出,上一張,一、波松分布的意義若隨機變量x(x=k)只取零和正整數(shù)值0，1，2，且其概率分布為，k=0，1，(4-23)其中0；e=2.7182是自然對數(shù)的底數(shù)，則稱x服從參數(shù)為的波松分布(Poissonsdistribution)，記為xP()。,下一張,主頁,退出,上一張,波松分布重要的特征：平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)，即=2=【

40、例4.13】調(diào)查某種豬場閉鎖育種群仔豬畸形數(shù)，共記錄200窩，畸形仔豬數(shù)的分布情況如表4-3所示。試判斷畸形仔豬數(shù)是否服從波松分布。,下一張,主頁,退出,上一張,表4-3畸形仔豬數(shù)統(tǒng)計分布樣本均數(shù)和方差S2計算結(jié)果如下：=fk/n=(1200+621+152+23+14)/200=0.51,下一張,主頁,退出,上一張,=0.51，S2=0.52,這兩個數(shù)是相當接近的，因此可以認為畸形仔豬數(shù)服從波松分布。,下一張,主頁,退出,上一張,是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。值愈小分布愈偏倚，隨著的增大，分布趨于對稱(如圖4-11所示)。當=20時分布接近于正態(tài)分布；當=50時，可以認為波松分布呈正態(tài)分布。所

41、以在實際工作中，當20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。,二、波松分布的概率計算由(4-23)式可知，波松分布的概率計算，依賴于參數(shù)的確定，只要參數(shù)確定了，把k=0，1，2，代入(4-23)式即可求得各項的概率。但是在大多數(shù)服從波松分布的實例中，分布參數(shù)往往是未知的，只能從所觀察的隨機樣本中計算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為的估計值，將其代替(4-23)式中的，計算出k=0，1，2，時的各項概率。,下一張,主頁,退出,上一張,如【例4.13】中已判斷畸形仔豬數(shù)服從波松分布，并已算出樣本平均數(shù)=0.51。將0.51代替公式（4-23）中的得：(k=0,1,2,)因為e-0.51=1.6653

42、，所以畸形仔豬數(shù)各項的概率為：P(x=0)=0.510/(0!1.6653)=0.6005P(x=1)=0.511/(1!1.6653)=0.3063P(x=2)=0.512/(2!1.6653)=0.0781,下一張,主頁,退出,上一張,P(x=3)=0.513(3!1.6653)=0.0133P(x=4)=0.514(4!1.6653)=0.0017把上面各項概率乘以總觀察窩數(shù)(n=200)即得各項按波松分布的理論窩數(shù)。波松分布與相應(yīng)的頻率分布列于表4-7中。,下一張,主頁,退出,上一張,表4-4畸形仔豬數(shù)的波松分布將實際計算得的頻率與根據(jù)=0.51的泊松分布計算的概率相比較，發(fā)現(xiàn)畸形仔豬

43、的頻率分布與=0.51的波松分布是吻合得很好的。這進一步說明了畸形仔豬數(shù)是服從波松分布的。,下一張,主頁,退出,上一張,【例4.14】為監(jiān)測飲用水的污染情況，現(xiàn)檢驗?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細菌數(shù)，共得400個記錄如下：試分析飲用水中細菌數(shù)的分布是否服從波松分布。若服從，按波松分布計算每毫升水中細菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將頻率分布與波松分布作直觀比較。,下一張,主頁,退出,上一張,經(jīng)計算得每毫升水中平均細菌數(shù)=0.500,方差S2=0.496。兩者很接近，故可認為每毫升水中細菌數(shù)服從波松分布。以=0.500代替（4-23）式中的，得(k=0,1,2)計算結(jié)果如表4-5所示。,下一張,主頁,退出,上一張

44、,表4-5細菌數(shù)的波松分布可見細菌數(shù)的頻率分布與=0.5的波松分布是相當吻合的，進一步說明用波松分布描述單位容積(或面積)中細菌數(shù)的分布是適宜的。,下一張,主頁,退出,上一張,注意，二項分布的應(yīng)用條件也是波松分布的應(yīng)用條件。比如二項分布要求n次試驗是相互獨立的，這也是波松分布的要求。然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因為首例發(fā)生之后可成為傳染源，會影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合波松分布的應(yīng)用條件。對于在單位時間、單位面積或單位容積內(nèi)，所觀察的事物由于某些原因分布不隨機時，如細菌在牛奶中成集落存在時，亦不呈波松分布。,下一張,主頁,退出,上一張,前面討論的三個重要的概率分布中，前一個屬連續(xù)

45、型隨機變量的概率分布，后兩個屬離散型隨機變量的概率分布。三者間的關(guān)系如下：對于二項分布，在n,p0，且np=(較小常數(shù))情況下，二項分布趨于波松分布。在這種場合，波松分布中的參數(shù)用二項分布的np代之；在n,p0.5時，二項分布趨于正態(tài)分布。在這種場合，正態(tài)分布中的、2用二項分布的np、npq代之。在實際計算中，當p0.1且n很大時，二項分布可由波松分布近似；當p0.1且n很大時，二項分布可由正態(tài)分布近似。,下一張,主頁,退出,上一張,對于波松分布，當時，波松分布以正態(tài)分布為極限。在實際計算中，當20(也有人認為6)時，用波松分布中的代替正態(tài)分布中的及2，即可由后者對前者進行近似計算。,下一張,

46、主頁,退出,上一張,第六節(jié)樣本平均數(shù)的抽樣分布,研究總體與從中抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計學(xué)的中心內(nèi)容。對這種關(guān)系的研究可從兩方面著手，一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布(samplingdistribution)的問題；二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計推斷(statisticalinference)問題。,下一張,主頁,退出,上一張,統(tǒng)計推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。為了能正確地利用樣本去推斷總體，并能正確地理解統(tǒng)計推斷的結(jié)論，須對樣本的抽樣分布有所了解。我們知道，由總體中隨機地抽取若干個體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計量(如，S)也將隨樣本的不同而有所不同，因

47、而樣本統(tǒng)計量也是隨機變量，也有其概率分布。我們把統(tǒng)計量的概率分布稱為抽樣分布。,下一張,主頁,退出,上一張,一、樣本平均數(shù)抽樣分布由總體隨機抽樣(randomsampling)的方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩種。前者指每次抽出一個個體后，這個個體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個體不返置回原總體。對于無限總體，返置與否都可保證各個體被抽到的機會相等。對于有限總體，就應(yīng)該采取返置抽樣，否則各個體被抽到的機會就不相等。,下一張,主頁,退出,上一張,設(shè)有一個總體，總體平均數(shù)為,方差為2，總體中各變數(shù)為x，將此總體稱為原總體。現(xiàn)從這個總體中隨機抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為?？梢栽O(shè)想，從原總體

48、中可抽出很多甚至無窮多個含量為n的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù)相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機抽樣造成的，稱為抽樣誤差(samplingerror)。顯然，樣本平均數(shù)也是一個隨機變量，其概率分布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體。,下一張,主頁,退出,上一張,其平均數(shù)和標準差分別記為和。是樣本平均數(shù)抽樣總體的標準差，簡稱標準誤(standarderror)，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。統(tǒng)計學(xué)上已證明總體的兩個參數(shù)與x總體的兩個參數(shù)有如下關(guān)系：=，(4-24),下一張,主頁,退出,上一張,設(shè)有一個N=4的有限總

49、體，變數(shù)為2、3、3、4。根據(jù)=x/N和2=(x-)2/N求得該總體的、2、為：=3,2=1/2,=0.707,下一張,主頁,退出,上一張,從有限總體作返置隨機抽樣，所有可能的樣本數(shù)為Nn其中n為樣本含量。以上述總體而論，如果從中抽取n=2的樣本，共可得42=16個樣本；如果樣本含量n為4，則一共可抽得44=256個樣本。分別求這些樣本的平均數(shù)，其次數(shù)分布如表4-6所示。根據(jù)表4-6，在n=2的試驗中，樣本平均數(shù)抽樣總體的平均數(shù)、方差與標準差分別為：,下一張,主頁,退出,上一張,=4/16=1/4=(1/2)/2=,下一張,主頁,退出,上一張,表4-6N=4,n=2和n=4時的次數(shù)分布,下一張

50、,主頁,退出,上一張,同理，可得n=4時：這就驗證了=，的正確性。若將表4-6中兩個樣本平均數(shù)的抽樣總體作次數(shù)分布圖，則如圖4-12所示。,下一張,主頁,退出,上一張,由以上模擬抽樣試驗可以看出，雖然原總體并非正態(tài)分布，但從中隨機抽取樣本，即使樣本含量很小(n=2,n=4)，樣本平均數(shù)的分布卻趨向于正態(tài)分布形式。隨著樣本含量n的增大，樣本平均數(shù)的分布愈來愈從不連續(xù)趨向于連續(xù)的正態(tài)分布。比較圖4-12兩個分布，在n由2增到4時，這種趨勢表現(xiàn)得相當明顯。當n30時,的分布就近似正態(tài)分布了。X變量與變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩個定理說明：,下一張,主頁,退出,上一張,1.若隨機變量x服從正態(tài)分布N(,2)；、，是由x總體得來的隨機樣本，則統(tǒng)計量=x/n的概率分布也是正態(tài)分布，且有=，即服從正態(tài)分布N(,2/n)。