1、 跳板中力學(xué)問題的分析與探究跳板中力學(xué)問題的分析與探究 基于兩種力學(xué)模型的分析基于兩種力學(xué)模型的分析 2017 年 1 月 1 日 組 號(hào)： group11 小組成員： 吳新（20152211310072） 廖祺（20152211310071） 崔彬（20152211310075） 劉陽（20152211310105） 葉好（20142211310113） 指導(dǎo)老師： 李李 目目 錄錄 第第 1 篇篇 問題背景及描述問題背景及描述. 1 第第 2 篇篇 解決思路與方法解決思路與方法. 2 2.1 根據(jù)所學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的力學(xué)分析模型 .2 2.2 不計(jì)跳板質(zhì)量，將運(yùn)動(dòng)員視為剛體時(shí)，運(yùn)動(dòng)員 沖擊

2、跳板時(shí)，試求跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力 .3 2.3 如考慮跳板質(zhì)量，試計(jì)算跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力 .7 第第 3 篇篇 結(jié)論與分析結(jié)論與分析. 9 第第 4 篇篇 心得與體會(huì)心得與體會(huì). 10 附錄附錄 1 結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器介紹結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器介紹 附錄附錄 2 小組成員分工小組成員分工 - 1 - 第 1 篇 問題背景及描述 關(guān)于跳水運(yùn)動(dòng)的歷史，在倫敦大不列顛的博物館里，陳列著公 元前 500 年的一只陶質(zhì)酒杯， 杯上繪有一個(gè)人正勇敢地從船舷上跳入 海中，這是至今所見跳水運(yùn)動(dòng)最古老的物證之一。中國早在宋代（公 元 9601275 年）就有了跳水活動(dòng)，并且有一定的技術(shù)水平。斯堪的 納維亞半島、地中海、紅海一

3、帶的碼頭工人、船工、漁民在 17 世紀(jì) 就盛行從懸崖陡壁或固定的建筑物上跳水， 并逐漸發(fā)展到現(xiàn)代的跳臺(tái) 和跳板跳水。（如圖 1所示） 現(xiàn)代的競(jìng)技性跳水運(yùn)動(dòng)，在 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初出現(xiàn)于歐洲。 1904 年第 3 屆奧運(yùn)會(huì)將跳水列為比賽項(xiàng)目，1908 年第 4 屆奧運(yùn)會(huì)確 定了正式比賽規(guī)則，1912 年第 5 屆奧運(yùn)會(huì)又增加了女子跳水項(xiàng)目， 從此跳水運(yùn)動(dòng)在世界各國都開展起來。目前，世界性的大型比賽，除 奧運(yùn)會(huì)之外，還有世界錦標(biāo)賽和世界杯賽。 當(dāng)今世界跳水運(yùn)動(dòng)的水平，以中國、美國、俄羅斯、德國處于領(lǐng) 先地位。 圖 1 - 2 - 第 2 篇 解決思路與方法 duraflex的maxifle

4、x model b 跳水板是奧林匹克跳水比賽和國際 級(jí)跳水比賽唯一指定使用的產(chǎn)品，它的具體尺寸如圖所示，其中橫截 面尺寸為 b=0.5m，h=0.05m，跳板的彈性模量 e=70gpa，比重 =25kn/m3，a=3.2m，l=1.6m。運(yùn)動(dòng)員從跳板上上躍至距地面最高點(diǎn) 后落至跳板端點(diǎn) c，再從跳板上彈起至空中完成動(dòng)作后落水。若運(yùn)動(dòng) 員體重 g=700n，最大彈跳高度 h=0.6m，取 g=9.8m/s2。（如圖 2 所 示） 2.1 2.1 根據(jù)所學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的力學(xué)分析模型根據(jù)所學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的力學(xué)分析模型 模型一： 模型二： 圖 2 靜定結(jié)構(gòu) 超靜定結(jié)構(gòu) - 3 - 2.2 2.2

5、不計(jì)跳板質(zhì)量，將運(yùn)動(dòng)員視為剛體時(shí)，運(yùn)動(dòng)員沖擊跳板時(shí)，不計(jì)跳板質(zhì)量，將運(yùn)動(dòng)員視為剛體時(shí)，運(yùn)動(dòng)員沖擊跳板時(shí)， 試求跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力試求跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力 知識(shí)回顧三類動(dòng)荷問題 （1） 一般加速度運(yùn)動(dòng)構(gòu)件問題， 包括等加速直線運(yùn)動(dòng)和等角速轉(zhuǎn) 動(dòng)；（加速度可求，用動(dòng)靜法解。） （2）構(gòu)件受劇烈變化的沖擊荷載作用； （加速度不易求，材料的 力學(xué)性質(zhì)變化較大，用能量法簡(jiǎn)化求解。） （3）疲勞問題。（應(yīng)力作周期變化，相關(guān)規(guī)范。） 注：?jiǎn)栴}(1)、(2)通常仍使用靜荷載問題的計(jì)算公式 ，但需作相 應(yīng)的動(dòng)荷修正，即 stdd k，（ d 是動(dòng)荷應(yīng)力， st 為靜荷應(yīng)力，kd 為動(dòng)荷因數(shù)。） 計(jì)算公式：1、等加

6、速直線運(yùn)動(dòng)： g a k1 d ； 2、沖擊作用：(1)自由落體： st d h k 2 11； (2)起重機(jī)突然停止： st d g v k 2 1; (3)水平?jīng)_擊： st d g v k 2 。 解：將運(yùn)動(dòng)員視為剛體，沖擊時(shí)的動(dòng)荷載因數(shù)為 st d h k 2 11 。 首先采用模型一（靜定結(jié)構(gòu)）進(jìn)行求解： - 4 - 求解靜荷作用時(shí)的撓度 st，方法有如下三種： 方法一：采用撓度的基本公式 ei xm)( i: 111 x l ga xmei)( ii: 122 gxxmei)( )( 1 2 1 1 2 11 cx l ga ei )( 3 2 1 3 2 22 cgxei )(2

7、6 1 211 3 11 cxcx l ga ei )(4 6 1 423 3 22 cxcgxei 對(duì)（2）令 x1=0,得 c2=0， 令 x1=l,其中 c2=0，可得 6 1 gal c, 由 a 點(diǎn)兩側(cè)轉(zhuǎn)角大小相等，聯(lián)立（1）（3）可得 32 1 0 62 1 2 1 2 3 2 3 2 gal gac gal l l ga cga 對(duì)（4）令 x2=a，則 lgagaccagalgaga 23 44 23 3 1 3 1 0 3 1 2 1 6 1 )( 故而在 g 作用下自由端的撓度為： ei lga ei ga 33 23 方法二：采用卡式第二定理： i i f v （卡式第二

8、定理：線彈性桿件或桿系的應(yīng)變能 v 對(duì)于作用在該桿件 或桿系上的某一荷載之變化率，等于與該荷載相應(yīng)的位移，稱為） - 5 - 22 12 12 00 ()() 22 la mxmx vdxdx eiei 2 1 2 2 12 00 22 la gax gxl dxdx eiei 222 22 1122 2 00 22 la g ag x dxx dx eilei 2223 66 g a lg a eiei 方法三：補(bǔ)充：運(yùn)用今后的結(jié)構(gòu)力學(xué)圖乘法求解更加快捷簡(jiǎn)便。 由實(shí)際力的彎矩圖的面積乘以其重心在單位力作用下的彎矩圖的投 影長度： 122 () 2323 gaagaa al ei 32 33

9、gaga l eiei + 靜荷作用時(shí)的撓度 32 0.03146 33 st gaga l m eiei 故 kd = 7.2565 跳板的最大靜彎矩為 2240 b mganm 在此，不做過多說 明， 今后結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的 學(xué)習(xí)中還會(huì)涉及。 23 33 vga lga geiei - 6 - 最大動(dòng)應(yīng)力為 max 78.02 b dd z m kmpa w 下面采用模型二（超靜定結(jié)構(gòu)）進(jìn)行求解： 超靜定問題在材料力學(xué)中采用變形協(xié)調(diào)方程（通過中間支座撓度為 零） lla ei gl )(3 6 2 1 )(ll ei l 3 6 f 2 2 令 21 ， )()(ll ei l lla ei

10、gl 3 6 f 3 6 22 g4f - 7 - 彎矩圖： 在求解自由端撓度撓度的時(shí)亦可采用撓度的基本的公式和卡式第 二定理， 但建議采用在今后所學(xué)的圖乘法來進(jìn)行求解， 具體過程如下， 不做詳細(xì)說明。 2.3 2.3 如考慮跳板質(zhì)量，試計(jì)算跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力如考慮跳板質(zhì)量，試計(jì)算跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力 首先對(duì)于模型一：若計(jì)算跳板自身的質(zhì)量，則由其比重 = 25kn/m3, 將其重力簡(jiǎn)化成一作用于梁上的均布荷載bhq。 - 8 - 在均布荷載作用下的彎矩圖如下圖： 在運(yùn)動(dòng)員重力作用下的彎矩圖如下圖： )( max gaa bh bh w gaqa w m zz 2 2 2 maxst, 2 6 2

11、 1 所以，由 dmaxdstmax k max dmaxstmax 2 2 6 ()71.06 2 dd z d b m kk w k agamp h a bh - 9 - 然后對(duì)于模型二的求解：（具體參見附錄 1） 第 3 篇 結(jié)論與分析 首先， 對(duì)于沖擊問題而言， 材料力學(xué)對(duì)沖擊問題作了很大的簡(jiǎn)化： 沖擊物（運(yùn)動(dòng)員）視為剛體，然后第一問將跳板進(jìn)行簡(jiǎn)化，成為工程 力學(xué)中常見的外伸梁的模型， 但在建模過程中采用了靜定結(jié)構(gòu)和超靜 定結(jié)構(gòu)兩種建模方式，因此在求解后續(xù)問題上會(huì)采用不同的解法。 再來， 在求解動(dòng)應(yīng)力的問題上， 我們直接采用 材料力學(xué) ii （孫 訓(xùn)方、方孝淑、關(guān)來泰 編）中提供的計(jì)算

12、公式：dmax=kd st。而 kd 的求解在教材中的例題已給出，可直接選用，而st則是采用靜荷載 應(yīng)力求解公式：st=mmax/wz， 需要畫出結(jié)構(gòu)的彎矩圖并找最不利荷載 位置，即彎矩最大值。而超靜定結(jié)構(gòu)的求解則采用變形協(xié)調(diào)方程進(jìn)行 求解，求解過程如下：(1)分析結(jié)構(gòu)，判定超靜定次數(shù)；(2)解除多余 約束，建立基本靜定系；(3)根據(jù)分離體的平衡條件，建立獨(dú)立的平 衡方程；(4)建立變形協(xié)調(diào)條件，求補(bǔ)充方程；(5)利用胡克定律，得 到補(bǔ)充方程；(6)聯(lián)立求解，得到多余未知力；(7)回代到平衡方程， 解得全部未知力。 最后，在考慮跳板質(zhì)量的前提下，計(jì)算跳板中的最大動(dòng)應(yīng)力時(shí)需 - 10 - 將比重

13、簡(jiǎn)化成均布荷載（注：此時(shí)可從量綱上分析來進(jìn)行簡(jiǎn)化，即將 kn/m3kn/m，顯然需要乘以一個(gè)以面積為單位的量級(jí)， 這種從量綱 的角度來進(jìn)行分析的方法在今后的學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常用到）。 至于具體的 求解過程因計(jì)算量的復(fù)雜性， 建議采用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法或采用結(jié)構(gòu)力 學(xué)求解器進(jìn)行求解。 第 4 篇 心得與體會(huì) 工程界四大力學(xué)： 理論力學(xué)著重于討論物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律； 材料力學(xué)單個(gè)桿件的為主要研究對(duì)象； 結(jié)構(gòu)力學(xué)以桿件結(jié)構(gòu)為主要研究對(duì)象； 彈性力學(xué)以實(shí)體結(jié)構(gòu)和板殼結(jié)構(gòu)為主要研究對(duì)象。 補(bǔ)充說明：在材料力學(xué)中，求解超靜定問題采用的是變形協(xié)調(diào)方 程進(jìn)行求解，待今后在結(jié)構(gòu)力學(xué)的學(xué)習(xí)中， 將會(huì)對(duì)超靜定問題的求解 方法進(jìn)行更加深入的學(xué)習(xí)（例如有力法、位移法、力矩分配法、矩陣 位移法），包括剛剛所提及的求解撓度的方法上，結(jié)構(gòu)力學(xué)中也會(huì)學(xué) 到利用圖乘法進(jìn)行求解。 土木工程土木工程 專業(yè)課專業(yè)課 數(shù)學(xué)課數(shù)學(xué)課 力學(xué)課力學(xué)課 基礎(chǔ)基礎(chǔ) 基礎(chǔ)基礎(chǔ) 基礎(chǔ)基礎(chǔ) - 11 - 附錄附錄 1 結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器介紹結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器介紹 結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器（sm solver for windows，簡(jiǎn)稱求解器）是 一個(gè)方便好用的計(jì)算機(jī)輔助分析計(jì)算軟件， 其求解內(nèi)容涵蓋了： 二維 平面結(jié)構(gòu)（體系）的幾何組成、靜定、超靜定、位移、內(nèi)力、影響線、 自由振動(dòng)、彈性穩(wěn)定、極限荷載等。對(duì)所有這些問題，求解器全