1、第4章 根軌跡法,4-1 根軌跡的基本概念 4-2 繪制根軌跡的基本法則 4-3 廣義根軌跡 4-4 系統(tǒng)性能的分析,基本要求,1.正確理解開環(huán)零、極點和閉環(huán)零、極點以及主導(dǎo)極點、偶極子等概念。 2.正確理解和熟記根軌跡方程(模方程及相角方程)。熟練運用模方程計算根軌跡上任一點的根軌跡增益和開環(huán)增益。 3.正確理解根軌跡法則，法則的證明只需一般了解，熟練運用根軌跡法則按步驟繪制反饋系統(tǒng)開環(huán)增益K從零變化到正無窮時的閉環(huán)根軌跡。 4.了解繪制廣義根軌跡的思路、要點和方法。,根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系，直接由開環(huán)傳遞函數(shù)零、極點求出閉環(huán)極點（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析與

2、設(shè)計帶來了極大的方便。,閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標(biāo)主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點在復(fù)平面的位置決定，因此，分析或設(shè)計系統(tǒng)時確定出閉環(huán)極點位置是十分有意義的。,41 根軌跡法的基本概念,當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)為正反饋時，對應(yīng)的軌跡為零度根軌跡；而負(fù)反饋系統(tǒng)的軌跡為 根軌跡。,1、根軌跡概念,例4-1,如圖所示二階系統(tǒng)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：,開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點 。 沒有零點，開環(huán)增益為K。,閉環(huán)特征方程為,閉環(huán)特征根為,閉環(huán)傳遞函數(shù)為,從特征根的表達(dá)式中看出每個特征根都隨K的變化而變化。例如，設(shè),如果把不同K值的閉環(huán)特征根布置在s平面上，并連成線，則可以畫出如圖所示系統(tǒng)的根軌跡。,穩(wěn)定性 當(dāng)K由0 ，根軌跡不會

3、進(jìn)入s右半邊，即系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 穩(wěn)態(tài)特性 坐標(biāo)原點有一個開環(huán)極點，所以屬I型系統(tǒng)，根軌跡上的 K值就是Kv。如果已知ess，則在根軌跡上可確定閉環(huán)極點取值范圍。,動態(tài)特性 當(dāng)00.5時，閉環(huán)系統(tǒng)是復(fù)極點，為欠阻尼狀態(tài)，單位 階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。,2、根軌跡與系統(tǒng)性能,3、閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關(guān)系,如圖所示系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為,（41）,將前向通道傳遞函數(shù)G（s）表示為：,（42）,為前向通道增益， 為前向通道根軌跡增益,（43）,（45）,問：f與l、q與h有什么關(guān)系？,閉環(huán)傳遞函數(shù),分別為閉環(huán)零、極點。,式中：,（46）,比較式（42）和式（46）可得出以下結(jié)論,閉環(huán)系統(tǒng)根軌

4、跡增益等于系統(tǒng)前向通道的根軌跡增益； 閉環(huán)系統(tǒng)零點由前向通道的零點和反饋通道的極點組成； 閉環(huán)系統(tǒng)的極點與開環(huán)系統(tǒng)的極點、零點以及開環(huán)根軌跡增益 有關(guān)。,根軌跡法的任務(wù)是在已知開環(huán)零、極點分布的情況下，如何通過圖解法求出閉環(huán)極點。,4、根軌跡方程,根軌跡方程 G(s)H(s)=-1 式中G(s)H(s)是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，該式明確表示出開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)極點的關(guān)系。,閉環(huán)特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-7） 閉環(huán)極點就是閉環(huán)特征方程的解，也稱為特征根。,設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)有m個零點，n個極點，并假定nm，這時根軌跡方程又可以寫成：,（48）,不難看出，式子為關(guān)于s的復(fù)數(shù)方程，因

5、此，可把它分解成模值方程和相角方程。,注意,在實際應(yīng)用中，用相角方程繪制根軌跡， 而模 值方程主要用來確定已知根軌跡上某一點的 值。,模值方程不但與開環(huán)零、極點有關(guān)，還與開環(huán)根軌跡增益有關(guān)；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關(guān)。 相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。,例4-2,它們應(yīng)滿足相角方程（49）,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù):,試證明復(fù)平面上點 是該系統(tǒng)的閉環(huán)極點。,例41開環(huán)零、極點分布圖,(k=0),以 為試驗點，可得,以 為試驗點，觀察右圖，可得,證畢,可見， 都滿足相角方程， 所以， 點是閉環(huán)極點。,例4-3,已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng) 變化時其根軌跡如圖4-2所示，求根軌跡上點 所

6、對應(yīng)的K值。,解 根據(jù)模值方程求解 值,模值方程,根據(jù)圖可得,所以,上面兩個例子說明如何應(yīng)用根軌跡方程確定復(fù)平面上一點是否是閉環(huán)極點以及確定根軌跡上一點對應(yīng)的 值。,根軌跡法可以在已知開環(huán)零、極點時，迅速求出開環(huán)增益（或其他參數(shù)）從零變到無窮時閉環(huán)特征方程所有根在復(fù)平面上的分布，即根軌跡。,返回,根軌跡起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。,法則1、根軌跡的起點與終點,由根軌跡方程有：,42 繪制根軌跡的基本法則,一、根軌跡的分支數(shù) 分支數(shù)開環(huán)極點數(shù) 開環(huán)特征方程的階數(shù),二、根軌跡對稱于實軸 閉環(huán)極點為 實數(shù)在實軸上 復(fù)數(shù)共軛對稱于實軸,法則2 根軌跡的分支數(shù)、對稱性和連續(xù)性,三、根軌跡具有連續(xù)性,法則

7、3、根軌跡的漸近線,漸近線與實軸正方向的夾角為：,漸近線與實軸相交點的坐標(biāo)為：,例4-4,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試根據(jù)法則3，求出根軌跡的漸近線。,極點,按照公式得,以下是幾種開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡漸近線,對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù),(a),(b),(c),(d),法則4、根軌跡在實軸上的分布,實軸上根軌跡區(qū)段的右側(cè)，開環(huán)零、極點數(shù)目之和應(yīng)為奇數(shù)。,證明：,設(shè)一系統(tǒng)開環(huán)零、極點分布如圖。,在實軸上任取一試驗點 代入相角方程則,所以相角方程成立，即 是根軌跡上的點。,一般，設(shè)試驗點右側(cè)有L個開環(huán)零點，h個開環(huán)極點，則有關(guān)系式,證畢,如滿足相角條件必有,所以，L-h必為奇數(shù)，當(dāng)然L+h也為奇數(shù)。,例4-5

8、,設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1),求 時的閉環(huán)根軌跡。,解：將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極點形式,最后繪制出根軌跡圖。,法則1， 兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點0、2，一條終于有限零點1，另一條趨于無窮遠(yuǎn)處。 法則2，有兩條根軌跡 法則4，在負(fù)實軸上，0到1區(qū)間和2到負(fù)無窮區(qū)間是根軌跡。,按繪制根規(guī)跡法則逐步進(jìn)行：,例44根軌跡,法則5、根軌跡的分離點與分離角,定義：幾條（兩條或兩條以上）根軌跡在s平面上相遇又分開的點。 若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)極點之間，則此二極點之間至少存在一個分離點。 若根軌跡位于實軸兩相鄰開環(huán)零點之間，則此二極點之間至少存在一個會

9、合點。,分離點的坐標(biāo)d可由下面方程求得,法則5、分離角與會合角,所謂分離角是指根軌跡離開分離點處的切線與實軸正方向的夾角。 分離角計算公式,（445）,所謂會合角是指根軌跡進(jìn)入重極點處的切線與實軸正方向的夾角。,會合角計算公式,分離角與會合角不必經(jīng)公式計算，可以用下列簡單法則來確定：,若有 條根軌跡進(jìn)入d點，必有 條根軌跡離開d點；,條進(jìn)入d點的根軌跡與 條離開d點的根軌跡相間隔；,任一條進(jìn)入d點的根軌跡與相鄰的離開d點的根軌跡方向之間的夾角為 ；,因此只要確定了d點附近的一條根軌跡的方向，由上述規(guī)律就可以方便地確定d點附近所有的根軌跡方向，而確定d點附近根軌跡方向的方法可根據(jù)法則2 、法則4

10、 或取試驗點用相角條件來驗證。,法則6、根軌跡的起始角和終止角,根軌跡的終止角是指終止于某開環(huán)零點的根軌跡在該點處的切線與水平正方向的夾角。,根軌跡的起始角是指根軌跡在起點處的切線與水平正方向的夾角。,終止角計算公式：,起始角計算公式：,例4-6,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),試?yán)L制系統(tǒng)概略根軌跡。,解 將開環(huán)零、極點畫在圖44的根平面 上，逐步畫圖：,n=2，有兩條根軌跡,兩條根軌跡分別起始于開環(huán)極點 (-1-j2), (-1+j2) ； 終于開環(huán)零點 (-2-j) ,(-2+j),確定起始角,終止角。 如圖例46所示。,例46根軌跡,例46根軌跡的起始角和終止角,例4-7,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),試

11、求閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡分離點坐標(biāo)d，并概略繪制出根軌跡圖。,解：根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)求出開環(huán)極點,按步驟： n=2,m=1,有兩條根軌跡 兩條根軌跡分別起于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點和無窮遠(yuǎn)零點 實軸上根軌跡位于有限零點1和無窮零點之間，因此判斷有分離點,離開復(fù)平面極點的初始角為,此系統(tǒng)根軌跡如圖所示,法則7、根軌跡與虛軸的交點,如根軌跡與虛軸相交，則交點上的 值和 值可用勞思判據(jù)判定，也可令閉環(huán)特征方程中的 ，然后分別令其實部和虛部為零求得。,例4-8,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。,解：按步驟畫圖,有4條根軌跡 各條根軌跡分別起于開環(huán)極點 0，-3，-1+j1, -1-j1 ；

12、終于無窮遠(yuǎn) 實軸上的根軌跡在0到-3之間 漸近線,確定分離點d,確定起始角,確定根軌跡與虛軸的交點。,閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,例47根軌跡,例4-9,已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試畫出 時的閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡，并求出 時的閉環(huán)傳遞函數(shù)及閉環(huán)極點。,解：根據(jù)根軌跡繪制法則，按步計算：,n=4，有四條根軌跡； 起始于開環(huán)極點0，-20，-2-j4, -2+j4，終于無窮遠(yuǎn)處； 實軸上的根軌跡在（0，-20）區(qū)間； n=4,m=0,則有4條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)，它們的漸近線與實軸的交點和夾角為,取,根軌跡的起始角。,分離點坐標(biāo)d。,舍,根軌跡與虛軸交點。,解得,此時特征方程為,利用綜合除法，可求出

13、其他兩個閉環(huán)極點,例49根軌跡圖,法則8、根之和與根之積,如果系統(tǒng)特征方程寫成如下形式,閉環(huán)特征根的負(fù)值之和，等于閉環(huán)特征方程第二項系數(shù) 。若 根之和與開環(huán)根軌跡增益 無關(guān)。,Tips,在開環(huán)極點已確定不變的情況下，其和為常值，因此，n-m2的系統(tǒng)，當(dāng)增益的變動使某些閉環(huán)極點在s平面上向左 移動時，則必有另一些極點向右移動，這樣才能保證極點之和為常值。這對于判斷根軌跡的走向很有意義。,閉環(huán)特征根之積乘以 ，等于閉環(huán)特征方程的常數(shù)項。,常見閉環(huán)系統(tǒng) 根軌跡圖,返回,43 廣義根軌跡,一、開環(huán)零點變化時的根軌跡,設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,令,（429）,顯然，利用式429就可以畫出關(guān)于零點變化的根軌跡

14、，它就是 廣義根軌跡。,二、開環(huán)極點變化時的根軌跡,設(shè)一負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,現(xiàn)在研究 變化的根軌跡。,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,根據(jù)上式可畫出 變化時的廣義根軌跡。,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制當(dāng)開環(huán)增益K為 時，時間常數(shù) 變化時的根軌跡。,例4-10,解： 題目顯然是求廣義根軌跡問題。,系統(tǒng)特征方程為,等效開環(huán)傳遞函數(shù)為,等效開環(huán)傳遞函數(shù)有3個零點，即0，0， -1；2個極點，不同K值可計算出不同極點。,按照常規(guī)根軌跡的繪制法則可繪制出廣義根軌跡圖。,例4-10根軌跡圖,分析復(fù)雜控制系統(tǒng)如圖，其中內(nèi)回路為正反饋。為了分析整個控制系統(tǒng)的性能，需求出內(nèi)回路的閉環(huán)零、極點。用根軌跡的方法繪制

15、正反饋系統(tǒng)的根軌跡。,三、零度根軌跡,特征方程,研究內(nèi)回路,從而相角方程及模值方程相應(yīng)為,使用常規(guī)根軌跡法繪制零度根軌跡時，對于與相角方程有關(guān)的某些法則要修改,實軸上某一區(qū)域，若其右方開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。 根軌跡的漸近線,根軌跡的起始角與終止角,分離角與會合角,例4-11,正反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4-23所示，,試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益 變化時的根軌跡。,其中,解：,該系統(tǒng)是正反饋系統(tǒng)。,當(dāng) 變化時的根軌跡是零度根軌跡。利用零度根軌跡法則繪制該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。,終止于開環(huán)零點,實軸根軌跡在 區(qū)間內(nèi)。,起始于開環(huán)極點,例4-11根軌跡圖,返回,44 系統(tǒng)性能的分析

16、,主要任務(wù)：,一、用閉環(huán)零、極點表示的階躍響應(yīng)表達(dá)式,階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為：,設(shè)輸入為單位階躍：r(t)=1(t),有：,假設(shè)(s)中無重極點，上式分解為部分分式,將C(s)表達(dá)式進(jìn)行拉式反變換得：,（474）,從上式看出，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)將由閉環(huán)極點及系數(shù)決定，而系數(shù)也與閉環(huán)零、極點分布有關(guān)。,二、閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系,快速性,閉環(huán)極點遠(yuǎn)離虛軸；,小，閉環(huán)極點之間間距大,零點與極點間間距小。,三、主導(dǎo)極點和偶極子,主導(dǎo)極點：就是對動態(tài)過程影響占主導(dǎo)地位的極點，一般是離虛軸最近的極點。,偶極子：就是一對靠得很近的閉環(huán)零、極點。,四、利用主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的性能指標(biāo),既然主導(dǎo)

17、極點在動態(tài)過程中起主要作用，那么，計算性能指標(biāo)時，在一定條件下就可以只考慮暫態(tài)分量中主導(dǎo)極點對應(yīng)的分量，將高階系統(tǒng)近似看做一、二階系統(tǒng)，直接應(yīng)用第三章中計算性能指標(biāo)的公式和曲線。,例4-12,試近似計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo) 。,解： 這是三階系統(tǒng)，有三個閉環(huán)極點 其零、極點分布如圖所示。,某系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,極點 離虛軸最近，所以系統(tǒng)的主導(dǎo)極點為 ，而其他兩個極點可以忽略。,這時系統(tǒng)可以看做是一階系統(tǒng)。 傳遞函數(shù)為 式中：T=0.67s 根據(jù)時域分析可知 一階系統(tǒng)無超調(diào)， 調(diào)節(jié)時間,例4-13,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) 試估計系統(tǒng)的性能指標(biāo)。,解：,閉環(huán)零、極點分布如圖所示,系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng),對應(yīng)

18、性能指標(biāo),例4-14,已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并計算閉環(huán)主導(dǎo)極點具有阻尼比0.5時的性能指標(biāo)。,解：,按步驟作出系統(tǒng)的根軌跡，如圖所示。,分析系統(tǒng)穩(wěn)定性,在平面上畫出 時的阻尼線。阻尼線與根軌跡交點的坐標(biāo)設(shè)為 ，從圖上測得 ，與之共軛的復(fù)數(shù)極點為 。,已知系統(tǒng)閉環(huán)特征方程及兩個極點，用長除法求出第三個極點 。,使系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍是,系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為二階系統(tǒng),二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的性能指標(biāo)：,例4-15 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。試畫出當(dāng) 由 時的閉環(huán)根軌跡，并分析 對系統(tǒng)動態(tài)過程的影響。,解：,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有兩個極點0，2；有一個零點4。 此類帶零點的二階系統(tǒng)的根軌跡，其復(fù)數(shù)部分為一個圓，其圓心在開環(huán)零點處，半徑為零點到分離點的距離。 根軌跡如圖所示。,當(dāng)開環(huán)增益在（00.686）內(nèi)，閉環(huán)為兩個負(fù)實數(shù)極點，系統(tǒng)在階躍信號下響應(yīng)為非周期的。 當(dāng)開環(huán)增益在（0.68623.4）內(nèi)，閉環(huán)為一對共軛復(fù)數(shù)極點，其階躍響應(yīng)為振蕩衰減過程。,系統(tǒng)根軌跡分離點,對應(yīng)開環(huán)增益,過原點做與根軌跡圓相切的直線，此切線與負(fù)實軸夾角的余弦即為系統(tǒng)的阻尼比。,3.當(dāng)開環(huán)增益在 內(nèi)，閉環(huán)又為負(fù)實數(shù)極點，其階躍響應(yīng)又為非周期的。,對應(yīng)閉環(huán)極點,例416,單位反饋系統(tǒng)