1、營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處（概念及處理問題的思想方法）又有許多本質(zhì)的不同，要善于進行比較，既要認識到它們的共同點和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問題，深刻理解，融會貫通。,多元函數(shù)微分學(xué),在上冊中，我們討論的是一元函數(shù)微積分，但實際問題中常會遇到依賴于兩個以上自變量的函數(shù)多元函數(shù)，也提出了多元微積分問題。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,重點,多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，多元函數(shù)極值。,難點,復(fù)合函數(shù)求

2、導(dǎo)，多元函數(shù)極值。,函數(shù)的微分法從一元函數(shù)發(fā)展到 二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但 從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推， 因此這里基本上只討論二元函數(shù)。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（1）鄰域,（2）區(qū)域,一、多元函數(shù)的概念,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例如，,即為開集,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例如，,例如，,連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,有界閉域；,無界開區(qū)域,（3）聚點,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,說明：, 內(nèi)點一定是聚點；, 邊界點可能是聚點；,例,(0,0

3、)既是邊界點也是聚點, 點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E,例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合,例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（4）n維空間,說明：, n維空間的記號為, n維空間中兩點間距離公式,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,特殊地當(dāng) 時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離, n維空間中鄰域、區(qū)域等概念,鄰域：,內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義,設(shè)兩點為,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（5）二元函數(shù)的定義,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例1

4、求 的定義域,解,所求定義域為,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（6） 二元函數(shù) 的圖形,（如右圖）,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二、多元函數(shù)的極限,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（1）定義中 的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似 如局部有界性、局部保號性、夾逼準則、無窮小、 等價無窮小代

5、換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。,說明：,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證,當(dāng) 時，,原結(jié)論成立,例2 求證,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例3 求極限,解,其中,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例4 證明 不存在,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,確定極限不存在的方法：,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,利用點函數(shù)的形式有,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,三、多元函數(shù)的連續(xù)性,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,取,當(dāng)

6、 時,故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).,例6 討論函數(shù),在(0,0)的連續(xù)性,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,取,其值隨k的不同而變化，,極限不存在,故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù),閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（1）最大值和最小值定理,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（2）介值定理,在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次,多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元

7、初等函數(shù),一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,多元函數(shù)的定義,多元函數(shù)極限的概念,（注意趨近方式的任意性）,多元函數(shù)連續(xù)的概念,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),四、小結(jié),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,不能.,例,取,但是 不存在.,原因為若取,思考題解答,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí) 題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群

8、 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,先回憶一下一元復(fù)合函數(shù)的微分法則,則復(fù)合函數(shù),對 x 的導(dǎo)數(shù)為,這一節(jié)我們將把這一求導(dǎo)法則推廣到多元函數(shù)的情形，主要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。我們知道，求偏導(dǎo)數(shù)與求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上并沒有區(qū)別，對一元函數(shù)適用的微分法包括復(fù)合函數(shù)的微分法在內(nèi)，在多元函數(shù)微分法中仍然適用，那么為什么還要介紹多元,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法呢？,這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù),如,由于 f 沒有具體給出,一元復(fù)合函數(shù)的微分法則就無能為力

9、了，為此還要介紹多元復(fù)合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一、鏈式法則,證,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.,如,以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù).,上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,鏈式法則如圖示,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,稱為標(biāo)準法則或,這個公式的特征：,函數(shù),有兩個自變量 x 和 y,故法則中包含,兩個公式；,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 5435

10、6621,由于在復(fù)合過程中有兩個中間變量 u 和 v,故法則中每一個公式都是兩項之和，這兩項分別含有,每一項的構(gòu)成與一元復(fù)合函數(shù)的鏈導(dǎo)法則類似，,即“函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)”,多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則簡言之即：,“分道相加，連線相乘”,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,特殊地,其中,即,令,兩者的區(qū)別,區(qū)別類似,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,注,此公式可以推廣到任意多個中間變量和任意多個自變量的情形,如,則,從以上推廣中我們可以得出：所有公式中兩兩乘積的項數(shù)等于中間變量的個數(shù)，而與自變量的個數(shù)

11、無關(guān),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題,這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導(dǎo)數(shù)，既是重點又是難點。對求導(dǎo)公式不求強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾點將會有助于領(lǐng)會和理解公式，在解題時自如地運用公式,用圖示法表示出函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,函數(shù)對某個自變量的偏導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu),（項數(shù)及項的構(gòu)成）,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,仍是復(fù)合函數(shù),且復(fù)合結(jié)構(gòu)與原來的 f ( u , v ) 完全相同,即仍是以 u , v 為中間變量，以 x , y 為自變量的復(fù)合函數(shù),因此求它們關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)時必須使鏈式法則,營口地區(qū)成人高等教育

12、QQ群 54356621,求抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，一定要設(shè)中間變量,注意引用這些公式的條件,外層函數(shù)可微（偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)）,內(nèi)層函數(shù)可導(dǎo),的合并問題,視題設(shè)條件,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,解,由鏈式法則,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,故,同理可得,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,令,記,同理有,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,于是,二、全微分形式不變性,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,全微分形式不變形的實質(zhì)： 無論 是自變量 的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它

13、的全微分形式是一樣的.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的過程中，不論變量間的關(guān)系如何錯綜復(fù)雜，都可以不加辨認和區(qū)分，而一律作為自變量來處理,且作微分運算的結(jié)果對自變量的微分,來說是線性的,從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例5 設(shè),各函數(shù)滿足求導(dǎo)條件,求,解一,變量間的關(guān)系如下圖所示,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,這里變量間的關(guān)系比較混亂,用全微分來解,由全微分定理,注意到 x , z 是獨立自變量,解二,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,由全微分定義,

14、注,解法二在實際計算中顯得十分靈便且不易出錯,故,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,三、小結(jié),1、鏈式法則（分三種情況）,（特別要注意課中所講的特殊情況）,2、全微分形式不變性,（理解其實質(zhì)）,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí) 題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人

15、高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,偏 導(dǎo) 數(shù),我們已經(jīng)知道一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個很重要的概念，是研究函數(shù)的有力工具，它反映了該點處函數(shù)隨自變量變化的快慢程度。對于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率問題。雖然多元函數(shù)的自變量不止一個，但實際問題常常要求在其它自變量不變的條件下，只考慮函數(shù)對其中一個自變量的變化率，因此這種變化率依然是一元函數(shù)的變化率問題，這就是偏導(dǎo)數(shù)概念，對此給出如下定義。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356

16、621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,偏導(dǎo)數(shù)的求法,由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法,求 時把 y 視為常數(shù)而對 x 求導(dǎo),求 時把 x 視為常數(shù)而對 y 求導(dǎo),這仍然是一元函數(shù)求導(dǎo)問題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,如 在 處,偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一般地 設(shè),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,證,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,原結(jié)論成立,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,不存在,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356

17、621,證,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：,、,、,求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；,計算 f x (x0 ,y0 ) 時可先將 y = y0 代入 f (x ,y ),再對 x 求導(dǎo)然后代入 x = x0,計算 f y (x0 ,y0 ) 時同理,解,3、,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,4、,偏導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)仍是一元函數(shù)求導(dǎo)問題，具體求導(dǎo)時要弄清是對哪個變量求導(dǎo)，其余均視為常量，但由于變量較多，易產(chǎn)生混亂-重要的是區(qū)分清函數(shù)的類型這是出錯的主要原因。,5、,若 f( x , y ) =f( y , x ),則稱 f( x , y

18、) 關(guān)于 x , y 具有輪換對稱性,在求 時,只需將所求的,中的 x , y 互換即可,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,6、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系,多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，,？,但函數(shù)在該點處并不連續(xù).,偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,7、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,如圖,幾何意義:,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二、高階偏導(dǎo)數(shù),純偏導(dǎo),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,混合偏導(dǎo),定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混

19、合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：,原函數(shù)圖形,偏導(dǎo)函數(shù)圖形,偏導(dǎo)函數(shù)圖形,二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,問題：,混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,三、小結(jié),偏導(dǎo)數(shù)的定義,（偏增量比的極限）,偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,高階偏導(dǎo)數(shù),純偏導(dǎo),混合偏導(dǎo),（相等的條件）,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,不能.,例如,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí)

20、題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,全 微 分,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一、全微分的定義,由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得,全增量的概念,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,全微分的定義,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,事實上,

21、二、可微的條件,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證,總成立,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,同理可得,一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在,多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在,？,例如,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,則,當(dāng) 時,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，,證,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）,同理,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,習(xí)慣上，記全微分為,通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符

22、合疊加原理,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù),疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,所求全微分,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,解,所求全微分,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證,令,則,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,同理,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,不存在.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,三、小結(jié),、多元函數(shù)全微分的概念；,、多元函數(shù)全微分的求法；,、多元函數(shù)連續(xù)、可

23、導(dǎo)、可微的關(guān)系,（注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別）,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí) 題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,一、一個方程的情形,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,令,則,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,令,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,則,營口地區(qū)成人高等教育 QQ

24、群 54356621,解,令,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,則,思路：,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,令,則,整理得,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,整理得,整理得,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二、方程組的情形,1、對于方程組,怎樣求偏導(dǎo)數(shù),首先應(yīng)明確這個方程組確定了幾個幾元隱函數(shù),當(dāng) x 給定以后相當(dāng)于解含關(guān)于 y , z 的方程組,如果有解且唯一則對于不同的 x 就完全確定了y , z,故方程組確定了兩個一元隱函數(shù)y=y(x),z=z(x),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,若,則,怎樣求,兩邊對 x

25、 求導(dǎo),注意左邊是復(fù)合函數(shù)（三個中間變量），,同理,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,2、,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解1,直接代入公式；,解2,運用公式推導(dǎo)的方法，,將所給方程的兩邊對 求導(dǎo)并移項,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,將所給方程的兩邊對 y 求導(dǎo)，用同樣方法得,注,這組公式不太好記，具體做題時應(yīng)用的是其基本思想,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,關(guān)于隱函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù),以,為例，,主要有三種方法：,公式法,類似地可求得,

26、直接法,方程兩邊連續(xù)求導(dǎo)兩次,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解得：,兩種方法相比，法二較簡便，因為可避免商的求導(dǎo)運算，尤其是在求指定點的二階偏導(dǎo)數(shù)時，毋須解出一階偏導(dǎo)數(shù)而是將其具體數(shù)值代入即可求得二階偏導(dǎo)數(shù)，使運算大為簡化。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,則,這樣一次就可求得全部的一階偏導(dǎo)數(shù)。,全微分法,利用全微分形式不變性，在所給的方程兩邊直接 求全微分,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,三、小結(jié),隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,（分以下幾種情況）,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考

27、題解答,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí) 題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,多元函數(shù)極值,一、多元函數(shù)的極值和最值,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,1、二元函數(shù)極值的定義,(1),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,(2),(3),2、多元函數(shù)取得極值的條件,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證,營口地區(qū)成人高等

28、教育 QQ群 54356621,仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的駐點.,注意：,駐點,極值點,問題：如何判定一個駐點是否為極值點？,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,3、多元函數(shù)的最值,與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.,求最值的一般方法,設(shè) f ( x , y ) 在D上連續(xù)，D內(nèi)可微且在D內(nèi)至多有有限個駐點,這時若 f ( x , y ) 在D內(nèi)取得最值,則這個最值也一定是極

29、值,將函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.,故一般方法是,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,在實際問題中，往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部確有最大值（最小值），這時如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個駐點，則可以斷定該點處的函數(shù)值就是函數(shù)在區(qū)域上的最大值（最小值）,解,如圖,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,由,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.,二、條件極值與拉格朗

30、日乘數(shù)法,條件極值：對自變量有附加條件的極值,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一些較簡單的條件極值問題可以把它轉(zhuǎn)化為無條件極值來求解降元法，但這種方法需要經(jīng)過解方程和代入的手續(xù)，對于較復(fù)雜的方程就不容易作到，有時甚至是不可能的,解決條件極值問題的一般方法是,Lagrange乘數(shù)法升元法,求 z = f ( x , y ),其幾何意義是,其中點 ( x , y ) 在曲線 L 上,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,假定點P (x0 , y0 ) 為條件極值點,在(x0 , y0 ) 的某個鄰域內(nèi),且不同時為0,f( x

31、 , y )可微,確定了一個隱函數(shù)y = y(x),故 z= f x , y(x)在P(x0 , y0)處取得極值,故,即,又由隱函數(shù)的微分法知,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,代入上式,P (x0 ,y0 )為條件極值點的必要條件為,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例4,解一,設(shè)內(nèi)接于橢球且各面平行于坐標(biāo)面的長方體在第一卦限的頂點的坐標(biāo)為( x , y , z ),則長方體的體積為V=8xyz,令,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解得,或,兩式相除,

32、同理,即,代入解得,三式相加得,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解二,任意固定 z0 (0 z0 c ),先在所有高為2 z0 的長方體中求體積最大者,因為高是固定的，故當(dāng)?shù)酌娣e最大時體積最大,今上底面為內(nèi)接于橢圓,邊平行于 x,y 軸的長方形,當(dāng)長方形的邊長分別為,（一元函數(shù)極值問題）,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,長方形面積最大,得到高為 2z0 的長方體中最大體積為,V( z0 ) 最大,這時長方體在第一卦限的頂點的坐標(biāo)為,解三,作變換,問題變成在,下求 XYZ 的最大值,易知為立方體,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,解四,即求,的最

33、大值,而此三個正數(shù)的和一定（=1）,當(dāng),積最大,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,即,可得,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例6,解,令D為平面 x + y + z = m 在第一卦限的部分,由于在D的邊界上，總有 u = 0 而在D內(nèi)有u 0 且u 在D上連續(xù)，故必存在 最大值，且一定在D內(nèi)取得,另一方面,由于 u 和 lnu 在D內(nèi)有相同的極值點,故問題轉(zhuǎn)化為求lnu 在條件 x + y + z = m 下的極值。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,令

34、,則,與 x + y + z = m 聯(lián)立解得,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,注,若一元函數(shù) f(u) 在區(qū)間 I 上嚴格單調(diào)增,一般情形,多元函數(shù) g(P) 在區(qū)域D上有定義,則 f(u) 與復(fù)合函數(shù) f g(P) 有相同的極值點,利用這一結(jié)論可將求f g(P) 的駐點轉(zhuǎn)化為f(u) 的駐點,或相反地將求f(u) 的駐點轉(zhuǎn)化為求f g(P) 的駐點,使問題簡化,轉(zhuǎn)移大法,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,四、小結(jié),多元函數(shù)的極值,（取得極值的必要條件、充分條件）,多元函數(shù)的最值,拉格朗日乘數(shù)法,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答

35、,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí) 題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二重積分的概念和性質(zhì),在一元函數(shù)積分學(xué)中，我們已經(jīng)知道，定積分是定義在某一區(qū)間上的一元函數(shù)的某種特定形式的和式的極限，由于科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實踐的發(fā)展，需要計算空間形體的體積、曲面的面積、空間物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動慣量等，定積分已經(jīng)不能解決這類問題，另一方面，從數(shù)學(xué)邏輯思維的規(guī)律出發(fā)，必然會考慮定積分概念的推廣，從而提出了多元函數(shù)的積分學(xué)問題。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 5435

36、6621,當(dāng)人們把定積分解決問題的基本思想“分割、近似代替、求和、取極限”用于解決這類問題時發(fā)現(xiàn)是完全可行的。把解決的基本方法抽象概括出來，就得到多元函數(shù)積分學(xué)。,具體地說就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)、定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù)、定義在一段平面曲線弧上的二元函數(shù)、定義在空間一段曲線弧上的三元函數(shù)、定義在空間曲面上的三元函數(shù)，從而得到二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。這就是多元函數(shù)積分學(xué)的內(nèi)容。,本章將討論重積分，包括二重積分、三重積分的概念、性質(zhì)、計算和應(yīng)用。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,重點：重積分的計算方法，交換累次積分次序。,難點：選擇坐標(biāo)系，確定積分

37、次序，定積分限。,基本要求,理解重積分概念，了解其基本性質(zhì),熟練掌握重積分的計算方法,掌握累次積分的換序法,掌握各種坐標(biāo)系及坐標(biāo)系下的面積元、體積元,理解重積分的實際背景，能用重積分解決立體體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量等實際問題。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一、問題的提出,曲頂柱體的體積,特點：平頂.,柱體體積=？,特點：曲頂.,曲頂柱體,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,步驟如下：,用若干個小平 頂柱體體積之 和近似表示曲 頂柱體的體積，,先

38、分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，,曲頂柱體的體積,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,求平面薄片的質(zhì)量,將薄片分割成若干小塊，,取典型小塊，將其近似 看作均勻薄片，,所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二、二重積分的概念,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,積分區(qū)域,被積函數(shù),積分變量,被積表達式,面積元素,積分和,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,對二重積分定義的說明：,二重積分的幾何意義,當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積,當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值,由二重積分的定義可知,若

39、二重積分,存在,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點的取法無關(guān)，故可采用一種便于計算的劃分方式,在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的直線族把D分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠D的邊界的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，,緊靠D的邊界的小區(qū)域的面積,其中L為D的圍長,則面積元素為,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,故二重積分可寫為,三、二重積分的性質(zhì),（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）,性質(zhì),性質(zhì),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,性質(zhì),對區(qū)域具有可加性,性質(zhì),若 為D的面積，,性質(zhì),若在D上,則有,特殊地,性質(zhì),（二重積分

40、估值不等式）,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,性質(zhì),（二重積分中值定理）,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動畫演示,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 5435662

41、1,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,四、小結(jié),二重積分的定義,（和式的極限）,二重積分的幾何意義,（曲頂柱體的體積）,二重積分的性質(zhì) （與定積分類似）,思考題,將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí) 題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群

42、 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,如果積分區(qū)域為：,X型,其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).,二重積分的計算法(1),一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,如果積分區(qū)域為：,Y型,X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,

43、若區(qū)域如圖，,則必須分割.,在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式,注,）二重積分化累次積分的步驟,畫域，選序，定限,）累次積分中積分的上限不小于 下限,）二重積分化累次積分定限是關(guān)鍵，積分限要根據(jù)積分區(qū)域的形狀來確定，這首先要畫好區(qū)域的草圖，畫好圍成D的幾條邊界線，,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,若是X型，,就先 y 后 x,若是Y型，就先 x 后 y ，,注意內(nèi)層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層積分限是常數(shù)。,解,積分區(qū)域如圖,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,積分區(qū)域如圖,例3 計算,D,解一,D：,X型,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,

44、解二,D,Y型,例4 計算,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,D,Y型,I =,若先 y 后 x 由于D的下邊界曲線在 x 的不同范圍內(nèi)有不同的表達式， 須分片積分，計算較麻煩。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,由以上兩例可見，為了使二重積分的計算較為方便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的特點來確定，在積分區(qū)域的表達式中選取比較簡單的一組，從而確定相應(yīng)的公式，同時還要兼顧被積函數(shù)的特點，看被積函數(shù)對哪一個變量較容易積分，總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點。,例5 計算,解,D是X型區(qū)域,要分部積分，不易計算,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621

45、,若先 x 后 y 則須分片,易見盡管須分片積分，但由于被積函數(shù)的特點，積分相對而言也較方便。,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,原式,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,曲面圍成的立體如圖.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例12 計算,解,根據(jù)積分區(qū)域的特點,應(yīng)先對 x 后對 y 積分,但由于,對 x 的積分求不出，無法計算， 須改變積分次序。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,先 x 后 y 有,奇函數(shù),營口地區(qū)成人高

46、等教育 QQ群 54356621,化二重積分為累次積分時選擇積分次序的重要性，有些題目兩種積分次序在計算上難易程度差別不大，有些題目在計算上差別很大，甚至有些題目對一種次序能積出來，而對另一種次序卻積不出來,另外交換累次積分的次序：先由累次積分找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。,以上各例說明,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二、小結(jié),二重積分在直角坐標(biāo)下的計算公式,X型,Y型,（在積分中要正確選擇積分次序）,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí) 題

47、,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二重積分的計算法（2）,一、利用極坐標(biāo)系計算二重積分,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖 極點在區(qū)域之外,區(qū)域特征如圖,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖（極點在D的邊界上）,注意內(nèi)

48、下限未必全為0,二重積分化為二次積分的公式（）,區(qū)域特征如圖 （極點在D的內(nèi)部）,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例7 計算,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 Q

49、Q群 54356621,思考題,二、小結(jié),二重積分在極坐標(biāo)下的計算公式,（在積分中注意使用對稱性）,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練 習(xí) 題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,無 窮 級 數(shù),從18世紀以來，無窮級數(shù)就被認為是微積分的一個不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表

50、示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項級數(shù)和兩類重要的函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)和三角級數(shù)，主要圍繞三個問題展開討論：級數(shù)的收斂性判定問題，把已知函數(shù)表示成級數(shù)問題，級數(shù)求和問題。,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,重點,級數(shù)的斂散性，常數(shù)項級數(shù)審斂法，冪級數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier 展開式；,難點,常數(shù)項級數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級數(shù)的直接法和間接法， Fourier 展開，級數(shù)求和；,基本要求,掌握級數(shù)斂散性概念和性質(zhì),掌握正項級數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法,掌握交錯級數(shù)的Leibniz審斂法,營口

51、地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,掌握絕對收斂和條件收斂概念,掌握冪級數(shù)及主要性質(zhì)，會求收斂半徑和收斂區(qū)間，會求簡單的冪級數(shù)的和函數(shù),熟記五個基本初等函數(shù)的 Taylor 級數(shù)展開式及其收斂半徑,掌握 Fourier 級數(shù)概念，會熟練地求出各種形式的Fourier 系數(shù),掌握奇、偶函數(shù)的 Fourier 級數(shù)的特點及如何將函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù),營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一、問題的提出,1. 計算圓的面積,正六邊形的面積,正十二邊形的面積,正 形的面積,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二、級數(shù)的概念,1. 級數(shù)的定義:,一般項,(常數(shù)項)無

52、窮級數(shù),級數(shù)的部分和,部分和數(shù)列,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散:,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,余項,無窮級數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.,做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對 稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長無限的圖形“Koch雪花”,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,第 次分叉：,周長為,面積為,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,于是有,

53、雪花的面積存在極限（收斂）,結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,收斂,發(fā)散,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,發(fā)散,發(fā)散,綜上,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,三、基本性質(zhì),結(jié)論: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), 斂散性不變.,結(jié)論: 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證明,類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證明,注意,收斂級數(shù)去括弧后所成

54、的級數(shù)不一定收斂.,收斂,發(fā)散,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,若記,則加括號后級數(shù)成為,的部分和記為,則,由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知,存在，,必定存在,存在,未必存在,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,四、收斂的必要條件,級數(shù)收斂的必要條件:,證明,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,注意,1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;,發(fā)散,2.必要條件不充分.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,討論,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,2項,2項,4項,8項,項,由性質(zhì)4推論,調(diào)和級數(shù)發(fā)散.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 543

55、56621,由定積分的幾何意義,這塊面積顯然大于定積分,就是圖中 n 個矩形的面積之和,即,故調(diào)和級數(shù)發(fā)散,調(diào)和級數(shù)的部分和,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,五、小結(jié),常數(shù)項級數(shù)的基本概念,基本審斂法,思考題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,能由柯西審斂原理即知,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,觀察雪花分形過程,第一次分叉：,依次類推,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,1,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,2,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,3,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621

56、,4,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,5,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,練習(xí)題答案,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,常數(shù)項級數(shù)審斂法,在研究級數(shù)時，中心問題是判定級數(shù)的斂散性，如果級數(shù)是收斂的，就可以對它進行某些運算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個特殊的級數(shù)，在一般情況下，直接考察級數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級數(shù)的斂散性，這些方法稱為審斂法,對常數(shù)項

57、級數(shù)將分為正項級數(shù)和任意項級數(shù)來討論,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一、正項級數(shù)及其審斂法,1.定義:,這種級數(shù)稱為正項級數(shù).這種級數(shù)非常重要，以后我們將會看到許多級數(shù)的斂散性判定問題都可歸結(jié)為正項級數(shù)的收斂性問題,2.正項級數(shù)收斂的充要條件:,部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列.,定理,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,3.比較審斂法,證明,即部分和數(shù)列有界,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,不是有界數(shù)列,定理證畢.,比較審斂法的不便:,須有參考級數(shù).,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,由圖可知,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356

58、621,重要參考級數(shù): 幾何級數(shù), P-級數(shù), 調(diào)和級數(shù).,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因為它需要建立定理所要求的不等式，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法,證明,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,4.比較審斂法的極限形式:,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證明,由比較審斂法的推論, 得證.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,原級數(shù)發(fā)散.,故原級數(shù)收斂.,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,證明,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,收斂,發(fā)散,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,比值審斂法的優(yōu)點:,不必找參考級數(shù).直接從級數(shù)本身的構(gòu)成即通項來判定其斂散性,兩點注意:,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,比值審斂法失效, 改用比較審斂法,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例5,解,而,對,由檢比法得,收斂,故由比較審斂法知,收斂,營口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,例6,解,由檢比法得,級數(shù)收