1、電動力學(xué)習(xí)題課（一） Feb 20th, 2009 1特特特殊殊殊函函函數(shù)數(shù)數(shù)與與與愛愛愛因因因斯斯斯坦坦坦求求求和和和約約約定定定 1)Kronecker delta函數(shù)ij: ij= 1i = j 0i 6= j (1.1) 2)Levi-civita張量ijk: ijk= 1ijk是偶置換，即ijk = 123,231,312 1ijk是奇置換，即ijk = 213,132,321 0otherwise (1.2) 3)愛因斯坦求和約定：公式中重復(fù)指標(biāo)自動求和，略去求和號。 3 X i=1 AiBi AiBi(1.3) 注注注意意意：以上的定義只適用于平直空間，而不適用于彎曲空間（廣義相

2、對論考慮的空間）。 Levi-civita張量的性質(zhì)： Levi-civita張量對于下標(biāo)反稱：ijk= jik 下標(biāo)重復(fù)，Levi-civita張量為0：iik= 0 單重求和：ijkmnk= imjn injm fl fl fl fl imin jmjn fl fl fl fl 兩重求和：ijkmjk= imjj ijjm= 3im im= 2im 三重求和：ijkijk= 2ii= 6 2標(biāo)標(biāo)標(biāo)量量量，矢矢矢量量量和和和張張張量量量的的的引引引入入入 2.1定定定義義義 討論物理量是標(biāo)量還是矢量的大前提是物理規(guī)律的協(xié)協(xié)協(xié)變變變性性性，即描述物理規(guī)律的方程在慣性系變 換下形式不變。 由于運

3、動總是在四維時空中進行，所以不妨設(shè)四維空間慣性系的變換為： x0= ax(2.1) 那么物理量可按如下分類： 1 標(biāo)量C：不同慣性系變換下的不變量。 矢量A：由四個分量組成，且不同慣性系變換下按如下方式變換的量：A0= aA 二階張量 T：由十六個分量組成，不同慣性系變換下按如下方式變換的量：T0 = aaT 類似可以知道n階張量的定義。 注注注意意意：這里所提到的慣性系之間的變換并沒有特指某種坐標(biāo)變換，比如說伽利略變換或者洛倫 茲變換。 2.2從從從伽伽伽利利利略略略變變變換換換到到到洛洛洛倫倫倫茲茲茲變變變換換換 在19世紀末，很多人都認為經(jīng)典力學(xué)是完美的，這是因為經(jīng)典力學(xué)的基本方程Lag

4、ranges Equa- tion在伽利略變換下是協(xié)變的。 我們首先來驗證這一點。為了簡單，我們考慮下面的變換： x0=x + vt t0=t (2.2) 從Eq.(2.2)可以得到： x0 = x (2.3) t0 =v x + t (2.4) 進一步，可得： x0 t0 = x t (2.5) 注注注意意意：Eq.(2.5)并不表示不同參考系下的速度相等，因為速度是位移對時間的全微分。 又經(jīng)典力學(xué)的時間觀是絕對的，其數(shù)學(xué)表示為： d dt0 = d dt (2.6) 綜合Eq.(2.3,2.5,2.6)可知： d dt0 (L 0 x0 ) L0 x0 = d dt( L x ) L x

5、= 0(2.7) Eq.(2.7)說明Lagranges Equation在變換Eq.(2.2)下是協(xié)變的。 然而由麥克斯韋方程組推出的達朗貝爾方程： 2 00 2 t2 = 0 (2.8) 顯然在伽利略變換下是不協(xié)變的，那么現(xiàn)在的問題就是如果承認伽利略變換，麥克斯韋方程組 就是錯誤的；如果承認麥克斯韋方程組，伽利略變換就是不正確的。Einstein選擇了后者，用洛 倫茲變換取代伽利略變換作為慣性系之間變換，進而建立了狹義相對論。 也許你會問：四維時空除了上面兩類變換，還有別的變換么？ 幸運的是數(shù)學(xué)上可以嚴格證明R4只有兩種微分結(jié)構(gòu)。 2 3正正正交交交曲曲曲線線線坐坐坐標(biāo)標(biāo)標(biāo)系系系 3.1基

6、基基本本本概概概念念念 定定定義義義：三維空間R3，如果p R3，一組獨立、連續(xù)、單值函數(shù)： u1= f1(x,y,z),u2= f2(x,y,z),u3= f3(x,y,z)(3.1) 并且其反函數(shù) x = 1(u1,u2,u3), y = 2(u1,u2,u3), z = 3(u1,u2,u3)(3.2) 也獨立連續(xù)單值，則稱(u1,u2,u3)為p點的曲曲曲線線線坐坐坐標(biāo)標(biāo)標(biāo)(Curvilinear Coordinates)，(u1,u2,u3)為 一一一般般般曲曲曲線線線坐坐坐標(biāo)標(biāo)標(biāo)系系系。 在曲線坐標(biāo)系中，位置矢量為 r(u1,u2,u3)，那么微分線元為： d d r = a1du

7、1+ a2du2+ a3du3(3.3) 如果 r， a1, a2, a3兩兩垂直，則稱此曲線坐標(biāo)系為正正正交交交曲曲曲線線線坐坐坐標(biāo)標(biāo)標(biāo)系系系(Orthogonal Curvilinear Coordinates)。 下面考慮正交曲線坐標(biāo)系的微分線元和基矢： d exdx + eydy + ezdz(3.4) = ex(1 1 d1+ 1 2 d2+ 1 3 d3) + ey(2 1 d1+ 2 2 d2 +2 3 d3) + ez(3 1 d1+ 3 2 d2+ 3 3 d3)(3.5) =( ex 1 i + ey 2 i + ez 3 i )di gi eidi(3.6) 其中 度量因

8、子gigi= (1 i )2+ (2 i )2+ (3 i )2 1 2 (3.7) 基矢 ei ei= 1 gi ( ex 1 i + ey 2 i + ez 3 i )(3.8) 3.2基基基矢矢矢 ei ej=ij(3.9) ei ej=ijk ek(3.10) 有了基矢的運算公式，便可以考慮矢量A = Ai ei的運算： 1)點乘(dot product): A B = AiBj ei ej= AiBi(3.11) 2)叉乘(cross product): A B = AiBj ei ej= ijkAiBj ek(3.12) 3)三重標(biāo)積(scalar triple product)：

9、 A (B C) = Am em ijkBiCj ek= ijmAmBiCj(3.13) 3 用Eq.(3.13)不難證明： A (B C) = B (C A) = C (A B)(3.14) 4)三重矢積(vector triple product): A (B C) =Am em ijkBiCj ek =AmBiCjijkmkn en =AmBiCj(injm imjn) en =AmBiCm ei AmBmCj ej =(A C)B (A B)C(3.15) 利用Eq.(3.15)不難證明： A (B C) + B (C A) + C (A B) = 0(3.16) 5)并積(dyadi

10、c product): T AB = AiBj ei ej(3.17) 我們一般稱AB為并并并矢矢矢(dyad)，一共9個分量，其中6個獨立。 兩個或兩個以上的并矢之和稱為并并并矢矢矢式式式(dyadic)，有9個獨立分量，也稱二階張量。 并并并矢矢矢相相相關(guān)關(guān)關(guān)運運運算算算: a)點乘： ei ej ek=ij ek(3.18) em ei ej ek=ij em ek(3.19) b)叉乘： ei ej ek=ijn en ek(3.20) em ei ej ek=ij em e ek(3.21) 事實上，在張量代數(shù)中只要知道了基矢的運算公式就可以計算任何矢量的運算結(jié)果了。 作為練習(xí)，大家

11、可以驗證下面的公式： a (b c)=( a b) c(3.22) (b c) a= b( c a)(3.23) a (b c)=( a b) c(3.24) (b c) a= b( c a)(3.25) c)雙點積(double dot product)： ( ei ej) : ( ek e) ( ej ek)( ei e)(3.26) 那么 A : B = (Aij ei ej) : (Bk ek e) = AijBji(3.27) 很明顯，雙點積的作用相當(dāng)于矩陣相乘再求跡(trace)。 4 3.3梯梯梯度度度 根據(jù)我們已知的直角坐標(biāo)下的運算可得： dT= T i di (T) (d)(

12、3.28) T= 1 gi T i ei(3.29) = ei 1 gi i (3.30) 雖然這里的推導(dǎo)是對于標(biāo)量T而言的，但是實際上Eq.(3.30)確是恒成立的。 綜合Eq.(3.9,3.10,3.29)可得到下面一些有用的公式： ej=gjj(3.31) em= 1 2ijmgigj(i) (j) (3.32) (i) (j)= ijk gigj ek(3.33) 細細細論論論：原則上來說，有了Eq.(3.30)以及前面張量分析的基矢運算法則，便可以計算正交曲線坐 標(biāo)系下任何形式的微分運算，但是這個過程中會涉及到聯(lián)絡(luò)的概念，比較難以計算，所以下面 來介紹一種較為簡單的算法。 = ei

13、1 gi i (3.34) 很明顯，既是矢量又是線性算符，所以計算時可以分為兩步： 1)忽略的矢量特征，僅把其當(dāng)做算符作用于函數(shù)或矢量，但要保持等式的運算順序； 2)再考慮是矢量，運用矢量公式進行計算，但要保證求導(dǎo)順序的正確。 下面來看兩個例子： (A B)=A(A B) + B(A B)(3.35) = B (A A) + (B A)A + A (B B) + (A B)B(3.36) = B ( A) + (B )A + A ( B) + (A )B(3.37) Eq.(3.35)利用了的算符特征，Eq.(3.36)利用了的矢量特性。 ( A)= ( A) + A ( A)(3.38) =

14、(A A) ( A)A(3.39) =( A) ( )A ( A) 2A(3.40) Eq.(3.38)利用了的算符特征，Eq.(3.39)利用了的矢量特性。 一般我們用Eq.(3.40)來定義矢量的Laplacian。 因為電動力學(xué)經(jīng)常碰到這類運算，所以應(yīng)該熟悉這種計算方法，作為練習(xí)，大家可以嘗試推導(dǎo) 書后附錄一中的公式。 3.4散散散度度度和和和旋旋旋度度度 散度： A= (Am em) = 1 g1g2g3 (g2g3A1) 1 + (g3g1A2) 2 + (g1g2A3) 3 (3.41) 5 旋度： A= (Am em) = 1 g1g2g3 fl fl fl fl fl fl f

15、l fl fl fl g1 e1g2 e2g3 e3 1 2 3 g1A1g2A2g3A3 fl fl fl fl fl fl fl fl fl fl (3.42) Eq.(3.41,3.42)的證明留給大家。 (提示：需要用到Eq.(3.35,3.36,3.37)。) 3.5積積積分分分 曲線積分： Z b aP (T) d = T(b) T(a)(3.43) 高斯定理： Z V ( v)d = I S v d a(3.44) 斯托克斯定理： Z S ( v) d a = I P v d(3.45) 3.6舉舉舉例例例：球球球坐坐坐標(biāo)標(biāo)標(biāo)系系系 坐標(biāo)變換： x=rsincos y=rsins

16、in z=rcos (3.46) 易求得： g1=1 g2=r g3=rsin (3.47) 將Eq.(3.47)代入Eq.(3.29,3.41,3.42)可得： T = T r er+ 1 r T e+ 1 rsin T e(3.48) A = 1 r2sin h sin (r2Ar) r + r (sinA) + r A i (3.49) A= 1 rsin h(A sin) A i er+ 1 r h 1 sin Ar (rA) r i e +1 r h(rA) r Ar i e(3.50) 下面我們來計算 v = 1 4 r r3的散度： a)當(dāng) r 6= 0時， v= 1 4 ( 1

17、 r3 ) r + 1 r3 ( r)(3.51) = 1 4 ( 3 r3 + 3 r3 ) = 0(3.52) 6 b)當(dāng) r = 0時，取球心為原點，半徑為的球形鄰域V，則 v 1 4 lim VO H S n vd V (3.53) = 1 4 lim 0+ R 2 0 d R 0 sind(r2 r r3 er) 4 3 3 = 1 4 lim 0+ 3 3 = +(3.54) 若考慮球形鄰域V內(nèi)的積分： Z V vd= I S v nd = I S 1 4 r r3 erd =1(3.55) 因此我們定義： ( r) v = 1 4 r r3 (3.56) 稱之為Dirac Del

18、ta函函函數(shù)數(shù)數(shù)。滿足： ( r) = 0 r 6= 0 + r = 0 (3.57) Z ( r)d = 1(3.58) 類似我們可以求出柱坐標(biāo)系下的算符的Eq.(3.48,3.49,3.50)。 4勢勢勢定定定理理理 4.1標(biāo)標(biāo)標(biāo)量量量勢勢勢存存存在在在定定定理理理 對于無無無旋旋旋場場場 F(Curl-less or irrotational fi elds)，下面說法等價： (a) 場的旋度處處為零，即 F = 0； (b) R b aP F d的值與積分路徑P無關(guān)； (c) 對任意閉合路徑H b aP F d = 0; (d) F可以表示為某標(biāo)量函數(shù)的梯度，即F = V ，其中V稱為標(biāo)（量）勢。 注注注意意意：標(biāo)