1、相似理論與模擬實(shí)驗(yàn)，教學(xué)對象：研究生導(dǎo)師：姚志書，2011年2月1引言1.1在不懈探索自然規(guī)律的過程中，人們首先運(yùn)用數(shù)學(xué)分析來計(jì)算和分析自然現(xiàn)象，這是人們探索自然的有力工具。然后，通過現(xiàn)場試驗(yàn)解決了一些直觀現(xiàn)象，促進(jìn)了生產(chǎn)的發(fā)展。但是自然界的現(xiàn)象畢竟是復(fù)雜的。有許多實(shí)際問題不能用高等數(shù)學(xué)完全或簡單地解決，所以人們不得不走直接實(shí)驗(yàn)的道路。然而，直接實(shí)驗(yàn)法最初被用來發(fā)現(xiàn)它有很大的局限性，因?yàn)樗荒艿玫絾蝹€(gè)量之間的規(guī)律性關(guān)系，而且很難發(fā)現(xiàn)或掌握現(xiàn)象的本質(zhì)(全部)，以致它不能推廣到實(shí)驗(yàn)條件以外的類似現(xiàn)象。然而，經(jīng)過人們長期的實(shí)踐和總結(jié)，一種指導(dǎo)自然規(guī)律研究的全新理論“相似理論”應(yīng)運(yùn)而生。它結(jié)合了數(shù)學(xué)分

2、析方法和實(shí)驗(yàn)方法的優(yōu)點(diǎn)，研究和解決生產(chǎn)和工程中的問題。這是科學(xué)研究的主要方法之一，也是解決生產(chǎn)和工程問題的有效方法。從而拓展了探索自然奧秘的領(lǐng)域。如今，隨著社會生產(chǎn)的不斷發(fā)展，各個(gè)工業(yè)部門提出的問題越來越復(fù)雜和眾多。通過數(shù)學(xué)分析(理論解)來解決這些問題越來越難了。到目前為止，有些問題還沒有得到解析解決，或者只是做了一些假設(shè)或簡化后得到了解決，這就帶來了一些誤差。為了解決生產(chǎn)和工程中的問題，人們開展了模型試驗(yàn)研究。各種研究方法的比較：理論分析有許多解析解。由于土木工程中的一些不確定因素，數(shù)值模擬分析存在一定的局限性，輸入?yún)?shù)難以準(zhǔn)確，模型簡化?，F(xiàn)場測量只在工程建設(shè)過程中進(jìn)行，投資大，周期長。模型

3、實(shí)驗(yàn)?zāi)茉佻F(xiàn)實(shí)驗(yàn)室中的現(xiàn)象，并能獨(dú)立控制實(shí)驗(yàn)中的主要因素。與現(xiàn)場測量相比，該方案可在早期進(jìn)行優(yōu)化，具有省時(shí)省力的優(yōu)點(diǎn)。1.2相似理論相似理論是解釋自然界和工程中各種相似現(xiàn)象的相似原理的理論。它的理論基礎(chǔ)是三個(gè)相似的定理。在相似理論的指導(dǎo)下，形成了一種研究自然界和工程中各種相似現(xiàn)象的新方法相似法。“相似性方法”是一種科學(xué)方法，可以將單個(gè)現(xiàn)象的研究成果擴(kuò)展到所有相似的現(xiàn)象?！澳M”通常是指在實(shí)驗(yàn)室條件下用縮小的模型(甚至在特殊情況下用放大的模型)研究現(xiàn)象?！澳M試驗(yàn)”通過人工手段再現(xiàn)自然界中的某種現(xiàn)象。模擬：(a)原型；模型。這樣，“模型測試”的概念得到了擴(kuò)展。模型試驗(yàn)是相似方法的重要組成部分。它在

4、研究中起著重要的作用。從相似理論的角度來看，“模型”是一種與物理系統(tǒng)密切相關(guān)的裝置。通過觀察和測試，可以在所需的方面準(zhǔn)確地預(yù)測系統(tǒng)的性能。這個(gè)預(yù)測的物理系統(tǒng)通常被稱為“原型”。根據(jù)這個(gè)定義，為了使用一個(gè)模型，當(dāng)然有必要滿足模型和原型之間的某種關(guān)系。這種關(guān)系稱為模型設(shè)計(jì)條件，或系統(tǒng)相似性要求。因此，相似理論和模型試驗(yàn)之間的關(guān)系非常密切，是整個(gè)問題的兩個(gè)組成部分。1.3模型試驗(yàn)的意義和當(dāng)前模型試驗(yàn)的意義可以從五個(gè)方面來解釋：模型試驗(yàn)作為一種研究手段，可以不受外界條件和自然條件的限制，嚴(yán)格控制試驗(yàn)對象的主要參數(shù)，并取得準(zhǔn)確的結(jié)果。模型試驗(yàn)有利于突出復(fù)雜試驗(yàn)過程中的主要矛盾，便于把握和發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)

5、系。有時(shí)它可以用來檢驗(yàn)原型的結(jié)論。與原型相比，模型的尺寸一般按比例縮小。因此，它便于制造和加工，節(jié)省資金、人力和時(shí)間。模型測試可以預(yù)測尚未建立或根本無法直接研究的物理對象的性能。當(dāng)不能采用其他分析方法時(shí)，模型試驗(yàn)成為現(xiàn)象相似性唯一且更重要的研究方法。目前，相似理論和模型試驗(yàn)方法已經(jīng)應(yīng)用于物理、化學(xué)、工程結(jié)構(gòu)、熱力學(xué)、氣象學(xué)、航空航天等領(lǐng)域，具有廣闊的應(yīng)用前景。1.4物理模擬和數(shù)學(xué)模擬模擬試驗(yàn)，簡而言之，就是用人工方法再現(xiàn)自然界中的某種現(xiàn)象。物理模擬是指具有相同基本現(xiàn)象的模擬，也稱為相似模擬。這時(shí)，模型和原型的所有物理量都是相同的，它們的物理本質(zhì)是一致的。唯一的區(qū)別在于物理量的不同比例。(這兩種

6、現(xiàn)象的物理量和性質(zhì)是相同的，只是大小不同)。數(shù)學(xué)模擬是指不同類型現(xiàn)象之間的模擬。此時(shí)，模型和原型的物理過程本質(zhì)上是不同的，但它們對應(yīng)的量都遵循相同的方程，具有數(shù)學(xué)上的相似性。例如，二階算子：2=的微分方程可以表示重力場、勢場、溫度場等。這時(shí)，只要人們用不同的物理量建立一對一的對應(yīng)關(guān)系，他們就可以用一種現(xiàn)象來比較另一種不同現(xiàn)象的解。在工程中，電場常用來模擬有限自由度的溫度場、材料應(yīng)力場和振動(dòng)系統(tǒng)。以單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的電氣仿真方法為例說明了這一問題。右側(cè)表示LRC串聯(lián)電路，現(xiàn)在用于模擬左側(cè)由K、M和U組成的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)。相互比較的量是：電感l(wèi)、質(zhì)量m、電阻r、阻尼u、電容c、彈簧k、外加電壓e

7、、外力f、電荷q、位移y(單位時(shí)間的電荷變化。方程和它們之間的初始相似性如下：y=y0，當(dāng)ky=F(t) t=0時(shí)。L R t=0，q=q0。因此，只要正確選擇各種物理量和初始條件，y(t)和q(t)就可以在相應(yīng)的時(shí)間內(nèi)完全按比例變化。因此，諸如位移和速度的機(jī)械量可以通過測量各種電量來轉(zhuǎn)換。類似于這種電路系統(tǒng)，當(dāng)它的適應(yīng)性很強(qiáng)時(shí)，它通常被稱為模擬計(jì)算機(jī)。(模擬系統(tǒng))。物理模擬和數(shù)學(xué)模擬有各自的特點(diǎn)。物理模擬可以再現(xiàn)特定的現(xiàn)象，并且可以比數(shù)學(xué)模擬更全面地顯示模擬的現(xiàn)象。因?yàn)閿?shù)學(xué)模擬是基于方程的，所以很容易看到各種參數(shù)對結(jié)果的影響。物理模擬試驗(yàn)：相似材料模型試驗(yàn)；光彈性模擬試驗(yàn)：其他模擬試驗(yàn)：離心

8、模型試驗(yàn)；底部摩擦模型試驗(yàn)(模擬重力場)。測試技術(shù)：光電和聲學(xué)測試系統(tǒng)：傳感器測量儀器記錄分析儀。2.2.2.1。物理量的廣義測量單位。相同的物理量有相同的維度。例如大小(長度)、力、f、時(shí)間、t，它是一種物理量，而不是一個(gè)單位。例如，長度單位是m、cm和mm，但尺寸都是l. 2.2基本尺寸和派生量力學(xué)系統(tǒng)：f、l和t是基本尺寸?；揪S度如下：(a)、獨(dú)立性(b)，完整的基本維度不是固定的，可以根據(jù)具體的研究問題來決定。一般來說，選擇f、L和T是很方便的。v=L/T導(dǎo)出維數(shù)：根據(jù)定義和規(guī)律從基本維數(shù)導(dǎo)出的維數(shù)。F=ma m=M=，導(dǎo)出維數(shù)：某個(gè)量：Q=LaFbTc M=FT2/L，則a=-1

9、b=1 c=2無量綱量：例如，應(yīng)變=L0 F T=1泊松比u無量綱量：獨(dú)立于單位，模型大小可以不同。2.3導(dǎo)數(shù)s和ds的維數(shù)都是l。t和dt的維數(shù)都是t。V=，V=a=，a=，2.4維性質(zhì)a，相同的物理量具有相同的維數(shù)，但是相同的維數(shù)具有不同的物理量。例如，應(yīng)力和彈性模量，e，b之比，以及相同尺寸的物理量是一個(gè)無量綱量，與單位無關(guān)?；境叽绲慕M合不能是無量綱量，而是基本尺寸和派生尺寸的組合對于一個(gè)完整的方程，除以方程中的任何一項(xiàng)都將成為無量綱量。例如，s=v0t L，但對于不完整的方程，例如P=0.013H(重液體公式)，則不是真的。2.6量綱分析的基本維度是：微升。例1?，F(xiàn)在我們研究一個(gè)動(dòng)態(tài)

10、問題，即M，T，V和F之間的關(guān)系，簡稱為：F=f(m，T，v) F=k，ma，tb，vc，F(xiàn)=kMaTb，F(xiàn)=M，l，T-2。兩個(gè)尺寸同例2:均布荷載下簡支梁的跨中撓度。y=f(q，EI，L)的基本維數(shù)：F-L靜力學(xué)是獨(dú)立于時(shí)間求解的。Y=l y=kqa (ei) b. LC l=kfal-a .(聯(lián)邦調(diào)查局-2b .l4b)。LC，l:1=-a-2b 4 BCF:0=a b y=k q-beibl 1-3b:d=-b y=k在第二次測試之后，解決方案是：除了導(dǎo)出相似性準(zhǔn)則之外，量綱分析還可用于：(1)導(dǎo)出無量綱量；(2)它可以簡化方程，減少許多物理量等。有許多用途。3.相似性理論3.1相似性

11、介紹兩個(gè)物理量在相應(yīng)時(shí)刻的相應(yīng)點(diǎn)是成比例的，可以稱為相似性。3.1.1幾何相似性與相應(yīng)的尺寸成比例。如果兩個(gè)三角形相似，則相應(yīng)的邊是成比例的，比例值CL稱為幾何相似常數(shù)。對應(yīng)的角度相等(角度是無量綱量)。CL1-2=相似常數(shù)相似常數(shù)在一對相似現(xiàn)象中，相同的物理量在相應(yīng)的時(shí)間保持其比值不變。=idom(相似不變量)相似不變量在相應(yīng)的點(diǎn)和時(shí)間保持相同的值。所有相似的不變量都是不變的。這是一個(gè)無量綱的量。一個(gè)現(xiàn)象中幾個(gè)量的比率在所有類似的現(xiàn)象中保持不變。在所有類似的現(xiàn)象中，某個(gè)量(無量綱綜合數(shù)組)在相應(yīng)的點(diǎn)和時(shí)間保持相同的值。梁的截面模量w=Cw=CI=C，3.1.2物理相似荷載相似模型在相應(yīng)點(diǎn)與原

12、型的相應(yīng)荷載同時(shí)成正比。(負(fù)載方向相同，大小成比例)。濃度負(fù)荷相似性：(濃度負(fù)荷相似常數(shù))。假設(shè)幾何相似常數(shù)載荷設(shè)定度相似常數(shù)cq=彎矩相似常數(shù)cm=，自重相似常數(shù)，壓力：c密度：c如果模型和原型在相應(yīng)點(diǎn)的載荷相似(成比例)，只要確定一個(gè)載荷相似常數(shù)，就可以確定其他載荷常數(shù)。彈性模量相似常數(shù)表面力：3.1.3運(yùn)動(dòng)相似時(shí)間相似：時(shí)間相似常數(shù)(距離相似)然后速度相似常數(shù)：研究動(dòng)力學(xué)和質(zhì)量相似性：對于均勻物體，密度可以用來表示：動(dòng)力學(xué)問題： f=ma . cf=cmca=c . c3l . cl . CT-2動(dòng)力學(xué)相似指數(shù)，314邊界相似力學(xué)：約束在平面應(yīng)力模型和平面應(yīng)變模型試驗(yàn)中非常重要。3.1.

13、5初始條件類似于初始條件，如運(yùn)動(dòng)學(xué)中的初始振動(dòng)階段等。3.2相似性的第一個(gè)原則是解釋相似現(xiàn)象的本質(zhì)。如果模型與原型相似，它應(yīng)該在相應(yīng)的點(diǎn)和時(shí)間具有：a .比例。變化的規(guī)律是相同的，這可以用相同的關(guān)系式來描述。對于大多數(shù)物理現(xiàn)象，關(guān)系方程可以用微分方程的形式得到，例如，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程和力學(xué)方程是：c，相似的常數(shù)值不能任意選取，它們必須服從某些自然規(guī)律的約束。讓我們以速度公式為例來詳細(xì)解釋：(1)代入相關(guān)的相似常數(shù)，我們可以得到：(2)公式(1)實(shí)際上可以用來描述兩個(gè)彼此相似的現(xiàn)象。此時(shí)，第一現(xiàn)象粒子的運(yùn)動(dòng)方程為：(3)第二現(xiàn)象粒子的運(yùn)動(dòng)方程為：(4)將方程(2)代入方程(4)，即對基本微分方程中的

14、參數(shù)進(jìn)行相似變換，我們可以得到：(5)在進(jìn)行相似變換時(shí)，為了保持基本微分方程(3)和(5)的一致性，我們需要：同時(shí)，也表明相似常數(shù)不是任意選取的，它們之間的關(guān)系服從“C值為1”的條件。換句話說，在cv、ct和CLl中，只有兩個(gè)可以任意選擇，其余的由上述公式確定。這種約束關(guān)系也可以采取另一種形式，將類似的常數(shù)C1替換為：或不變量。對于f=ma，獲?。夯虿蛔兞?。上述兩個(gè)公式的綜合數(shù)群之和是不變量，稱為相似準(zhǔn)則。應(yīng)當(dāng)指出，相似性標(biāo)準(zhǔn)的概念是“不變的”，而不是“不變的”。不變量之所以被稱為不變量，是因?yàn)橄嗨菩詼?zhǔn)則的綜合數(shù)組僅在相似現(xiàn)象的相應(yīng)點(diǎn)和矩處相等。如果用微分方程解釋的現(xiàn)象取同一現(xiàn)象的差異，其物理

15、變化過程的不穩(wěn)定性包括：因此，相似性準(zhǔn)則只能描述為不變量，而不是常數(shù)。相似性的第一個(gè)原則：兩個(gè)相似現(xiàn)象的相似性指數(shù)是1，相似性標(biāo)準(zhǔn)是相同的。相似指標(biāo)和相似現(xiàn)象的比例常數(shù)。相似性規(guī)則：相似現(xiàn)象應(yīng)該遵循的規(guī)律。相似準(zhǔn)則不同于相似常數(shù)，相似常數(shù)反映的是單個(gè)因素的共同影響，而不是單個(gè)因素的影響，能夠更清晰地顯示過程的內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)用相似性第一原理來指導(dǎo)模型研究時(shí)，重要的是首先導(dǎo)出相似性準(zhǔn)則，然后在模型試驗(yàn)中測量與相似性準(zhǔn)則相關(guān)的所有物理量。當(dāng)微分方程很簡單時(shí)，找到相似準(zhǔn)則并不困難。但當(dāng)方程未知或復(fù)雜時(shí)，應(yīng)采用其他方法。當(dāng)現(xiàn)象的相似準(zhǔn)則數(shù)超過1時(shí)，問題進(jìn)入相似第二定理的范疇。3.3、第三相似定理相似的充要

16、條件。相似現(xiàn)象的觀察條件：兩個(gè)相似的現(xiàn)象可以用一個(gè)方程組來描述。單值條件類似。幾何條件(幾何相似性)物理?xiàng)l件：載荷介質(zhì)的強(qiáng)度。運(yùn)動(dòng)條件：T、V邊界條件，以及(3)由單值量組成的相似性標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該相等。必要和充分條件(而不是任意相似準(zhǔn)則的相等性)。單值量是指單值條件下的物理量。單一價(jià)值條件是將一個(gè)個(gè)體現(xiàn)象與同一種現(xiàn)象區(qū)分開來。相似性的第一個(gè)原則從現(xiàn)象已經(jīng)相似的事實(shí)來考慮問題，這表明了相似現(xiàn)象的本質(zhì)。有兩種相似的現(xiàn)象，它們都符合質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程V=，如圖所示，兩組相似的曲線(實(shí)線)。得出圖中的“1”和“2”是這兩種現(xiàn)象的對應(yīng)點(diǎn)。現(xiàn)在，想象通過第二個(gè)現(xiàn)象的點(diǎn)1和點(diǎn)2，找到另一個(gè)同類現(xiàn)象，第三個(gè)現(xiàn)象，如圖中虛線所示。顯然，第二和第三現(xiàn)象的曲線不一致，因此第三現(xiàn)象與第一現(xiàn)象不相似，表明通過點(diǎn)1和2的現(xiàn)象不都是相似的現(xiàn)象。為了使通過點(diǎn)1和點(diǎn)2的現(xiàn)象相似，必須從單值條件進(jìn)行限制。在這種情況下，添加初始條件：t=0，v=0，L=0。這樣，初始條件和由單值量組成的相似性準(zhǔn)則都是一致