1、第九章 曲線積分與曲面積分,第一節(jié) 對弧長的曲線積分,第二節(jié) 對面積的曲面積分,第三節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分,第四節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分,第五節(jié) Green公式,第六節(jié) Gauss公式,第七節(jié) Stokes公式,第一節(jié) 對弧長的曲線積分,對整體量進(jìn)行分割、作和、取極限所產(chǎn)生的定積分與重積分已經(jīng)帶來了很大的方便, 但是, 有些實際問題與理論問題, 這兩種積分還解決不了, 于是, 又引進(jìn)了曲線積分與曲面積分, 它們與前者的基本思想是一致的.,本章討論的基本問題是兩類曲線積分與兩類曲面積分, 重點是曲線積分與路徑無關(guān)的問題以及Green (格林)公式與Gauss(高斯)公式.,一、對弧長的曲線積分的定義,

2、二、對弧長的曲線積分的性質(zhì),三、對弧長的曲線積分的計算,四、對弧長的曲線積分的應(yīng)用,線密度為連續(xù)函數(shù)z = f (x, y), 利用分割作和、取極限的方法求該構(gòu)件的質(zhì)量.,一、對弧長的曲線積分的定義,定義1 如果連續(xù)曲線y = f (x)上到處都有切線, 當(dāng)切點連續(xù)變動時, 切線也連續(xù)轉(zhuǎn)動, 就稱此曲線為光滑曲線.,設(shè)有一曲線形構(gòu)件, 它在xOy 平面內(nèi)是一條光滑曲線弧L,見圖9-1.,圖9-1,在L上取點M1, M2, , Mn-1 , 把L分成n小段, 在,上任意取一點(i, i), 弧段,的長度為si, 記, = maxs1, s2, , sn,則該構(gòu)件的質(zhì)量為,圖9-1,定義2 設(shè)L為

3、xOy平面內(nèi)的一條光滑曲線, z = f (x, y) 為L上的連續(xù)函數(shù), 用分點M1, M2, , Mn-1, 把L分成n小段, 在,存在, 則將此極限值稱為函數(shù)f (x, y)在L上對弧長的曲線積分, 記為,其中, f (x, y)稱為被積函數(shù), L稱為積分弧段.,上任意取一點(i, i), si表示,的長度,記 = maxs1, s2, , sn, 如果,定理1 當(dāng) f(x, y)在光滑曲線或分段光滑曲線弧L上連續(xù)時, 對弧長的曲線積分 存在.,二、 對弧長的曲線積分的性質(zhì),由對弧長的曲線積分的定義可知, 定積分的所有性質(zhì)都可以移植過來.,性質(zhì)1 設(shè)k為常數(shù), 則,設(shè)下面所涉及的對弧長的

4、曲線積分都存在.,性質(zhì)2,性質(zhì)3 將L分成L1 與L2, 則,其中L0表示L的長度,性質(zhì)4,性質(zhì)5 f (x, y) g (x, y), 則,性質(zhì)6 在L上若設(shè)m f (x) M, 則,其中L0表示L的長度,性質(zhì)7 當(dāng) f (x, y)在光滑曲線弧 L上連續(xù)時, 必有L上某點(, ), 使得,三、對弧長的曲線積分的計算,定理2 設(shè) f (x, y)在曲線 L上連續(xù), L的參數(shù)方程為,( t ),其中 (t), (t) 在, 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且 2(t) + 2(t) 0, 則有公式(1)成立.,(1),設(shè)下面的函數(shù)和曲線都滿足定理2的條件, 則還有如下公式. 積分上限要大于下限.,設(shè)L:

5、 y = y ( x ) (a x b), 則有,設(shè)L: r = r ( ) ( ), 則有,設(shè)L: x = x ( y ) (c y d), 則有,設(shè)L: x =(t), y =(t), z =(t) ( t ), 則有,定理3 設(shè) f ( x, y )和L滿足定理2的條件, 若f (x, y) = f (x, y ), L關(guān)于軸對稱, L1表示L的位于 x 軸上方的部分, 則有,若 f (x, y) = f (x, y), 則,例1,L是整條星形線,解 設(shè) L1: x = cos3t , y = sin3t , (0 t / 2),由定理3可知,于是,例2 求,L為圓 x2 + y2 =

6、ax ( a 0 ).,解 把L寫成極坐標(biāo)形式r = a cos , - /2 /2,利用公式(4), 有,例3 求, 為螺旋線: x = acost , y = asint , z = bt , 0 t 2.,解 利用公式(5), 有,為圓周:,解 直接利用(5)完成, 計算量很大, 注意到,于是,例4 求,原式,設(shè)在xOy平面內(nèi)有一條分布著質(zhì)量的光滑曲線弧(或分段光滑曲線弧)L, 在點(x, y)處的線密度為連續(xù)函數(shù) f (x, y), 利用微元分析法不難推得下面各計算公式.,四、 對弧長的曲線積分的應(yīng)用,質(zhì)量,設(shè)重心為,則,轉(zhuǎn)動慣量,如果曲線L是空間曲線, 也可以得出類似的公式.,式中Ix, Iy, Io分別表示質(zhì)量弧L對于x軸、y 軸、原點的轉(zhuǎn)動慣量.,下面給出第一型曲線積分的幾何意義.,當(dāng) f ( x, y ) 0時, 如果 f ( x, y )在平面曲線L上連續(xù), L光滑或分段光滑, 見