1、1,第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析,2,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng),1.電路系統(tǒng)建立微分方程的依據(jù) 基爾霍夫電流定律（KCL） 基爾霍夫電壓定律（KVL） 元件的電壓電流關(guān)系（VCR）,一、系統(tǒng)的微分方程建立,3,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng),2.微分方程的建立過(guò)程,4,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng),3. n階LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程,此方程的完全解由兩部分組成，這就是齊次解和特解。齊次解應(yīng)滿(mǎn)足,5,特征方程為,1）特征根為單根，微分方程的齊次解為,2）特征根有重根，假設(shè) 是特征方程的K重根，那么，在齊次解中，相應(yīng)于 的部分將有K項(xiàng),2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng),6,3）若 、 為共軛復(fù)根，即

2、那么，在齊次解中，相應(yīng)于 、 的部分為,下面討論求特解的方法，特解的函數(shù)形式與激勵(lì)的函數(shù)形式有關(guān)。將激勵(lì)信號(hào)代入微分方程的右端，代入后的函數(shù)式稱(chēng)為“自由項(xiàng)”。通常，由觀察自由項(xiàng)試選特解函數(shù)式，代入方程后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即可求出特解。,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng),7,自由項(xiàng) 特解,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng),8,4.微分方程及其解的意義（P25）,9,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),1. 初始條件的確定（起始點(diǎn)的跳變從0-到0+ ）,在系統(tǒng)分析問(wèn)題中，初始條件要根據(jù)激勵(lì)接入瞬時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)決定。,起始狀態(tài)與初始狀態(tài),起始狀態(tài)：在激勵(lì)接入之前的瞬時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài),

3、初始狀態(tài)：在激勵(lì)接入之后的瞬時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài),10,初始條件的確定,可以利用系統(tǒng)內(nèi)部?jī)?chǔ)能的連續(xù)性，這時(shí)有,首先判斷uC(0-)和iL(0-)值，然后由儲(chǔ)能的連續(xù)性寫(xiě)出uC(0+)和iL(0+)，再根據(jù)元件約束特性與網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束即可求得0+時(shí)刻其它電壓、電流值。,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),11,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),2. 零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng),經(jīng)典法求解系統(tǒng)的完全響應(yīng)可分為：,完全響應(yīng)=自由響應(yīng)+強(qiáng)迫響應(yīng),系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分為：,完全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),12,零輸入響應(yīng) ：當(dāng)激勵(lì)信號(hào) x(t) = 0時(shí)，由起始狀 態(tài) 所產(chǎn)

4、生的響應(yīng)。（從觀 察的初始時(shí)刻起，不再施加輸入信號(hào)，僅由該系統(tǒng)本身具 有的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)。）,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),1）零輸入響應(yīng)（ZIR）定義及求解：,由于激勵(lì)信號(hào)x(t) = 0，所以系統(tǒng)的起始時(shí)刻不會(huì)產(chǎn)生跳變。所以,13,2）零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR）定義及求解：,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng) ：當(dāng)起始狀態(tài) 時(shí)，由激勵(lì) 信號(hào)x(t) 所產(chǎn)生的響應(yīng)。（初始狀態(tài)為零的條件下，由外加輸入信號(hào)引起的響應(yīng)。）,零狀態(tài)響應(yīng)的形式為：,其中系數(shù)Azsk由跳變量 來(lái)確定。,14,：確定全響應(yīng)的系數(shù),：確定零輸入響應(yīng)的系數(shù),：確定零狀態(tài)

5、響應(yīng)的系數(shù),2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),15,2-1系統(tǒng)的微分方程及其響應(yīng)二、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),3）一階系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)（ZIR)和零狀態(tài)響應(yīng)（ZSR） 求解,一階系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：經(jīng)典法,：確定零狀態(tài)響應(yīng)的系數(shù),公式法,16,解：,：初始條件，確定全響應(yīng)的系數(shù)，,：起始條件，確定零輸入響應(yīng)的系數(shù)，,：跳變量，確定零狀態(tài)響應(yīng)的系數(shù),1）求全響應(yīng)y(t),特征根為 ，所以 ，,而,這樣，全響應(yīng)為,17,2）求零輸入響應(yīng)yzi(t),由初始條件 可求出系數(shù) A= ，所以,由起始條件 可求出系數(shù)Azi= ，所以,18,3）求零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t),由跳變量 可求出系

6、數(shù)Azs= 1，所以,或：,19,例2 一階RC電路的零輸入響應(yīng),求 t 0 的 uC、 i、 uR。,(1) 列寫(xiě) t 0 的關(guān)于uC的數(shù)學(xué)模型。,uC= uR t 0,代入,因方程只適用 t0時(shí)間，故只能用物理概念法判斷0+條件， 易看出：,(2) 解出 uC 。,則,關(guān)鍵是求電容電壓 uC。,20,(3) 求i、 uR。,21,討論, uC 在 t = 0連續(xù)(受電容電荷守恒約束)。 i =iC、uR 均在 t = 0跳變(不受電容電荷守恒約束)。, uC 、 i 、uR 所有變量均按相同指數(shù)規(guī) 律變化（特征為=RC）： 。, 電容按指數(shù)規(guī)律放電，釋放的能量被電阻吸收變成焦耳熱。, 時(shí)間

7、常數(shù)=RC 一個(gè)重要概念。, = RC 具有時(shí)間量綱：RC=歐法=歐庫(kù)/伏=歐安秒/伏=秒。, 的數(shù)學(xué)意義：變量曲線(xiàn)在 t = 0+時(shí)的切線(xiàn)與時(shí)間軸的交點(diǎn)。,= RC,= RC,= RC,22,討論,的工程意義：,= RC, 的大小描述了變量按指數(shù)規(guī)律衰減的速率。改變 R 或 C 可改變的大小，即改變按指數(shù)規(guī)律衰減的速率。,= RC,= RC,23,例3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng),【實(shí)例】圖示電路，t 0 的uC、 iC、 iR。已知 iS=IS（直流）。,【解】 列電路方程, 其他變量：, 采用微分方程的經(jīng)典解法求uC,均不必標(biāo)明零狀態(tài)下標(biāo)“ZS”,24,（3） 采用公式法和卷積法求uC,公式法

8、,卷積法,25,【討論】, uC 在 t = 0連續(xù)(電荷守恒約束), 而 iC 則跳變(不受此約束)。, uC 、iC 、 iR 中的暫態(tài)均按相同指數(shù)規(guī)律變化：, uC 波形：從零始按指數(shù)上升(暫態(tài))，經(jīng)35接近穩(wěn)態(tài)RIS 。, iC 波形：從零 始, t = 0+跳變到IS , 經(jīng)35衰減接近穩(wěn)態(tài)零。, iR 波形：從零始按指數(shù)上升（暫態(tài)），經(jīng)35接近穩(wěn)態(tài)IS 。, KCL： IS =iC + iR,26,例4 求解二階系統(tǒng)零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)（例21）,A1=-3 A2=5,27,一、單位階躍響應(yīng) s(t),2.2 階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng),求解方法：經(jīng)典法、公式法、卷積法,激勵(lì)為單位階躍信號(hào)時(shí)

9、系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng). （LTI連續(xù)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下對(duì)(t)的響應(yīng)）,控制系統(tǒng)分析中，常用。, 用微分方程經(jīng)典解法，略；, 公式法, 卷積法,28, 通過(guò) h(t) 求 s(t)。證明如下:, 利用LTI系統(tǒng)零狀態(tài)下的微分、積分性質(zhì)，有, 若LTI系統(tǒng)因果，則,積分下限取0而不取0，是考慮h(t)中若含有函數(shù)的情況。,一、單位階躍響應(yīng) s(t),29,例2-3（P29）,圖29(a)的RC電路中，us(t)=(t)，求階躍響應(yīng)s(t)= uc(t),30,二、單位沖激響應(yīng) h(t),【定義】,h(t) 是指，LTI連續(xù)系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下對(duì)(t)的 響應(yīng)。, 用微分方程經(jīng)典解法，略；, 公式法,

10、卷積法,【解法】,31, t0無(wú)激勵(lì)，故 t0微分方程的強(qiáng)迫項(xiàng)為零。 (t)的貢獻(xiàn)在于在 t=0的一瞬間給因果系統(tǒng)提供能量，使系統(tǒng)從0時(shí)刻的零狀態(tài)變成0+時(shí)刻的非零狀態(tài)，僅此而已。, 通過(guò) s(t) 求 h(t)。證明如下:, 利用LTI系統(tǒng)零狀態(tài)下的微分、積分性質(zhì)，有,【說(shuō)明】,關(guān)于 h(t)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量：,(t)實(shí)際上并不存在，實(shí)驗(yàn)室當(dāng)然無(wú)法產(chǎn)生。如何測(cè)量系統(tǒng)的 h(t) 工程上用窄脈沖替代(t)。替代條件是：, 對(duì)于一階系統(tǒng)，若窄脈沖（形狀不限）的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，則具有很好的近似；, 對(duì)于二階以上系統(tǒng)，若窄脈沖（形狀不限）的寬度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程的時(shí)間，則具有很好的近似。,32

11、,例2-5(p37),圖2-20(a)的RC電路中，uc(0-)=0，輸入信號(hào)為(t)，求沖激響應(yīng) h(t)= uc(t),33,通過(guò) s(t) 求 h(t),34,2.4 卷積及其應(yīng)用, 現(xiàn)在尋找求解LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的其他方法卷積積分法。,【結(jié)論】,若,則,【證明】,（證畢）,稱(chēng)為x(t)和h(t)的“卷積積分”,35, 卷積積分的圖形解釋, 想象：當(dāng)0時(shí)，激勵(lì)就分解為移位沖激的連續(xù)和。,利用LTI系統(tǒng)的性質(zhì),36,一、卷積積分的定義,【討論】,稱(chēng)為x(t)和h(t)的“卷積積分”，簡(jiǎn)稱(chēng)“卷積”，記作, 用卷積積分求解LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，只需按( * )式積分即可，繞過(guò)了確定系統(tǒng)0+初

12、始條件的問(wèn)題。盡管在求h(t)時(shí)仍需要確定,( * ), 卷積不只是限于求解LTI系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)，還有許多重要用途。, 雖然卷積是做無(wú)窮積分，但實(shí)際上，積分限是由x(t)和h(t)函數(shù)值的非零區(qū)間共同決定的。例如：, 若系統(tǒng)因果，而 x(t)從 t =接入，則, 卷積運(yùn)算只適合線(xiàn)性系統(tǒng)（含時(shí)變系統(tǒng)），不適合非,線(xiàn)性系統(tǒng)，因?yàn)榫矸e所依據(jù)的是疊加原理。,37, 若系統(tǒng)非因果，x(t)在 t=0 接入，則,積分下限取0不取0，是考慮被積函數(shù)在 t=0 含有函數(shù)的情況。, 若系統(tǒng)因果，而 x(t)在 t=0 接入，則類(lèi)似以上分析，有, 由于卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，所以可對(duì)任意兩個(gè)函數(shù) f1(t)和f2

13、(t)進(jìn)行卷積運(yùn)算（只要積分收斂），即, 為方便，在不致引起混淆時(shí)，將 yZS(t)簡(jiǎn)寫(xiě)為 y(t)，省去下標(biāo)。, 信號(hào) f(t) 的沖激分解公式，其實(shí)就是 f(t) 與(t) 的卷積積分,38,二、卷積積分的性質(zhì),（一）卷積的代數(shù)性質(zhì), 交換率, 證明：用定義式，再作變量代換即可。略。, 利用此性質(zhì)，可簡(jiǎn)化卷積運(yùn)算。例如, 結(jié)合率, 串聯(lián)系統(tǒng)的 h 等于各子系統(tǒng) hi之卷積。,39, 分配率, 證明：可利用定義式直接證明。略。, 并聯(lián)系統(tǒng)的 h 等于各子系統(tǒng) hi之和。, 和信號(hào)之卷積 等于各信號(hào)卷積之和。, 以上性質(zhì)表明：若一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)是由若干子系統(tǒng)經(jīng)過(guò)串、并聯(lián)所組成，并且各子系統(tǒng)的單位沖

14、激響應(yīng)已知，則總系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)可以通過(guò)卷積的結(jié)合率、分配率來(lái)計(jì)算。,（二）時(shí)不變性, 證明：用定義式，再作變量代換即可。略。, 這正是LTI系統(tǒng)的時(shí)不變性。,40,（三）微分、積分性質(zhì), 這正是LTI系統(tǒng)的微分性質(zhì)。,【證明】,（證畢）,交換積分和求導(dǎo)的次序, 微分性質(zhì), 積分性質(zhì), 該性質(zhì)可重復(fù)使用。, 這正是LTI系統(tǒng)的積分性質(zhì)。,41, 微分、積分性質(zhì)聯(lián)合使用,【證明】,若被求導(dǎo)信號(hào)為有始信號(hào)，則一定有 x()=0。,（證畢）,42,【例】試證明,【證】,（證畢）,【例】試判斷下列計(jì)算的正誤：,43,三、常用信號(hào)的卷積積分,3、f(t)與階躍信號(hào)卷積,4、斜坡信號(hào)與階躍信號(hào)卷積,1、

15、f(t)與沖激信號(hào)卷積,2、f(t)與沖激信號(hào)偶卷積,44,45,四、卷積積分的計(jì)算,例1：f(t)=t(t) ， h(t)=(t)-(t-2)，求卷積積分y(t)=f(t)*h(t)。,1利用定義計(jì)算,=t(t) *(t)-(t-2),2. 利用常用信號(hào)卷積與有關(guān)性質(zhì)計(jì)算,解：,y(t)=f(t)*h(t),=t(t) *(t)- t(t) *(t-2),46,例2：求卷積積分y(t)=e-t (t)*(t)。,解：,3. 利用卷積積分表計(jì)算,4. 利用圖解法計(jì)算,1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) （折疊） 3） h(-) h(t-) （平移） 4） f() h

16、(t-) （相乘） 5）計(jì)算積分,5. 利用數(shù)值積分法計(jì)算,y(t)=e-t (t)*(t),=（1-e-t ）(t),（教材47頁(yè)表2-1）,47,卷積積分圖解法:,當(dāng)t-1,當(dāng)-1t1,當(dāng)1t2,當(dāng)2t4,當(dāng)t4,48,例3：已知 ， 求,解：,1）當(dāng) t 0 時(shí)，,s(t) = 0,2）當(dāng) 0 t T 時(shí)，,49,3）當(dāng) t T 時(shí)，,50,【例4】信號(hào)如圖，計(jì)算卷積。,【解】, 分段原則： 被積函數(shù)相同；, 積分限相同。,51,52,53,【例5】信號(hào)如圖，計(jì)算卷積。,【解】,利用卷積的微分、積分性質(zhì)計(jì)算。,分段線(xiàn)性函數(shù)，求兩次導(dǎo)數(shù)后，只含沖激函數(shù)。本例 x(t)。,任何函數(shù)與沖激函數(shù)

17、卷積，簡(jiǎn)單。,本例函數(shù)均為有始函數(shù)，滿(mǎn)足聯(lián)合使用卷積微分、積分性質(zhì)的條件。,54,55,【例6】信號(hào)如圖，計(jì)算卷積。,【例】利用圖形輔助法計(jì)算卷積。,56,57,例7：用圖解法求y(t)=f(t)*h(t)。其中,解：,當(dāng)t0：,當(dāng)0t7：,當(dāng)7t：,或,58, 關(guān)于卷積的進(jìn)一步討論：, 簡(jiǎn)單函數(shù)，可直接用公式法；復(fù)雜函數(shù)，圖形輔助法方便。, 圖形輔助法確定積分上、下限的一般規(guī)律：, 常用信號(hào)的卷積，見(jiàn)書(shū)p.47的表2-1。其中,這正是信號(hào)分解公式。即，信號(hào)與(t)卷積結(jié)果正是信號(hào)本身。, 卷積是作無(wú)窮積分運(yùn)算，有個(gè)收斂的問(wèn)題。例如，下列卷積不收斂即不存在:, x(t) 和 h(t)卷積收斂的

18、“充分條件”是滿(mǎn)足絕對(duì)可積:, 兩時(shí)間有限信號(hào)的卷積一定收斂。,59,利用轉(zhuǎn)移算子求沖激響應(yīng),算子定義：p=d/dt, 1/p=-t, p n=dn/dt n 轉(zhuǎn)移算子 H（p）=N (p)/D (p) 輸入-輸出關(guān)系為：y(t)= H（p）f (t) 算子的運(yùn)算規(guī)則： 1.算子可做因式分解 2.算子方程兩端算子不能隨意消去 3.算子位置不能置換。,60,利用轉(zhuǎn)移算子求沖激響應(yīng),1.把線(xiàn)性系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為算子方程。 2.求出算子方程的轉(zhuǎn)移算子H（p）。 3.對(duì)轉(zhuǎn)移算子進(jìn)行分式展開(kāi)： 4.分式展開(kāi)后系數(shù)的確定：,61,特征函數(shù)法求解零狀態(tài)響應(yīng),考慮一階零狀態(tài)響應(yīng)公式法： 稱(chēng)為一階系統(tǒng)的特征函數(shù)，而零狀態(tài)響應(yīng)等于特征函數(shù)與輸入信號(hào)的卷積。,62,為進(jìn)一步說(shuō)明特征函數(shù)，設(shè)有二階系統(tǒng)的微分方程為： 與輸入有關(guān)的強(qiáng)迫項(xiàng)為： 則有方程： 考慮算子后，上式可化為： 因此，當(dāng)把 看成是一個(gè)新的強(qiáng)迫項(xiàng)時(shí)，零狀態(tài)響應(yīng)為：,63,上式g2稱(chēng)為二階系統(tǒng)的特征函數(shù)。而把二階系統(tǒng)推廣