1、第2 0 卷 第7 期 工 程 數 學 學 報 。 。 年 月 j our nal of e ngi ne e ri ng ma the ma ti c s vo 1 2 0 n o 7 de c 2 0 0 3 文章編號 ： 1 0 0 5 3 0 8 5 ( 2 0 0 3 ) 0 7 0 0 5 3 1 0 s a r s 傳播預測的數學模型 周義倉 ， 唐云 ( 1 一西安交通大學數學系 ， 西安 7 1 0 0 4 9 ； 2 一清華大學數學科學系， 北京 1 0 0 0 8 4 ) 摘 要： s a r s的傳播是 2 0 0 3年全國大學生數學建模競賽的賽題之一， 這是一個完全開

2、放、 國內外一直在 探索的問題。同學們提交的論文中建立了許多模型， 對 s a r s的傳播和預測進行研究。本文對競 賽情況和需要探討的問題進行了簡單的總結。 關鍵詞： s a r s ； 傳播； 數學模型； 預測 分類號： a ms ( 2 o 0 0 )3 4 b 0 8 中圖分類號： o 2 4 1 8 1 文獻標識碼： a s ar s ( s e v e r e a c u t e r e s p i r a t o r y s y n d r o me ， 嚴重呼吸道傳染病) 是2 1 世紀第一個在世界 范圍內傳播的傳染病。s a r s從 2 0 0 2年 1 1 月份開始在我國

3、和世界范圍內流行， 到2 0 0 3年 6月 2 3日為止 ， 據世界衛(wèi)生組織( wh o ) 報道， s a r s患者已經達到了 8 4 5 9 人 ， 其 中 8 0 2 人 死亡 1 。此時中國的s a r s患者已經為 5 3 2 6人， 其中3 4 7人死亡 2 ， 這給人民生活和國 民經濟的發(fā)展帶來了很大的影響。 s a r s是由一種冠狀病毒引起的傳染性很強的呼吸道傳染病， 它主要通過近距離空氣 飛沫以及接觸病人呼吸道分泌物和密切接觸進行傳播， 也可能通過病人飛沫污染物( 如通過 手、 衣物、 食物、 水或環(huán)境等途徑) 傳播。s a r s潛伏期一般為2 1 1 天。s a r

4、 s患者的主要 癥狀有： 發(fā)熱頭痛、 全身酸痛和不適、 乏力， 部分病人在早期也會有輕度的呼吸道癥狀( 如咳 嗽、 咽痛等) 3 ， 4 。 在全球抗擊 s a r s的過 翌中， 人們對 s a r s傳播和發(fā)展趨勢進行了大量的研究。如 d o n n e ll y 等人對 s ar s的潛伏期、 死亡率進行了估計 5 ， l i p s it c h和r il e y等人研究了s a r s 傳播中的再生數和傳播趨勢 6 ， 7 。c h o w e ll 等人通過建立 s e i j r模型， 研究了s a r s在加 拿大、 香港和新加坡的傳播情況 8 。國內許多科研院所也有許多工作是

5、利用模型對 s a r s 傳播的分析與預測作出了定量的研究， 對 s a r s的防控起到了積極作用。已公開發(fā)表的論 文有楊方廷、 陳吉榮等人關于北京 s a r s傳播過程的仿真、 參數和數據處理 9 ， 1 0 ， 方兆本 等 s a r s流行規(guī)律的建模及預報 1 1 ， 周義倉等建立的描述我國s a r s傳播與控制的離散 s e qi j r模型 1 2 ， 以及王穩(wěn)地等人對北京s a r s模型的模擬等 1 3 。 在s a rs傳播的過程中， 我國政府和世界衛(wèi)生組織每天發(fā)布疫情信息， 這些數據為我們 的建模和分析提供了良好的基礎。 維普資訊 5 4 工程數學學報 第 2 0 卷

6、 1 命題的想法 我國大學生數學建模競賽已經進行 了十幾年， 吸引了越來越多學生的興趣 ， 學校和社會 逐步認識到競賽對教學改革、 對學生能力培養(yǎng)的重要作用。擴大受益面 、 提高競賽水平是今 后大學生數學建模競賽的主要 目的。選擇社會關注的熱點問題、 增加賽題的靈活性和開放 性是提高競賽質量一個重要的途徑。 s a r s的流行是一場突如其來的災難， 它波及到了我國絕大部分省、 市、 區(qū)。從 4月起， 北京 一 度成了s a r s流行最為嚴重的一個城市， 4月下旬每天的s a r s病人和疑似病人大幅度增加， 北京周圍的一些省區(qū)和全國也出現了較多的感染情況， 對我國的人民生活和經濟發(fā)展造成了

7、嚴 重的影響。從 4月下旬起， 全國各地都行動起來展開了一場抗擊 s a r s的攻堅戰(zhàn)。到 6 月下旬每 天的新增病例下降到零 ， 世界衛(wèi)生組織就解除了對北京的旅游警告， 我國人民的日常生活和經濟 發(fā)展逐步恢復正常。數學建模對傳染病傳播過程的描述、 分析、 預報和控制能起到積極的作用。 為了喚起社會對數學作用的認識， 全國大學生數學建模競賽組委會專家組就把s a r s的傳播這場 密切聯系到國民生活的重大事件提煉成賽題， 作為今年的a 、 c題。 我們知道許多院校在競賽培訓過程中非常關注 s a r s的建模和預測， 已把它作為校內 競賽題或訓練題。這表明大家在自覺地應用數學建模的理論和方法

8、來分析和解決社會急需 探討的問題 ， 數學的應用意識在不斷的加強和深化 ， 這是多年來數學建?；顒有Ч?的反映。 同時也給s a r s建模的命題帶來了困難， 考慮到這一點， 在“ s ar s的傳播” 賽題中， 除了建 模、 預測及分析對經濟的影響外， 增加了評論一篇早期發(fā)表的論文， 及給報社寫短文部分。 在命題討論過程中我們也知道已經有不少 s a r s研究的資料， 特別是在網上可以搜索 到許多關于 s a r s建模和預測的文章， 有可能導致過多的引用 ， 甚至抄襲 ， 給評判帶來困難。 但從另一方面看 ， s a r s建模和預測是一個十分復雜的問題， 從傳播機理 、 建模原則， 到

9、數據 的收集、 整理 、 模型的建立和模型參數的確定， 都有一系列問題需要繼續(xù)研究。網上和刊物 中大量豐富的文獻資料可以使學生更多、 更深入地了解 s ar s的傳播過程和建模預測方法 ， 學習真正怎樣將數學和計算機技術用來研究與解決人們所關注的實際問題。 競賽題目的第一問是提供了一篇北京大學在早期對 s a r s進行建模和分析預測的文 章， 讓參加競賽的同學進行評價， 目的是希望讓學生了解別人對 s a r s傳播建模和預測的處 理方法。該模型在早期有它的應用價值， 在s a r s流行結束后再對它作出分析和評價， 有利 于學生找到更加實用的模型和方法。題目的第二問是提供了北京市 4月2

10、0日到6月 1 2日 已確診的s a rs累計病例數、 現有的疑似 s a r s病例數、 累計死亡人數和累計治愈出院人 數， 希望學生建立起自己的模型， 以對北京等地 s a r s的感染情況進行研究， 定量地描述， 并 分析控制措施對 s a r s傳播的影響。特別是訓 l 練學生學習利用已給的數據確定模型中的參 數， 進行分析、 計算和比較。題目的第三問讓同學收集 s a r s對經濟某個方面影響的數據， 建立相應的數學模型并進行預測， 由于擔心學生資源的限制， 題 目中還提供了北京市從 1 9 9 7年 1 月到 2 0 0 3年8月接待的海外游客人數作為參考。題目的第四問是讓學生給當

11、地 報刊寫一篇通俗短文， 說明建立傳染病數學模型的重要性， 當然也希望能將自己模型和預測 結果簡要地介紹給民眾 ， 使更多的人認識到數學建模和預測工作的重要意義。 把“ s a r s的傳播” 作為賽題也是希望學生盡可能地發(fā)揮 自己的特長， 收集盡可能多的 數據， 在網絡和刊物中搜索盡可能多的參考文獻， 建立數學模型解決問題。該題 目沒有( 也 維普資訊 第 7 期 s a r s 傳播預測的數學模型 5 5 不可能有) 固定的模型和標準答案， 這也促使各賽區(qū)的閱卷人員也深入鉆研、 思考問題， 了解 國內外 s a r s建模的研究現狀 ， 從學生的答卷中挑選 出有特點 的優(yōu)秀論文。這道賽題后

12、來 全國組委會只給了評閱的要點供給各賽 區(qū)參考， 并且著重對 a題 的第二 、 第三問提出一些 要求 ， 包括以下幾個方面： 1 ) 學生答卷中應包含對傳播機理和傳播狀況的敘述( 如： 傳播途徑、 傳播方式、 潛伏期 和傳播地區(qū)等) ， 并且給出建模原理、 方法、 思路或框圖。 2 ) 模型中的人 口至少有 3 類 ： 易感者、 患者和恢復( 與死亡) 者 ， 仔細一些的可以再加入 潛伏者、 隔離者、 疑似病人、 確診病人， 治愈者和留觀者等， 要弄清楚他們之間的關系。 3 )模型還應包含對于傳染率、 治愈率和死亡率等重要概念的清晰表述。模型分析和計 算中要給出上述參數的估計方法和估計值， 還

13、可包括平均治愈天數、 隔離率和潛伏期等。 4 )模型的結果應該提供預測值( 用數量或曲線來說明高峰期和持續(xù)時間) 和隔離措施 的效果( 包括提前和推遲控制時間的影響， 隔離人數多少 的影響及遺漏病人的影響) 。對于 結果的分析應包括誤差分析， 及模型與方法的通用性分析( 模型除北京外， 是否還用于其它 地區(qū)， 如外地、 香港 、 全國和全球等) 。 5 ) 關于對經濟的影響， 要求收集某方面的數據( 除旅游業(yè)外 ， 還有如餐飲業(yè) 、 航運等) ， 預測沒有 s a r s時的變化趨勢； 與實際統(tǒng)計數據 比較， 用差距說 明影響的大??； 預測該領域 恢復到正常發(fā)展水平的時間。 全國組委會還提供了

14、一些網址和關于s a r s傳播模型的論文報告作為評閱時參考， 包括 北大金融數學系的模型、 清華力學系的模型、 超級傳播模型、 多倫多與香港的報告和模型、 臺灣 模型、 a n d e r s o n 模型、 mu r r a y 模型、 d y e 模型、 加拿大多倫多病例分析及疾病傳播模型等。 2 解答綜述 一 些參賽隊對上面要點中提到的幾個方面都給出了很好的想法。具體情況如下： 1 )對已有模型的評價 對題 目之 中給出的“ s a r s疫情分析及對北京疫情走勢的預測” 一文， 每個隊都對文章 中的建模思路、 模型、 參數和預測進行了客觀的評價。概括起來文章的優(yōu)點有： 模型簡單明 了

15、地反映了疾病的傳播過程， 抓住了s a r s傳播過程中兩個主要特征： 傳染期 l和傳染率 k， l是指平均每個病人可以直接感染他人 的時間， k 是指平均每病人每天可傳染的人數， 對其給出了估計方法。 對北京、 廣東與香港的疫情進行了分析比較， 預測值與實際統(tǒng)計較接 近； 模型特別簡單、 計算量小， 容易理解和使用； 模型的靈活性在于適當挑選初始值 n 和參 數 k、 l就可以描述不同地區(qū)、 不同控制措施下的 s a r s傳播情況。 模型的不足在于對如何 確定初始值 n 和參數 k與l缺乏一般的原則或算法， 這種指數變化的趨勢作為長期預測 不合理。 另外還需要指出的是不少論文還對模型進行了

16、推導、 計算和改進， 例如分段確定參 數或使用隨時間變化的 k， 這些使得模型的理論基礎更加完備， 實用性更加廣泛。 2 ) s a r s建模和預測 大部分答卷都在敘述了s a r s 傳播機理的 基礎上， 作出 類似于下面這些基本合理的假設： 單位時間內感染的人數與現有的感染者成比例； 單位時間內治愈人數與現有感染者成比例； 單位時間內死亡人數與現有的感染者成比例； s a r s患者治愈恢復后不再被感染； 各類人口 的自然死亡可以忽略； 忽略遷移的影響。這些比例系數可以是常數、 時間的函數、 時間和各類 維普資訊 工程數學學報 第 2 o 卷 人口的函數、 或分幾段取常數。當然， 還可以

17、根據需要做其它假設。建立模型一般是利用房室 ( c o m p a r t m e n t ) 結構， 將總人口分為易感者 s 、 患者 j 、 恢復者 r， 再仔細一些的還有潛伏者 e、 隔離 者 q 、 疑似病人 p和確診病人 等類型。 敘述或作出各類人口之間流動的示意圖， 并根據傳染病 建模的一般原理建立起如s i r 、 s e i r 、 s e q p u r等類模型。 這些模型基本思路相同， 差異在于人口 分類的多少， 關鍵在于參數的確定。 例如最簡單的s i r模型為 c 、 =一 ( t ) j ( t ) ， s ( t 0 )= s 0 ， j r 、 = ( ) j (

18、 )一( +y ) j ( ) ， j ( 0 )= j 0 ， ( 1 ) ： y ) ， r( t o )： r0 在模型( 1 )中， s ( t ) 是 t 時刻易感者的數量， 它等于總人口減去患者和恢復者的數量， j ( t ) 是 t 時刻患者的數量， r( t ) 是 t 時刻恢復者的數量， ( t ) 是單位時間內每個患者感染的人 數， y是患者的恢復率， 是患者的死亡率。 由于隔離等控制措施的不斷加強和治療情況的 變化， 、 y 、 也是隨時間而變化的； 另外， 由于易感者的數量特別大， 可以近似看作常數， 且 將常數合并到口中去。 在實際應用中， 我們最關心的是感染者數量的

19、變化。 取時間單位為天， 將模型中的第 2 個方程離散化得遞推關系為 j ( t +1 )= j ( t )+ ( t ) j ( t )一( ( t ) +y ( t ) ) j ( t ) ， j ( 0 ) 0 ( 2 ) 在離散化的模型( 2 )中， ( t )的含 義是每天每個 s a r s感染者傳染 的人數， 是一個十分重要的參數， 其確定的原則是： 當天新增 s a r s 病人人數除以當天 s a r s感染者 人數， 再進行曲線擬合即可。 y ( t ) 和 ( t ) 是 s a r s患者每天治愈和 死亡所 占的 比例 ， 可以一起確定 ， 其方法是當天 s a r s

20、感染治愈和 死亡人數除以當天 s a r s感染人 數， 再進行曲線擬合即可。 例如， 利 用衛(wèi)生部公布的 4月 2 0日至 5月 1 5日全國的數據 1 4 進行計算， 可以得到 ( t ) 隨時間變化的關 系 如圖 1中折線所示 ， 用指數 曲線 ( t )= n e 對其進行 回歸擬合 圖1 每天每個 s a r s病人平均感染的人數 ， 其中光滑曲線 表示指數擬合的 口 ( t )曲線， 而折線表示實際計算結果 得到 ( t ) 的表達式， 其曲線如圖1中的光滑曲線所示。 同理得到 ( t ) +y ( t ) 的表達式。 將 這些函數代人( 2 ) 進行遞推計算得每天的s a r s

21、 感染者人數( 見圖2 ) 。 從圖2中可以看出， 這個非常簡單的模型、 參數確定方法所預測的結果與實際的統(tǒng)計值 比較一致。為了進一步檢驗模型和參數確定方法的合理性， 我們分別利用北京、 山西、 內蒙、 廣州等地的數據替換全國的數據， 進行同樣的計算、 預測和對比， 發(fā)現結果都比較符合。注 意： 在這樣的簡單預測中僅用了2 5 天的數據對模型中的參數進行估計和曲線擬合， 從 5月 維普資訊 第 7 期 s a r s 傳播預測的數學模型 5 7 1 5日以后的預測值 比實際統(tǒng)計值 小， 這是由于我國政府不斷地加強 隔離控制措施和改善治療效果 ， 這 些因素在 5月 2 5日之前的數據 中 反映

22、的不夠。在實 際應用 中不斷 增加和更新數據進行短期的預測， 預測的誤差就會減少。 在競賽答卷中， 有許多不同的 模型和方法來描述 s a r s的傳播 過程。其中最多的是上述房室結 構 ， 包括有隔離 的 s q i r模型 ， 有 潛伏( 也有將潛伏作為時滯處理 ) 的 s e i r模型 ， 考慮 s a r s診斷 困 難 和我 國實 際 做 法 的有 疑似 的 s p i r模型， 有區(qū)分自由流動病人 和收治病人的 s i j r模 型， 還有考 圖2 每天 s a r s感染者隨時間變化的關系。 上面的光滑實線表示預測值， 下面的曲線表示統(tǒng)計值。 慮醫(yī)護人員感染的模型， 涉及更多房

23、室的模型等。從模型的形式看有常微分方程模型、 偏微 分方程模型、 差分遞推模型、 控制反饋模型、 小世界網絡模型、 神經網絡模型、 信息傳輸系統(tǒng) 模型、 基于復雜網絡的概率演化模型、 時間序列模型、 混沌時間序列模型、 自回歸模型、 非齊 次泊松過程預測模型、 b e z i e r 曲線模型、 二階 l o g is t i c回歸模型和 mo n t e c a r l o法模擬模型 等。在這些模型中所涉及的因素包括媒體宣傳對心理和行為的影響、 公共衛(wèi)生水平、 控制力 度、 平均氣溫、 地區(qū)差異、 人口流動、 職業(yè)分布、 年齡分布、 醫(yī)院內外的傳播和超級傳播者等。 考慮到 s a r s

24、病毒與一般傳染病不同的是有著相當高的突變率， 有的隊還建立起 s a r s 病 毒的分子進化模型， 對“ 毒王” 現象做出合理的解釋。 模型中的參數一般分為常量參數和變量參數， 常量參數利用國家公布的數據或平均值 確定， 變量參數通過計算和回歸的方法確定。優(yōu)秀答卷都給出了北京市 s a r s傳播的持續(xù) 時間、 高峰期、 控制措施的影響等， 也用所建立的模型對全國、 山西、 內蒙、 香港和加拿大等地 區(qū)的傳播情況進行分析預測， 與實際數據對比顯示模型的適應情況。 在這些答卷中， 不少參賽隊把s a r s的傳播分為控制前和控制后兩個階段， 分別進行建模、 參數確定和預測， 這樣的處理方法對于

25、研究控制措施實施遲早對s a r s 傳播的影響十分方便。有 一 些隊在傳染率中引 一個因子， 通過這個因子大小的調節(jié)， 就可以分析控制措施的強弱對 s a r s 傳播的影響?？紤]到 12 , 理壓力對于免疫力下降的影響， 有的隊在賽期還利用 b b c網上聊 天系統(tǒng)對人們在s a r s 流行期間的心里恐慌程度進行調查， 將結果引入模型參數中。在分析控制 措施效果的基礎上， 還有一些隊提出了自己的建議， 如提高整個人口的抵抗能力， 加強對與感染 接觸人員的監(jiān)控等。在描述人口流動對s a r s的影響時， 有些隊把實際區(qū)域抽象成二維網絡， 每 個格子規(guī)定其地域特性， 口按一定的密度分布在不同

26、的格子內， 將人按年齡分為 4 類， 不同年 齡人群的活動范圍不一樣， 規(guī)定他們的移動規(guī)則， 再根據 s a r s的特點定義傳播規(guī)則， 根據控制措 施定義隔離規(guī)則， 再對北京市的s a r s傳播情況進行模擬和預測。 3 )對經濟的影響分析 維普資訊 5 8 工程數學學報 第 2 o卷 s a r s對我 國經濟的影響是多方面的， 在總體上對我 國經濟的正常運行有負面作用， 但 它對 國民經濟不同部門的影響不同。s a r s的流行阻礙我國的旅游 、 交通運輸和外商投資 等方面的發(fā)展， 另一方面， 它促進了醫(yī)藥、 汽車的銷售和電子商務的發(fā)展。題目中給出的北 京市海外游客的數據是一個典型的例子

27、， 絕大部分參賽隊就是對這些數據進行分析， 首先觀 察到在 s ar s流行前游客數量是隨季節(jié)變化且不斷增加的。結合這個特點建立模型預測不 受 s a r s影響時北京市 的外來旅游人數 ， 再與 2 0 0 3年的實際數據比較， 給出了同期減少的 量， 給出游客數量恢復的期望時間。在這一部分用到的模型或方法包括曲線回歸模型 、 曲面 擬合模型、 灰色系統(tǒng)的 g m( 1 ， 1 ) 預測模型、 a r i ma模型、 三次指數平滑法、 平均趨勢預測法 及消費乘數模型預測損失法等。 在這一部分也有少數參賽隊收集到了其它數據分析 s a r s對經濟發(fā)展的影響。有參賽 隊收集了我國民航系統(tǒng)從 1

28、 9 8 5年以來的運營數據 ， 建立模型對民航業(yè) 的 3大指標( 總周轉 量， 旅客運輸量， 貨 郵運輸量 ) 進行預測 ， 通過無 s a r s情況下 民航運營情況 的預測和與 2 0 0 3年的分析對比， 估計出了民航受 s a r s影響的經濟損失， 并對民航業(yè)的恢復期進行了 預測。有參賽隊在分析非典對經濟的影響時著重討論了受非典影響的旅游百貨行業(yè)和醫(yī)藥 行業(yè) 的效益變化， 考慮到股市作為國民經濟的晴雨表， 能很好地反映出各行各業(yè)經濟效益的 變化趨勢， 他們在每個行業(yè)中各選取了三十家品級較高的上市公司， 找出它們業(yè)績的變化特 征， 以此來反映整個行業(yè)的效益變化趨勢 ， 利用灰色預測模

29、型對這兩個行業(yè)的效益做出了預 測； 同時考慮到非典的影響， 又對此模型進行了修正， 加入了信心指數。利用修正后的模型， 他們分別預測了2 0 0 3年旅游百貨行業(yè)和醫(yī)藥行業(yè)上半年業(yè)績 ， 與實際數據吻合較好 ， 用此 模型進一步分析得出， 在十一長假期間， 旅游百貨行業(yè)會有強勁的反彈。也有參賽隊考慮心 理狀態(tài)等影響旅游的因素， 更關心旅游市場的恢復期預測。他們的出發(fā)點是大多數人的出 游的決策受安全、 收入、 費用、 時間等多因素的影響， 不同的因素對于不同的人來說具有不同 的影響力 ， 各個因素的權重不同。但當象 s a r s這種對人身安全威脅極大的因素出現時， 安 全幾乎成了人們考慮是否出

30、游的決定因素。也就是說影響人們出游的各個因素的權重發(fā)生 了很大的變化。而當s a r s得到控制以后， 雖然安全系數大大升高， 但是安全顧慮仍然會持 續(xù)一段時間， 還是人們考慮出游的重要因素， 直到人們對 s a r s的顧慮完全消除。因而建立 模型時， 采用了層次分析和數據擬合相結合的方法。首先通過層次分析法和一些合理的假 設， 歸納出一個帶有參數的多項式。再根據該多項式的形式， 結合已知數據表中部分合理的 數據， 作 出了一條擬合曲線 ， 由此曲線得到了對未來幾個月游客數量的預測。 4 )給報社寫短文 給報刊寫短文就是要讓群眾認識到傳染病的危害， 認識到數學模型在研究傳染病流行 規(guī)律方面的

31、重要作用。 傳染病歷來是危害人類健康的大敵， 歷史上傳染病一次次的流行給人類生存和國計民 生帶來了巨大的災難。2 0 世紀是人類征服傳染病取得最輝煌成果的時期： 肆虐了近千年的 天花終于被消滅了； 麻風病、 脊髓灰質炎被徹底消滅的日子也為期不遠了； 白喉、 麻疹、 百 e t 咳、 破傷風等病已在許多國家得到遏制； 多種抗生素的問世， 使一度給人類造成巨大災難的 “ 瘟疫” 不再危害人間。然而， 人類要征服傳染病 ， 道路依然曲折漫長。隨著國際貿易和交往 的發(fā)展、 生態(tài)環(huán)境的變化以及病原體和傳播媒介抗藥性的增強， 原來已滅絕或被控制的許多 傳染病( 如性病 、 結核病) 等再次抬頭并且不斷蔓延

32、。一些新近出現的傳染病也來勢兇猛( 如 維普資訊 第 7 期 s a r s 傳播預測的數學模型 5 9 艾滋病、 s ar s ) 。人類將長期面臨著傳染病的嚴峻威脅， 對傳染病發(fā)病機理、 傳染規(guī)律和防 治策略研究的重要性 日益突出， 且已成為當今世界需要迫切解決的一個重大問題。正如世 界衛(wèi)生組織 wh o發(fā)表的報告所述 ， 傳染病依然是人類 的第一殺手。 疾病的傳播問題是有一定規(guī)律， 可以預測。早在 1 7 6 0年 d b e r n o u ll i 就曾用數學研究 過天花的傳播 ； 1 9 0 6年 h a me r 為了理解麻疹的反復流行 ， 構造并研究了一個離散時間模型； 1 9

33、 1 1 年公共衛(wèi)生醫(yī)生 r o s s 博士利用微分方程模型對瘧疾在蚊子與人群之間傳播 的動態(tài)行 為進行了研究， 其結果表明， 如果將蚊子的數量減少到一個臨界值以下， 那么瘧疾的流行將 會得以控制。r o s s 的這項研究使他獲得了 n o b e l 醫(yī)學獎。1 9 2 6年 ke r m a c k與 mc k e n d r i c k 研究了 1 6 6 5 -1 6 6 6年黑死病在倫敦的流行規(guī)律以及 1 9 0 6 年瘟疫在孟買的流行規(guī)律。傳染 病動力學的建模與研究于 2 0世紀葉開始蓬勃地發(fā)展 1 5 ， 1 6 。 傳染病傳播的數學模型可以用來描述疾病的發(fā)展變化過程， 有效

34、、 經濟、 迅速、 明確地給 出疾病發(fā)生的數量規(guī)律， 為人們的決策提供數量依據； 并對各種檢測、 防治、 治療及控制措施 進行評價和比較， 以控制疾病的流行。2 0 0 1 年倫敦大學帝國學院的流行病學家 r o y a n d e r s o n等還為英國的口蹄疫爆發(fā)建立起數學模型，提供了大量的客觀證據，促使英國首相托 尼 布萊爾領導的政府下令大規(guī)模屠宰牲畜， 阻止了疾病的蔓延， 這就是一個成功的例子。 這次 a 、 c題的參賽隊大多能寫出一篇較好的短文， 說明數學建模在研究傳染病流行規(guī) 律方面的重要作用。簡述 自己的建模方法和所得到的結論 ， 提 出了對 s a r s傳播進行控制 的很好

35、的建議。 給報刊寫通俗短文還應考慮到讀者面， 應該用讀者可按受的語言來說明建立傳染病數 學模型的重要性。這方面， 有些參賽隊做得是比較成功的， 本文的附錄就是一個范例。 這里還應當指出， 傳染病的數學模型和預測只能為有關部門提供決策的數量參考， 由于 統(tǒng)計數據和傳播機理等方面的限制， 不可能預測得很精確， 只能預測傳播發(fā)展的趨勢， 尤其 是在一個傳染病傳播的初期更是如此， 不應將數學模型預測和分析的效果過分夸大。 3 對 s a r s 建模和預測進一步的思考 s a r s在我國和世界范圍內的流行已經結束， 但人們仍然關心還會不會有下一次的 s a r s流行， 別的傳染病出現應該怎樣應對，

36、 有關 s a r s和新發(fā)傳染病的研究一直在繼續(xù)。 有一點是肯定的， 除s a r s外， 今后還會有其它類型傳染病在不同的范圍內流行， 所以， 公共 衛(wèi)生體系需要不斷加強， 對傳染病的研究工作不能停止。這次競賽通過對 s a r s的建模、 預 測及其經濟影響的分析， 可以使得我們對 s a r s和其它傳染病的傳播機理有更深入的了 發(fā)現問題、 積累經驗。這些參賽學生中有一部分以后會在醫(yī)療衛(wèi)生部門或政府機關工作， 數 學建模的訓練和競賽經歷會使得他們在今后的工作中發(fā)揮作用， 對防治工作起到幫助。 這次競賽中經過三天的奮戰(zhàn)， 同學們經受了鍛煉， 對傳染病建模有了初步的體會， 取得 了良好的成

37、績。但在答卷中也存在下面幾個問題。 1 )不少隊在確定模型的參數時幾乎用上了賽題中給出的所有數據， 然后再代入模型中 作預測， 指出預測結果與實際統(tǒng)計值很接近， 幾乎沒有誤差。這反映出他們沒有真正體會傳 染病建模和 測的思想。實際中最需要的是在一種疾病傳播初期收集到少量數據的基礎上 建模預測以后的發(fā)展情況， 當一個疾病流行結束后， 所有數據都有了， 預測就失去價值。所 以應當只用一部分數據進行預測， 而用其余數據作檢驗。 維普資訊 6 0 工程數學學報 第 2 o卷 2 )在疾病的傳播過程中， 對流行狀況影響很大的是再生數， 即一個病人在患病期間平 均感染的人數， 這在流行病傳播中是個十分重要

38、的參數。要將一個傳染病控制住， 實際上就 是要通過各種措施使得再生數小于 1 。答卷中提到再生數概念和對它作出估計的很少， 也 沒有分析我 國的控制措施對再生數的影響。 3 ) 閱讀的資料、 收集的數據不足。許多隊僅對北京的s a r s傳播情況進行了建模預 測， 沒有涉及其它地區(qū)， 經濟的影響也是就題目之中給出的旅游數據進行了分析， 沒有收集 其它數據 ， 沒有看到 s a r s對某些行業(yè)帶來的促進作用。 4 ) 盡管全國組委會特別要求參賽同學簽名保證不抄襲別人的成果。如果引用公開的 資料( 包括網上查到的資料) ， 必須在正文和參考文獻 中明確列出。但仍有一些答卷明顯地 違背了他們的保證

39、。全國組委會已經取消了這些隊的全國評獎資格。 在這次數學建模競賽過程中， 同學們也遇到了不少困難， 如傳播機理和過程不是十分清 楚， 在確定參數時能得到的數據不足， 缺乏患者被感染和感染給別人、 確診與治愈等的個案 資料， 而潛伏期的感染情況、 超級傳播者的傳播鏈、 流動人v i 的數據及流動人12 i 中的感染情 況等數據也明顯不足。對于 s a r s 及類似傳染病的建模分析還有許多問題值得探討， 包括： i ) 如何從模型中能反映出對疾病的傳播規(guī)律有重要影響的、 但不能完全量化的因素或 不易確定的因素。如全體人12 i 都是易感者， 但真正與 s a r s病人接觸的僅是極少數； 對潛伏

40、 期、 就診或隔離前以及治療期的接觸與傳染率的估計； 對于不同級別( 如學校、 單位和居民區(qū) 半封閉狀態(tài)) 的隔離措施的描述和效果的評價 ； 各個省、 區(qū)之間人口流動的影響 ； 少病例的省 市和地區(qū)內疾病傳播情況的描述； 醫(yī)院內部感染情況的描述； s a r s向農村、 牧區(qū)擴散情況 的描述； 隱性感染者對疾病傳播的影響等。 i i ) 探討在建立模型時如何對總人口進行分組以及對隨機現象做出描述 ； 如何根據流行 病學的特征， 以及年齡、 行為、 地域分布和流動等因素， 研究影響傳染病預測控制機制的人口 分組分層問題； 鑒于患病者傳染力之間的差異、 受體易感程度的差異、 人口流動以及重疫區(qū) 人

41、口向周邊地區(qū)和農村、 牧區(qū)擴散的隨機性、 各地區(qū)間發(fā)病情況與預防控制強度的差異、 統(tǒng) 計數據的誤差等， 研究具有諸多隨機 因素的建模問題。 i i i ) s a r s及突發(fā)性傳染病的數據挖掘問題。對于像“ s a r s ” 這類新的突發(fā)惡性傳染病， 在流行初期由于病因不清和經驗不足， 難以作出合理判斷。我們需要研究如何從人類以往 積累的大量傳染病流行資料中提取類似的相關數據和信息進行模式識別， 并建立實時自適 應學習機制， 用以不斷完善數學模型。我們需要研究從僅有的少量數據和以前積累的相關 傳染病資料中提取信息， 建立初步模型， 估計疾病傳播的流行病學參數和流行模式， 探討基 于少量數據

42、的理論和方法， 發(fā)展一種對突發(fā)惡性傳染病的快速反應決策技術。我們應當進 一 步完善已有的工作， 在建模的基礎上開發(fā)出一套實用的預測軟件。 參考文獻 ： 1 wh o h t t p ： w w w w h o i n t c s r s a r s c o u n t r y 2 0 0 3 0 6 2 3 e n 2 mi n i s t r y o f h e a l t h p r c h i n a h t t p ： w w w m o h g o v c n w a s 4 0 d e t a i l ?r e c o r d =8 2 &c h a n n e l i d = 3

43、 4 3 8 5 3 b s k a m p s ， & c h o f f m a n n ， s a r s r e f f e r e n c e 一0 5 2 0 0 3 ， s a r s r e f f e r e n c e c o m， f l y i n g p u b l i s h e r ， 維普資訊 第 7 期 s a rs 傳播預測的數學模型 6 1 ma y 2 0 0 3 4 盂繼鴻， 邱海波 s a r s 基礎與臨床 南京： 東南大學出版社， 2 0 0 3 5 c a d o n n e l l y e t a 1 ， e p i d e mi o lo

44、g i c a l d e t e r mi n a t s o f s p r e a d o f c a u s a l a g e n t o f s e v e r e a c u t e r e s p i r a t o r y s y n d r o me i n ho n g ko n g ，th e la n c e n t ，pu b l i s h o n l i n e ma y 7， 2 0 0 3，h t t p： i ma g e t h e l a c e n t c o m e x t r a s 0 3 a r t 4 4 5 3 we b p d f 6

45、7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 m li p s i t c h， e t a 1 ， tr a n s mi s s i o n d y n a mi c s a n d c o n t r o l o f s e v e r e a c u t e r esp i r a t o r y s y n d r o me ，pu b l i s h e d o n 1 i n e ma y 2 3 ， 2 0 0 3 ； 1 0 1 1 2 6 s c i e n c e 1 0 8 6 6 1 6( s c i e n c e e x p r e s s r e p o r t

46、s ) s r i l e y ， e t a 1 ， t r a n s mio n d y n a n c s 0 f t h e e t io l o g i c a l a g e n t o f s ar s i n h o n g k o ng ： i mt m c t o f p u b li c h e a l t h i n t e r v end o ns， p u b li s h e d o n l i n e ma y 2 3 ， 2 0 0 3 ； 1 0 1 1 2 6 s c i enc e 1 0 8 6 4 7 8( s c i enc e e x p r

47、e s s r e p o r t s ) g c h o we l l ，p w f e n i mo r e ，m a c a s t i l l o c a r sow，a n d c c a s r i l l o c h a v e z ，s ar s o u t b r e a k i n o n t a r i o ， h o n g k o n g ， a n d s i n g a p o r e ： t h e r o l e o f d i a g n o s i s a n d i s o l a t i o n a s a c o n t r o l me c h a

48、 n i s m， j o u r n a l o f th e o r e t i c a l b i o l o g y ， 2 0 0 3 ( 2 2 4 ) ， 1 8 ， 楊方廷， 侯立華， 韓軍等 北京 s a r s 疫情過程的仿真分析 系統(tǒng)仿真學報， 2 0 0 3 ( 1 5 ： 7 ) ， 9 9 1 9 9 4 陳吉榮， 楊方廷， 戰(zhàn)守義 北京 s a r s仿真模型的參數和初始值的處理 系統(tǒng)仿真學報， 2 0 0 3 ( 1 5 ： 7 ) ， 9 9 59 9 8 方兆本， 李紅星， 楊建萍 基于公開數據的s a r s流行規(guī)律的建模及預報 數理統(tǒng)計與管理， 2 0

49、0 3 ( 2 2 ： 5 ) ， 4 85 7 z h o u yi c a n g，ma zh i e n，fr e d br a u e r a di s c r e t e ep i d e mi c mo d e l f o r s ars tr a n s mi ssi o n a n d c o n t r o l i n c h i n a ，ma t h e ma t i c a l a n d co mp u t e r mo d e l i n g ， 2 0 0 3 wa n g we n d i ， s h i g u i r u a n s i mu l a t i

50、 n g s a r s o u t b r e a k i n b e i j i n g w i t h l i mi t e d d a t a j o u r n a l o f t h eor e r i c a l b i o l o g y， 2 0 0 4 mi n i s t r y o f he a l t h p r ch i n a h t t p： www mo h g o v c n wa s 4 0 o u d i n e ? p a g e=4&e h a n n e l i d=3 4 8 5 n t j b a i l e y th e ma t h e m

51、a t i c a l t h e o r y o f i n f e c t i o u s d i s eas e ， 2 n d e d ，ha f n e r ，ne w yo r k ， 1 9 7 5 馬知恩， 周義倉， 王穩(wěn)地， 靳禎 傳染病動力學的數學建模與研究 北京： 科學出版社 ， 2 0 0 4 th e m a t h e ma t i c a l m o d e l i n g a n d pr e d i c t i o n o f s ars tr a ns mi s s i o n z hou yi c a n g ， tang yu n ( 1 一x i a

52、n j i a o r o n g u n i v e r s i t y ， x i a n 7 1 0 0 4 9 ； 2 一 t s i n g h u a u n i v e r s i t y ， b e ij i n g 1 0 0 0 8 4 ) ab s t r a c t ：s ars t r a n s mi ssi o n i s o n e o f t h e c o n t est p r o b l e ms f o r cumcm 一2 0 0 3i t i s a n o p e n p r o b l e m i n v est i g a t e d i n

53、 o v e r t h e w o r l d s e v e r a l ma t h e ma t i c a l mo d e l s t o p r e d i c t s a rs t r a n s mi ssi o n we r e est a b l i s h e d i n t h e a r t i c l es s u b mi t t e d b y t h e s t u d e n t t e a ms a b r i e f s u mma r y o f t h e c o n t est r e s u l t s i s p r e s e n t e

54、d i n t h i s p a p e r 附錄： 短文( 作者為中山大學 梁田貴， 汪卉琴， 劉琴) s a r s與數學模型 九月的北京， 秋高氣爽， 大街上人來人往， 熱鬧非凡。人們對于那段談“ 非” 色變的日子 似乎已漸漸淡忘， 只是偶爾在大街上看到一兩個人戴著口 罩， 回想起那段日子， 還會為自己 當時莫名的恐慌而 自嘲。 人們恐慌的心理， 才是傳染病最可怕的影響。 當流言滿天飛， 大家盲目搶購的時候， 是因為我們不了解疫情的情況， 所以恐慌。 維普資訊 6 2 工程數學學報 第2 0 卷 當大家害怕得藏在家里， 見到親人朋友連握手都擔心的時候， 是因為我們對傳染病的傳 播途徑不

55、了解， 所以恐慌。 當政府說明已采取了許多措施， 而大家看到醫(yī)院每日收治病人仍然不斷攀升的時候， 是 因為我們不了解傳染病的發(fā)展規(guī)律， 所以恐慌。 這一切的恐慌 ， 都是因為我們不了解疫情而帶來的。而要全面了解、 控制疫情， 除了相 關的醫(yī)學知識外， 重要的問題之一是建立恰 當的數學模型。 如果在疫情一開始， 我們對傳染病的常用數學模型有一定的認識 ， 了解如何確定一種傳 染病 的危害程度 ， 何時進行控制 ， 如何用科學的觀點， 詳細的數據向民眾解釋， 我們就不會因 為盲 目而恐慌。 如果我們了解基本傳染病傳播規(guī)律以及相應模型的決定因素， 那么我們在生活中也可 以通過控制這些因素以有效控制疾病， 而不必恐慌。 如果我們知道傳染病的發(fā)病曲線， 我們也不會為新聞發(fā)布新的各種疫情數字而恐慌。 今天， 在網上搜索一下“ s a r s 數學模型” ， 我們可以找到近千篇文章， 十幾種基本的傳 染病數學模型及其改進的模型， 也許這些模型不一定很符合這次s a r s傳播的實際情況， 也 許我們對這些模型中的各種深奧