1、,斯托克斯公式,第七節(jié),一、斯托克斯公式,*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,第十一章,平面上 的二重積分,區(qū)域邊界曲線上 的曲線積分,Green公式,推廣,曲面上的第二類 曲面積分,區(qū)域邊界曲線上 的曲線積分,Stokes公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線,(斯托克斯公式),個空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 的,側(cè)與 的正向符合右手法則,在包含 在內(nèi)的一,證:,情形1 與平行 z 軸的直線只交于,一點,設(shè)其方程為,為確定起見, 不妨設(shè) 取上側(cè) (如圖).,則有,簡介

2、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,(利用格林公式),定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此,同理可證,三式相加, 即得斯托克斯公式 ;,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點多于一個,則可,通過作輔助線面把 分成與z 軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿輔助,曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這,類曲面斯托克斯公式仍成立.,注意: 如果 是 xoy 面上的一塊平面區(qū)域,則斯托克斯,公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,證畢,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,為便于記憶, 斯托克斯公式還可

3、寫作:,或用第一類曲面積分表示:,定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 利用斯托克斯公式計算積分,其中為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整個,解: 記三角形域為, 取上側(cè),則,邊界, 方向如圖所示.,利用輪換對稱性,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 為柱面,與平面 y = z 的交線,從 z,軸正向看為順時針, 計算,解: 設(shè)為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 ,且取下側(cè),利用斯托克斯公式得,則其法線方向余弦,公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3. 計算積分,解法一：直接計算,與柱面,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其中為上半球面,從z軸正向看，

4、取逆時針方向.,的交線，,的參數(shù)方程為：,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法二：用Stokes公式，取為球面被柱面截下的部分，取上側(cè)，則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解法三：用Stokes公式，取為柱面夾在球面與xoy平面之間的部分1和xoy平面被柱面截下的部分2 ， 1取外側(cè)， 2取上側(cè)，則原式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,從這幾個例子可以看到，使用Stokes公式的關(guān)鍵是,選取合適的以為邊界的曲面.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,*二、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件,定理2.,設(shè) G 是空間一維單連通域,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個條件相互等價:,(1) 對

5、G內(nèi)任一分段光滑閉曲線 , 有,(2) 對G內(nèi)任一分段光滑曲線 ,與路徑無關(guān),(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使,(4) 在G內(nèi)處處有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,證:,由斯托克斯公式可知結(jié)論成立;,(自證),設(shè)函數(shù),則,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,同理可證,故有,若(3)成立, 則必有,因P, Q, R 一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),故有,同理,證畢,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,與路徑無關(guān), 并求函數(shù),解: 令, 積分與路徑無關(guān),因此,例3. 驗證曲線積分,定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1. 斯托克斯公式,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在內(nèi)與路徑無關(guān),在內(nèi)處處有,在內(nèi)處處有,2. 空間曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件,設(shè) P, Q, R 在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,作業(yè),P238 1; 2,習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,斯托克斯(1819-1903),英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家.,他是19世紀(jì)英國,數(shù)學(xué)物理學(xué)派的重要代表人物之一,其,主要興趣在于尋求解重要數(shù)學(xué)物理問題,的有效且一般的新方法,在1845年他導(dǎo),出了著名的粘性流體運動方程 ( 后稱之,為納維