1、1.6值域、核與不變子空間,一、定義和若干性質 定義 1.2.1 (P.23) 線性變換的象空間和零空間 設線性映射T：VU， 值域 R(T)=： V ，=T()U 核空間 N（T）=： V，T ( ) =0 定理1.10 N(T), R(T)分別是V,U的子空間 基于以上原因，所以T值域又稱為T的象子空間， 的核子空間又稱為的零子空間.,定義1.14 設T是線性空間V上的線性變換，R(T)的維數 稱為T的秩，記為rankT；而N(T)的維數稱為T的零度或虧度， 記為nullT. T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T） 定理1.11 設T是n維線性空間V上的線性變換，且T在

2、V的一組 基 下的矩陣是A，則 （1）T的值域R(T)是 生成的子空間，即 （2）T的秩 =r(A).,例1.35由例1.31知R3上的投影變換f:(a,b,c)(a,b,0)，在自然基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3-(0,0,1)下的矩陣為 由定理1.11知的T秩 =2. 事實上，由例1.34知：R3上的投影變換f的值域就是xoy平面.,定理1.12設V,U分別是數域P上的n維和m維線性空間， T:VU的線性映射，則 Dim R(T)+dim N(T)=n,設A,為,階矩陣，稱,為矩陣,A的值域；,為A的核,。,、,稱為,的秩和零度。,（2）,推論,（3）,，,n為A的列數

3、。,（1）,（2）,例1.36設 在R22上的線性變換定義為 求T的值域R(T)及核子空間N(T)基與維數，并問 R(T)+N(T)是否是直和？,=,定理1.13 設V,U是有限維線性空間,線性變換 T:VU 則T是單射當且僅當N（T）=0 ; T是滿射當且僅當R(T)=U.,定理1.14 設V是n維線性空間,線性變換T：VV 則以下條件等價： （1） T是單射； （2） T是滿射； （3） T是雙射。,二、R上線性方程組求解理論,設,把A看成RnRm的線性映射,x Rn,xy=Ax Rm,A=(1, 2, n),則有,定理1.15,(1)R(A)=Span,1, 2, n,;,(2) dim

4、R(A)=r(A),其中r(A)是A的秩.,我們利用線性映射中零空間與值域的概念，來討論,線性方程組的求解問題,定理1.16,設,則,（1）線性方程組,有解當且僅當,（2）線性方程組,有唯一解當且僅當,（3）線性方程組,有無窮多解當且僅當,推論 在上面的定理中，取b=0,則有,（1）線性方程組,必有解；,（2）線性方程組,只有零解當且僅當,（3）線性方程組,有無窮多解當且僅當,關于矩陣秩的有關結論,定理1.17,設ARmn,BRnl,則,（1）r(AB)=r(B)-dimN(A)R(B),（2）r(AB)=r(A)-dimN(BT)R(AT),證明：我們定義線性映射C ：R(B)R(A),xy

5、=Ax R(A),則N(C)=R(B)N(A),R(C)=R(AB).,事實上，若x R(B)且Ax=0,則x R(B) N(A),從而 N(C)R(B)N(A),反之若x R(B) N(A),則 x R(B)且x N(A),所以Ax=0,從而xN(A),故,N(C)R(B)N(A),于是N(C)R(B)N(A)。,又 R(C)=A(R(B)=A(B(Rl)=AB(Rl)=R(AB),由維數公式知 dimR(B)= dimR(C)+dimN(C) =dimR(AB)+ dimN(A)R(B),也即r(AB)=r(B)-dimN(A)R(B)。,又由r(BTAT)=r(AB)以及r(B)=r(B

6、T)知,r(AB)=r(A)-dimN(BT)R(AT)成立。,推論 Sylverster不等式：,minr(A),r(B)r(AB)r(A)+r(B)-n,其中，n是矩陣A的列數。,證明：左邊顯然成立。對于右邊，由于dimR(B)N(A) dimN(A),利用上面的定理則有R(AB)=r(B)- dimR(B)N(A) r(B)-dimN(A)=r(B)-n-r(A)=r(B)+r(A)-n.,定理1.18 設ARnn,則下列條件等價,1） N(A)=N(A2);,2） dimN(A)=dimN(A2);,3） r(A)=r(A2);,4） R(A)=R(A2);,5） N(A)R(A)=0;,6） Rn=N(AR(A);,7）,其中P是n階可逆矩陣，D的r階可逆矩陣，r=r(A).,8） A=QA2.,定理1.19 設A Rnn,則以下條件等價：,1）A2=A;,2）R(A+I)=N(A-I)以及R(AI)=N(AI)； 3） r(A+I)+r(A-I)=n; 4) Rn=N(A+I)+N(A-I).,例1.37 平面上全體向量，對如下定義的加法和數乘 則R2按照上述定義不構成R上的線性空間。,例38設 記 求證L(A)為