1、返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,瑞利(Rayleigh)能量法 李茲(Ritz)法 子空間迭代法,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,在求解多自由度系統(tǒng)的固有頻率和主振型的問(wèn)題時(shí)，隨著系統(tǒng)自由度數(shù)目的增加，這種求解計(jì)算工作量也隨之加大。因此，通常要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。 常用的數(shù)值計(jì)算方法有： 瑞利法 李茲法 子空間迭代法 下面介紹這幾種常用的數(shù)值計(jì)算方法及計(jì)算機(jī)的應(yīng)用。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法,返回首頁(yè),Theory of Vi

2、bration with Applications,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,單自由度系統(tǒng),運(yùn)動(dòng)微分方程,位移函數(shù),速度函數(shù),瑞利商：,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,設(shè)A為振型矢量，對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其最大動(dòng)能和最大勢(shì)能為,對(duì)于保守系統(tǒng)，由能量守恒，則有,若A是系統(tǒng)的第i階主振型A(i)，則得相應(yīng)的主頻率的平方,若A是任意的n維矢量，則可得,稱為瑞利商為了區(qū)別用位移方程求得的值，又稱之為瑞利第一商。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applica

3、tions,瑞利第一商值是否為系統(tǒng)某一主頻率的平方，則決定于所取矢量A。如果A與某一主振型矢量接近，則所得瑞利商是相應(yīng)的固有頻率的近似值。實(shí)際上，對(duì)高階振型很難做出合理的假設(shè)，而對(duì)于第一階主振型則比較容易估計(jì)，所以此方法常用于求基頻，現(xiàn)推證如下。 按照振型疊加的原理，系統(tǒng)的任何可能位移，包括假設(shè)振型，都可以描述為各階主振型的線性組合?，F(xiàn)取假設(shè)振型A是正則振型矢量的線性組合，即,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,現(xiàn)取假設(shè)振型A是正則振型矢量的線性組合，即,是組合系數(shù)的列矩陣，且為非全為零的常數(shù),C

4、i可用振型的正交條件求出。即,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,由此可見(jiàn)，瑞利商的平方根是基頻1的近似值。假設(shè)振型越接近于真實(shí)的第一階振型，則結(jié)果越準(zhǔn)確。通常，以系統(tǒng)的靜變形作為假設(shè)振型，可以得到較滿意的結(jié)果。,1,由于假設(shè)振型A接近于第一階主振型，所以有，,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with

5、 Applications,可以看出，用瑞利法求出的基頻近似值大于實(shí)際的基頻1 。這是由于假設(shè)振型偏離了第一階振型，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了約束，因而增加了剛度，使求得的結(jié)果高于真實(shí)的值。,由于 1,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,如果采用位移方程描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，即,同理，若A是任意的n矢量，則有,稱為瑞利第二商,若假設(shè)振型接近于第一階主振型時(shí)，則 是基頻 的近似值,給出同樣假設(shè)振型的同一振動(dòng)系統(tǒng)，用瑞利第二商計(jì)算的結(jié)果，要比用瑞利第一商計(jì)算的結(jié)果更精確一些。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)

6、值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,例1 用瑞利法求圖示三自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的第一階固有頻率的估值。已知k1=k2=k3=k；I1=I2=I3=I。,解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為,計(jì)算得,求第一階固有頻率的估值，取假設(shè)振型,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,在上面的計(jì)算中，假設(shè)振型比較“粗糙”，與該系統(tǒng)的第一階固有頻率 ，精確到第四位值的比較誤差較大。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of

7、Vibration with Applications,如果進(jìn)一步改進(jìn)假設(shè)振型，即以靜變形曲線為假設(shè)振型，如設(shè),顯然，在工程上，若以靜變形曲線作為假設(shè)振型，可以得到很好的第一階固有頻率的近似值。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法瑞利法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,用瑞利法估算的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對(duì)第一階主振型的近似程度，而且其值總是精確值的上限。 李茲法對(duì)近似振型給出更合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進(jìn)一步下降，并且還可得系統(tǒng)較低的前幾階固有頻率及相應(yīng)的主振型 在李茲法中，系統(tǒng)的近似主振型假設(shè)為,是選取的s個(gè)線性獨(dú)立的假設(shè)

8、振型,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法李茲法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,由于 在系統(tǒng)的真實(shí)主振型處取駐值，這些駐值即相應(yīng)的各階固有頻率的平方 ，所以a的各元素由下式確定,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法李茲法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,n個(gè)自由度縮減至s 自由度。,剛度矩陣,質(zhì)量矩陣,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法李茲法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,李茲法是一種縮減系統(tǒng)自由度數(shù)的近似方法。,頻

9、率方程,求出s個(gè)固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。,解出其相應(yīng)的特征矢量,求出n自由度系統(tǒng)的前s階主振型,正交性,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法李茲法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,對(duì)于瑞利第二商,利用駐值條件可得s個(gè)方程，將其寫成矩陣形式,特征方程,求出s個(gè)固有頻率，即n自由度系統(tǒng)的前s階固有頻率。,解出其相應(yīng)的特征矢量,求出n自由度系統(tǒng)的前s階主振型,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法李茲法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,例2 用李茲法求圖示四自由度振動(dòng)系

10、統(tǒng)的前二階固有頻率及主振型。,解：由條件可求出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣,設(shè)振型,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法李茲法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,求出,求出2個(gè)固有頻率，即4自由度系統(tǒng)的前2階固有頻率。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法李茲法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,求出系統(tǒng)的前二階主振型,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法李茲法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,將矩陣迭代法與李茲法結(jié)合起

11、來(lái)，可以得到一種新的計(jì)算方法，即子空間迭代法。 它對(duì)求解自由度數(shù)較大系統(tǒng)的較低的前若干階固有頻率及主振型非常有效。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,計(jì)算系統(tǒng)的前P階固有頻率和主振型，按照李茲法，可假設(shè)s個(gè)振型且sP。 將這些假設(shè)振型排列成ns階矩陣，即,其中每個(gè) 都包含有前P階振型的成分，也含有高階振型的成分。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,為了提高李茲法求得的振型和頻率的精確度

12、，將A0代入動(dòng)力矩陣中進(jìn)行迭代，并對(duì)各列陣分別歸一化后得,這樣做的目的是使 比A0含有較強(qiáng)的低階振型成分，縮小高階成分。但如果繼續(xù)用 進(jìn)行迭代，所有各階振型即 的各列都將趨于A(1)。,為了避免這一點(diǎn)，可以在迭代過(guò)程中進(jìn)行振型的正交化。,用李茲法進(jìn)行振型正交化具有收斂快的特點(diǎn)。因?yàn)樗抢萌鹄●v值的條件，尋求s2個(gè)aij的系數(shù)，使得 的每一列都成為相對(duì)應(yīng)振型A(i)的最佳近似。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,所以用 作為假設(shè)振型，再按李茲法求解，即設(shè),可求得廣義質(zhì)量矩陣和廣義剛度矩陣

13、,ss階待定系數(shù)方陣,得到s個(gè)值 及對(duì)應(yīng)的特征矢量,再由李茲法特征值問(wèn)題，即求解方程,從而求出,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,然后，以求出的 作為假設(shè)振型進(jìn)行迭代，可求得,與李茲法特征值問(wèn)題，解出 。,由李茲法，即,不斷地重復(fù)矩陣迭代和李茲法的過(guò)程，就可以得到所需精度的振型和固有頻率。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,迭代的功能是使這s個(gè)矢量的低階成分不斷地相對(duì)放大，即向 張成的子空間靠攏。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applic

14、ations,子空間迭代法是對(duì)一組假設(shè)振型反復(fù)地使用迭代法和李茲法的運(yùn)算。 從幾何觀點(diǎn)上看，原n階特征值系統(tǒng)有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征矢量，它們之間是正交的，張成一個(gè)n維空間。,而假設(shè)的s個(gè)線性無(wú)關(guān)的n維矢量 張成一個(gè)s 維子空間，,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,如果只迭代不進(jìn)行正交化，最后這s個(gè)矢量將指向同一方向，即A(1)的方向。 由于用李茲法作了正交處理，則這些矢量不斷旋轉(zhuǎn)，最后分別指向前s個(gè)特征值的方向。,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,即由張成的一個(gè)s 維子空間，,經(jīng)反復(fù)地迭代正交化的旋轉(zhuǎn)而逼近于由,所張成的子空

15、間。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，最低的幾階振型一般收斂很快，經(jīng)過(guò)二至三次迭代便已穩(wěn)定在某一數(shù)值。 在以后的迭代中不能使這幾個(gè)低階振型值的精度進(jìn)一步提高，只是隨著迭代次數(shù)的增加，將有越來(lái)越多的低階振型值穩(wěn)定下來(lái)。 所以，在計(jì)算時(shí)要多取幾個(gè)假設(shè)振型，如果所需求的是P個(gè)振型，則假設(shè)振型個(gè)數(shù)s一般應(yīng)在2P與2P+8之間取值。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,子空間迭代法

16、有很大的優(yōu)點(diǎn)，它可以有效地克服由于等固有頻率或幾個(gè)頻率非常接近時(shí)收斂速度慢的困難。 同時(shí)，在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析中，系統(tǒng)的自由度數(shù)目可達(dá)幾百甚至上千，但是，實(shí)際需用的固有頻率與主振型只是最低的三、四十個(gè)，通常對(duì)此系統(tǒng)要進(jìn)行坐標(biāo)縮聚。 與其它方法相比，子空間迭代法具有精度高和可靠的優(yōu)點(diǎn)。因此，它已成為大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的最有效的方法之一。,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,例3 用子空間迭代法求例2中所示系統(tǒng)的前二階固有頻率及振型。,解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣已由例2求出。,

17、現(xiàn)取假設(shè)振型,由動(dòng)力矩陣迭代得到,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,將各列分別歸一化得,求得,再由李茲法特征值問(wèn)題為,其中,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,由上述方程有非零解的條件，得頻率方程為,各列分別歸一化后，得,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方法子空間迭代法,返回首頁(yè),Theory of Vibration with Applications,重復(fù)上述過(guò)程進(jìn)行第二次迭代，由,歸一化后得,則有,由,多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)的數(shù)值計(jì)算方