1、數(shù)學分析,1 拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性 2 柯西中值定理和不定積分 3 泰勒公式 4 函數(shù)的極值和最大(小)值 5 函數(shù)的凸性和拐點 6 函數(shù)圖像的討論,第六章 微分中值定理及其應用,第六章 微分中值定理及其應用,4 函數(shù)的極值和最大(小)值,教學內(nèi)容：函數(shù)的極值與最值 教學重點：函數(shù)極值與最值的確定 教學難點：函數(shù)極值充分條件 教學要求：掌握函數(shù)極值的第一、第二充分條 件，學會求閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最 值的基本方法,4 函數(shù)的極值與最大(小)值,4 函數(shù)的極值與最大(小)值,二、最大值與最小值,極大(小)值是局部的最大(小)值, 它,一、極值判別,們將逐一研究函數(shù)的這些幾何特征.,有著很明顯

2、的幾何特征. 在本節(jié)中,我,函數(shù)的極值不僅在實際問題中占有重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征,費馬定理告訴我們.可微函數(shù)的極值點一定是穩(wěn),一、極值判別,我們在這里再次強調(diào): 費馬定理是在函數(shù)可微的,定是水平的.,定點. 也就是說, 在曲線上相應的點處的切線一,條件，費馬定理的結(jié)論 就無從說起.,條件下建立的. 換句話說，若沒有可微這個前提,當然，費馬定理的逆命題亦不真. 例如對于任意,于是得極值的必要條件：,極值點.,的可微函數(shù)導數(shù)為零也不一定取得極值.,如冪函數(shù)y=x3，在 x=0,可微函數(shù)的極值點一定是導數(shù)為零.,下面給出極值的充分條件.,定理6.10 (極值的第一充分條件) 設函

3、數(shù) f (x) 在,是極值點情形,不是極值點情形,定理 6.10 的幾何說明,根據(jù)導函數(shù)的符號判別函數(shù)單調(diào)性的方法， 可,出 (i) 的證明， (ii) 的證明類似.,以知道定理的幾何意義十分明顯. 在這里僅給,證明 利用導函數(shù)符號得出函數(shù)的單調(diào)性方法.,于是,確定函數(shù) 的定義域，求出導函數(shù) ；,找出函數(shù) 的所有駐點（由 ）,以及所有 不存在的點；,利用第一充分條件，檢查上述的點兩側(cè)鄰近,的符號（列表完成）。,第一充分條件求極值的步驟歸納如下：,定理 6.11 (極值的第二充分條件) 設 f (x) 在點 x0,證 同樣我們僅證(i). 因為,所以由保號性，,由極值判別的第一充分條件得知: x

4、0 是極小值點 .,注：只有二階導數(shù)存在且不為零的駐點才可以,用本定理判別法；,使用本定理時，一般要求二階導數(shù)的計算相對 較為容易；,證明 要點,注 建議同學們與教材上的證明方法相比較, 這里,的證明方法更簡單且具有一般性.,例1,解 由,求得穩(wěn)定點,只能用第一充分條件進行判別。,對于二階導數(shù) 不存在的點、不可導的點，,所以,(參見右圖),例2,解,穩(wěn)定點為 x = 0 ，沒有不可導點.,為了更好地加以判別，我們列表如下：,即,是極小值.,請同學們自行討論.,即,解,由定理6.11, x = 6是極小值點, f(6)=108是極小值.,試問這里為什么不考慮不可導點 x = 0?,例4,解,定理

5、 6.12 ( 極值的第三充分條件 ) 設 f 在點 x0 的,某鄰域內(nèi)存在直到,對于 的情形, 可借助于更高,階的導數(shù)來判別.,證 由泰勒公式, 有,(ii) n 為奇數(shù)時, 不是極值點 .,其中 它在某鄰域,內(nèi)恒與 同號.,這就說明,了 不是極值點.,例5,所以由第二判別法,解,求得極小值為,因此 x = 1 不是極值點( n = 3 是奇數(shù) ). 又因,而對于穩(wěn)定點 卻無法知道結(jié)果, 我們嘗試,用第三充分條件來進行判別. 由于,( n = 4是偶數(shù) ).,注 第三充分條件并不是萬能的. 例如 x = 0 是,所以無法用定理 6.12 來判別.,二、最大值與最小值,由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì), 若

6、f (x) 在 a, b 上連續(xù), 那,只可能在極值點、區(qū)間端點和不可導點之中取得.,一定是極大(小)值. 這也就告訴我們: 最大(小)值,區(qū)間內(nèi)部(不是端點)取得最大(小)值, 那么這個值,因為極大(小)值是局部的最大(小)值, 故若函數(shù)在,值提供了強有力的保證.,么一定有最大、最小值, 這對求函數(shù)的最大(小),下面具體介紹求函數(shù)最大(小)值的方法.,(3) 設(1)和(2)的點為 由前面的分析,可知 f(x) 在 a, b上有:,上的最大、最小值.,解,所以,在 x = 0 連續(xù)，由導數(shù)極限定理推知,故在 x = 0 不可導.,所以,這樣就得到不可導點為 0, 穩(wěn)定點為 1, 2. 又因,

7、例7 一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方程正比已知當速度為10（km/h）,燃料費為每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用為每小時96元問輪船的速度為多少時，每航行 1km 所消耗的費用最??？,解,上無極小值點. 所以最小值只能在端點取到, 故,證,就是要證 F(x) 的最小值非負.,例9 如圖所示, 剪去正方形,時, 盒子的容積最大.,去的小正方形的邊長為何值,制成一個無蓋的盒子, 問剪,四角同樣大小的小正方形后,解 設正方形的邊長為 a, 每一個小正方形的邊長,因為,為 x，則盒子的容積為,僅有唯一的極值, 那么這個極(大)值一定是最大,例10 設某商店每天向工廠按出廠價每件3元購進,小

8、正方形后，得到最大容積為 的無蓋盒子.,值.所以問題的解為:在四個角上截取邊長為 的,為 400 件. 若零售價每降低 0.05元，可多售 40 件,一批商品零售,若零售價定為每件 4 元,估計銷售量,解 設每件定價為 p，購進 x 件( 應該全部賣完 ),問每件定價多少和從工廠購進多少時才能獲得最,大利潤.,則利潤為由條件 p 與 x 的關(guān)系為,結(jié)論：,(1) 定價為 3.75 元 / 件時可獲最大利潤 450 元;,(2) 應從工廠購進,L(3.75)=450(元) 是極大值. 因為 L(p) 在所討論的,區(qū)間上僅有一個極值，所以 L(3.75) 就是最大值.,復習思考題,1. 若 f (

9、x) 在 x0 取極大值，是否可斷定在 x0 充分,2. 若 f(x) 在區(qū)間 I 上連續(xù)，且僅有惟一的極值點,考察例子:,小鄰域內(nèi), f (x) 在 x0 的左側(cè)遞增，右側(cè)遞減？試,必為 I 上的最大(小)值？,x0 。試問當 f(x0) 為極大(小) 值時，為什么 f(x0),極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.,駐點和不可導點統(tǒng)稱為臨界點.,函數(shù)的極值必在臨界點取得.,判別法,第一充分條件;,第二充分條件;,(注意使用條件),小結(jié),小結(jié),最值問題的兩種類型：,(1) 求出給定解析式的導數(shù)f (x)；,令f (x)=0，求出駐點；,(2) 求出駐點處的函數(shù)值以及端點處的函數(shù)值；,(3) 比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值， 最小的就是最大值.,1.已知函數(shù)解析式及閉區(qū)間求最值.,2.實際問題求最值.,(1) 根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式 y=f(x)；,(2) 根據(jù)實際問題確定函數(shù)的定義域；,(3) 求出函數(shù)y=f(x)的導數(shù)，令f (x)=0，求出