1、第十五章 壓桿穩(wěn)定問題,基本內(nèi)容：,（1）壓桿穩(wěn)定的基本概念；,（2）壓桿的臨界壓力計算；,（3）壓桿的穩(wěn)定性校核及提高壓桿穩(wěn)定性措施；,15. 1 穩(wěn)定性的基本概念,一、穩(wěn)定性概念,1. 小球所在平衡位置的穩(wěn)定性：,情形(a): 小球所在的平衡位置是穩(wěn)定的；,情形(b): 小球所在平衡位置是不穩(wěn)定的。,2. 彈性細(xì)長受壓直桿的穩(wěn)定性：,鋼尺：一端固定，一端自由。,（1）當(dāng)軸向力 P 較小時，其平衡形態(tài)為直線。,此時給一微小的橫向力，使其產(chǎn)生微小的橫向彎曲變形，然后將其橫向力撤去；,現(xiàn)象：,桿仍可回到原直線形式的平衡狀態(tài)。,（2）當(dāng)軸向力 P 較大（PPcr）時，對直線形式平衡狀態(tài)加一微小的橫

2、向力，使其產(chǎn)生微小的橫向彎曲變形，然后將其橫向力撤去；,現(xiàn)象：,桿不能回到原直線形式的平衡狀態(tài)。,此時稱：原直線形式的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。,此時稱：原直線形式的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。,且，桿由于被壓彎而失去承載能力。,鋼尺：一端固定，一端自由。,3. 穩(wěn)定性概念,桿件原直線形式平衡狀態(tài)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的現(xiàn)象, 稱為失穩(wěn)（喪失穩(wěn)定），其中間狀態(tài)稱臨界狀態(tài),對應(yīng)于臨界狀態(tài) 軸向壓力的臨界值 稱為臨界壓力。,（1） 桿件由于失穩(wěn)而喪失承載能力，一般不是因為桿的強(qiáng)度不夠。,如，A3鋼，橫截面為:15mm2，E=200GPa，桿長為： l =320mm，其臨界壓力為 Pcr=200N，此時,說明：,（2）可

3、見軸向受壓細(xì)桿承載能力，還取決于其穩(wěn)定性如何!,（3） 軸向受壓細(xì)桿穩(wěn)定性與桿件長度和截面尺寸、支承方式有關(guān)。,二、其它結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,薄壁圓筒受外壓（或抽真空）,板條、工字鋼在最大剛度平面內(nèi)的側(cè)向彎曲與扭轉(zhuǎn),薄壁圓筒受軸向壓力,15. 2 臨界壓力的歐拉公式,一、 兩端鉸支細(xì)長壓桿臨界壓力公式,設(shè)兩端為球鉸鏈，EI 、l 已知,取距原點(diǎn)為 x 的任意截面，其上軸力 P 和彎矩M，且恒有,(a),將其代入撓曲線近似微分方程：,(b),引入記號：,(15.2),方程（b）變?yōu)椋?(15.1),上述方程通解為：,(15.3),A、B為積分常數(shù)，可由邊界條件確定。,桿件的邊界條件為：,由于B=0，因而

4、A0，只有,由此可求得：,由此可解得,將其代入式（15.2）,(15.2),(e),使桿件保持微彎曲平衡的壓力，有無窮多值；,當(dāng) n=0 時，P=0，是方程的平凡解，應(yīng)舍去；,當(dāng) n=1 時，P為臨界壓力的最小值Pcr：,(15.6),兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力Pcr的計算公式, 兩端鉸支壓桿的歐拉公式,說明：,(1),Pcr與 EI 成正比；,即：EI 值大，則Pcr 也大，表明該壓不易失穩(wěn)；,(2),Pcr與 桿長 l 成反比；,即：l 大，則Pcr 小，表明該壓易失穩(wěn)；,(3),式中，I = Imin,表明失穩(wěn)總是在抗彎能力最小的縱向平面 內(nèi)；,(4),Pcr與 桿件的支承條件有關(guān)。,例

5、,圖示兩端鉸支矩形截面細(xì)長壓桿，b=40mm，h=30mm，l =1.5m，材料為A3鋼，E=206GP，試按歐拉公式計算其臨界壓力。,解,由于兩端鉸支壓桿，各個方向約束相同，故必在最小剛度平面內(nèi)失穩(wěn)。,由截面形狀可知：,代入歐拉公式，有,1. 兩端鉸支壓桿,失穩(wěn)形態(tài)：半個正弦波,2. 一端固定、一端自由壓桿,失穩(wěn)形態(tài)：1/4個正弦波,3. 兩端固定壓桿,C、D點(diǎn)為反彎點(diǎn) （即：M=0）,二、兩端非鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力公式（可由兩端鉸支桿同樣的方法推導(dǎo)，可參考孫訓(xùn)方編材料力學(xué)）,4. 一端固定、一端鉸支壓桿,C點(diǎn)為反彎點(diǎn)（即：M=0）,二、歐拉臨界壓力公式的普遍形式,為把壓桿折算成兩端鉸支壓

6、桿的長度, 相當(dāng)長度, 長度系（因）數(shù)，與約束性質(zhì)有關(guān)。,兩端鉸支：,一端固定另一端自由：,兩端固定：,一端固定另一端鉸支：,(15.3),例,圖示矩形截面壓桿AB，其長度 l = 2.4m，截面寬度b=40mm，高度 h =60mm，在 x-y 平面內(nèi)彎曲時如圖(a)，兩端可簡化鉸支；在 x-z 平面內(nèi)彎曲時如圖(b)，丙端可視為固定。壓桿的材料為A3鋼，彈性模量 E =206 MPa，試求壓桿的臨界壓力。,解,計算x-y 平面內(nèi)失穩(wěn)時的臨界壓力,計算x-z 平面內(nèi)失穩(wěn)時的臨界壓力,比較兩者，得壓桿的臨界壓力為：,長方形截面細(xì)長壓桿，b/h=1/2；如果將 b改為 h 后仍為細(xì)長桿，臨界力P

7、cr是原來的多少倍？,例,解,圓截面的細(xì)長壓桿，材料、桿長和桿端約束保持不變，若將壓桿的直徑縮小一半，則其臨界壓力為原壓桿的；若將壓桿的橫截面改變?yōu)槊娣e相同的正方形截面，則其臨界力為原壓桿的。,例,解,情形（1）,情形（2）,為原壓桿的,圖示兩桁架中各桿的材料和截面均相同，設(shè)P1和P2分別為這兩個桁架穩(wěn)定的最大載荷，則 (A) P1=P2 (B) P1P2 (D) 不能斷定P1和P2的關(guān)系,例,解,(a),(b),對圖（a），,節(jié)點(diǎn)B：,由平面匯交力系的平衡條件得,節(jié)點(diǎn)A：,（受拉）,（受壓）,節(jié)點(diǎn)D：,（受拉）, 桁架內(nèi)力分析的節(jié)點(diǎn)法,先分析各桿的內(nèi)力,(a),(b),對圖（a）中受壓桿件作

8、穩(wěn)定性分析,桿AD：,（受壓）,對圖（b）,類似于圖（a）的分析，可得：,桿AB、BD受壓,由歐拉公式，得,比較得,15. 3 柔度的概念 三種不同壓桿的判斷,一、歐拉臨界壓力公式的適用范圍,(15.8),將上式兩邊同除以壓桿橫截面面積A，有, 壓桿的臨界應(yīng)力。,考慮到：,i 截面的慣性半徑，上式成為：,引入記號：,(15.10), 稱為壓桿的柔度或細(xì)長比，無量綱量,(15.12), 歐拉公式的另一種表達(dá)形式,1. 臨界應(yīng)力、柔度或細(xì)長比,2. 歐拉公式的適用范圍,推導(dǎo)歐拉公式時，用了撓曲線近似微分方程，材料需服從Hooke定律，即cr P（比例極限）,或：,記：,歐拉公式的適用范圍為：,(1

9、5.15), 壓桿的柔度或細(xì)長比，無量綱。,歐拉公式的適用范圍為：,滿足式上式條件的桿，稱大柔度桿或細(xì)長桿。,對于量p ，僅與材料的性質(zhì)有關(guān)，如，Q235鋼：,二、臨界應(yīng)力的經(jīng)驗公式,1. 直線公式,(15.13),其中：a 、b 為與材料有關(guān)的常數(shù)。,如表15.2 所示。,適用范圍：, 塑性材料, 脆性材料,即,或,記：,或,式（11.13）的適用范圍：,(15.16),滿足上式的壓桿，稱中柔度桿或中粗桿。,若：, 則稱小柔度桿或短粗桿。,此時的臨界應(yīng)力：, 塑性材料, 脆性材料,此時破壞方式實際上為一般強(qiáng)度失效。,2. 拋物線公式,臨界應(yīng)力cr 隨柔度的變化曲線,其適用范圍的討論同直線公式

10、（15.13）。,三、臨界應(yīng)力總圖, 大柔度桿或細(xì)長桿, 中柔度桿或中粗桿, 小柔度桿或短粗桿,大柔度桿,中柔度桿,小柔度桿,其中：a1 、b1 為與材料有關(guān)的常數(shù)。, 臨界應(yīng)力總圖,15. 4 壓桿穩(wěn)定性條件與設(shè)計,1. 壓桿的臨界壓力計算,對大柔度桿：,(15.8),對中柔度桿：,(15.13),2. 壓桿的穩(wěn)定性條件,設(shè)壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)為: nst,則壓桿的許可壓力為:,壓桿的穩(wěn)定性條件可表示為:,式中，P 為壓桿上的實際工作壓力。,或,若記壓桿的臨界壓力P cr 與實際工作壓力 P 之比為壓桿工作安全系數(shù): n,則穩(wěn)定性條件為：,(15.18),說明：,（1）穩(wěn)定安全系數(shù) nst 一

11、般比強(qiáng)度安全系數(shù)ns（或nb）高；,（2）穩(wěn)定性計算的三類問題：,（a）穩(wěn)定性校核；,（b）基于穩(wěn)定性的截面設(shè)計；,（c）基于穩(wěn)定性的承載能力計算。,3. 壓桿的穩(wěn)定性計算,例：,空氣壓縮機(jī)的活塞桿由45#鋼制成，可視為兩端鉸支壓桿。s=350MPa ，P=280MPa ，E =210MPa。長度 l = 703mm，直徑 d = 45mm。最大壓力 Pmax= 41.6kN。規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)nst = 810。試校核其穩(wěn)定性。,解：,（1）確定壓桿為大柔度桿還是中柔度桿？,由查表得45#鋼：,比較得：,該壓桿為中柔度桿,（2）選用適當(dāng)公式計算臨界壓力（應(yīng)力）,活塞桿的工作安全系數(shù)：,（3）計

12、算壓桿的工作安全系數(shù)并與穩(wěn)定安全系數(shù)比較,活塞桿滿足穩(wěn)定性要求。,圖示結(jié)構(gòu)，、兩桿截面和材料相同，為細(xì)長壓桿。確定使載荷 P 為最大值時的角（設(shè)0/2）。,例：,解：,求桿AB、BC的軸力；,B,桿AB、BC的臨界壓力：,要使 P 獲得最大，須使 NBA、NBC 都達(dá)到其臨界壓力：,（1）,（2）,將式（2）除以式（1），有,例：,圖示托架，AB 桿為圓管，外徑 D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端為球鉸，材料為A3鋼，E=206MPa，1=100，若規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3，試確定托架的許可載荷P。,解：,分析桿AB 的受力,桿AB 的慣性半徑：,桿AB 的長度：,桿AB 的柔度：,桿AB

13、 為大柔度桿。,桿AB 的穩(wěn)定性條件：,本章小結(jié),一、基本概念,失穩(wěn)（屈曲）：,軸向受壓桿件，其原有（直線）平衡形式由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的現(xiàn)象。, 具有受壓桿件結(jié)構(gòu)的一種破壞方式,臨界壓力Pcr（應(yīng)力cr ）：,使桿件原有（直線）平衡形式為穩(wěn)定的最大軸向壓力（應(yīng)力）；,或：使受壓桿件維持微小彎曲平衡的最小軸向壓力（應(yīng)力）。,柔度（長細(xì)比）：,相當(dāng)長度系數(shù)：, 與壓桿兩端的約束性質(zhì)有關(guān)。,兩端鉸支：,一端固定另一端自由：,兩端固定：,一端固定另一端鉸支：,二、臨界壓力（應(yīng)力）的計算,歐拉公式,適用范圍：,其中：, 大柔度桿或細(xì)長桿,直線公式：,適用范圍：,其中：, 中柔度桿或中粗桿,適用范圍：, 小柔度桿或短粗桿, 歐拉臨界應(yīng)力總圖,三、穩(wěn)定性計算,穩(wěn)定性條件：,或,其中