1、第二章 初等模型,2.1 光盤的數(shù)據(jù)容量 2.2 雙層玻璃窗的功效 2.3 劃艇比賽的成績 2.4 實(shí)物交換 2.5 污水均流池的設(shè)計(jì) 2.6 交通流與道路通行能力 2.7 核軍備競賽 2.8 揚(yáng)帆遠(yuǎn)航 2.9 天氣預(yù)報(bào)的評價(jià),研究對象的機(jī)理比較簡單,用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的,可以利用初等數(shù)學(xué)方法來構(gòu)造和求解模型,盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具來建模,如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受歡迎.,初 等 模 型,2.1 光盤的數(shù)據(jù)容量,背景和問題,20世紀(jì)80年代出現(xiàn)激光唱片(CD)與激光視盤(LD), 統(tǒng)稱光盤，用于儲存數(shù)字聲頻、視頻信號和計(jì)算

2、機(jī)數(shù)據(jù)等.,20世紀(jì)90年代出現(xiàn)數(shù)字視頻光盤(DVD).,21世紀(jì)初光盤集計(jì)算機(jī)、光學(xué)記錄和影視技術(shù)為一體, 帶動了出版、廣播、通信、互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)的發(fā)展.,CD的數(shù)據(jù)容量: 單層650MB(兆字節(jié)) DVD的數(shù)據(jù)容量: 單層4.7GB(千兆字節(jié)),從數(shù)學(xué)建模的角度研究 : 光盤的數(shù)據(jù)容量是怎么確定的，在一定條件下怎樣使其最大化.,調(diào)查和分析,經(jīng)過編碼的數(shù)字信息，以一定深度和寬度、不同長度的凹坑的形式，用燒蝕技術(shù)存儲在光盤表面呈螺旋線形狀的信道上.,當(dāng)盤片上環(huán)形區(qū)域面積一定時(shí)，數(shù)據(jù)容量的大小取決于信道的總長度與信道上存儲數(shù)據(jù)的線密度.,決定信道長度和線密度大小的主要因素是所用激光的波長，和驅(qū)動光

3、盤的機(jī)械形式.,調(diào)查和分析,當(dāng)光盤運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)激光束要能識別出信道上的凹坑所攜帶的信息，必須銳利地聚焦.,數(shù)據(jù)容量,激光波長 驅(qū)動形式,信道長度 線密度,激光波長,光的衍射使激光束在光盤上形成圓狀的光斑.,為了提高存儲數(shù)據(jù)的線密度，應(yīng)該使光斑盡量小，而光斑的大小與激光波長成正比.,調(diào)查和分析,恒定角速度(CAV),驅(qū)動光盤的機(jī)械形式,每一圈螺旋線上存儲同等數(shù)量的數(shù)據(jù)信息,容量取決于最內(nèi)圈的長度、線密度以及總?cè)?shù),各圈螺旋線上數(shù)據(jù)的線密度不變,容量取決于固定的線密度和螺旋線總長度,恒定線速度(CLV ),從光盤的容量比較，CLV優(yōu)于CAV.,數(shù)據(jù)讀取時(shí)間: CLV每圈轉(zhuǎn)速不同，當(dāng)讀出磁頭在內(nèi)外圈移動時(shí)

4、，需要等待光盤加速或減速，而CAV不需要.,對音樂、影像、計(jì)算機(jī)文件等按順序播放的信息，多用CLV; 對詞典、數(shù)據(jù)庫、人機(jī)交互等常要隨機(jī)查找的信息，多用CAV.,模型建立,CLV(恒定線速度)光盤,R1光盤環(huán)形區(qū)域內(nèi)圓半徑, R2 外圓半徑, d 信道間距,LCLV 信道總長度,環(huán)形區(qū)域面積/信道間距,同心圓平均周長*總?cè)?shù),數(shù)據(jù)容量,線密度,(n總?cè)?shù)),其他方法建模,模型建立,CAV(恒定角速度)光盤,螺旋線最內(nèi)圈的長度近似為2R1, 總?cè)?shù)可視為,數(shù)據(jù)容量,LCLV 信道總長度,線密度,當(dāng)線密度、信道間距d和外徑R2給定后， 可選擇環(huán)形區(qū)域的內(nèi)圓半徑R1，使數(shù)據(jù)容量最大 .,模型求解,C

5、LV(恒定線速度)光盤,R2=58 mm , R1=22.5 mm,CD信道長度在5km以上，容量約680 MB; DVD容量在GB量級.,影像時(shí)間按照每秒鐘占用0.62 MB計(jì)算 .,模型求解,CAV(恒定角速度)光盤,即使在內(nèi)圓半徑的最佳選擇下，CAV光盤的信息容量也小于CLV光盤 .,問題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.,假設(shè),熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流.,T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài).,材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).,建模,熱傳導(dǎo)定律,Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量,T溫差, d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù),2.2 雙層玻璃窗的功效,單層,Ta,Tb,記雙層

6、玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1,Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,建模,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2,雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比,k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.510-4, k1/k2=16 32,對Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，,取k1/k2 =16,建模,模型應(yīng)用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失.,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2極低, 而這要求空氣非常干燥、不流通.,房間通過天花板、墻壁、損失的熱量更多.,實(shí)際上雙層窗的功效不會如此之大!,2.3

7、 劃艇比賽的成績,對四種賽艇 (單人、雙人、四人、八人) 4次國際大賽冠軍的成績進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系. 試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.,問題,準(zhǔn)備,調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量,問題分析,前進(jìn)阻力 浸沒部分與水的摩擦力,前進(jìn)動力 槳手的劃槳功率,分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系,賽艇速度由前進(jìn)動力和前進(jìn)阻力決定:,對槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定.,運(yùn)用合適的物理定律建立模型.,模型假設(shè),1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)), w0與n成正比,2）v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比,符號：艇速 v, 浸沒面積 s, 浸沒體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 槳手?jǐn)?shù) n, 槳手功率 p

8、, 槳手體重 w, 艇重 W.,艇的靜態(tài)特性,艇的動態(tài)特性,3）w相同，p不變，p與w成正比,槳手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,模型檢驗(yàn),利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn).,與模型吻合！,劃艇比賽的成績,對實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問題.,利用物理基本知識分析問題.,模型假設(shè)比較粗糙.,利用合適的物理定律及簡單的比例方法建模(只考慮各種艇的相對速度).,模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合 (巧合！),問題,甲有物品X, 乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案.,用

9、x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0, 乙占有Y的數(shù)量為y0, 作圖：,若不考慮雙方對X,Y的偏愛，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y),都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y).,2.4 實(shí)物交換,甲的無差別曲線,分析與建模,如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度,即p1, p2對甲是無差別的.,將所有與p1, p2無差別的點(diǎn)連接起來, 得到一條無差別曲線MN.,線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對X,Y的偏愛程度.,比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無差別曲線M1N1上, 于是形成一族無差別曲線（無數(shù)條

10、）.,無差別曲線族的性質(zhì)：,單調(diào)減(x增加, y減小),下凸(凸向原點(diǎn)),互不相交,在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的 y換取較少的 x;,在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的 x換取較少的 y.,甲的無差別曲線族記作,f(x,y)=c1,c1滿意度,（f 等滿意度曲線）,甲的無差別曲線,乙的無差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）.,雙方的交換路徑,乙的無差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)系xOy, 且反向）,甲的無差別曲線族 f=c1,雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上!,因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p, (雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p.,兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB,分析與建模

11、,交換方案的進(jìn)一步確定,交換方案 交換后甲的占有量 (x,y),0 xx0, 0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn),交換路徑AB,等價(jià)交換原則,X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為,(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線CD.,AB與CD的交點(diǎn)p,設(shè)X單價(jià)a, Y單價(jià)b, 則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0),2.5 污水均流池的設(shè)計(jì),城市生活污水的流量是時(shí)刻變化的, 在凈化處理前需要先進(jìn)入一個(gè)集中、儲存的大池子，再通過水泵和輸水管以恒定的流量流向凈化設(shè)備.,背景和問題,集中、儲存、均衡調(diào)節(jié)流量的池子稱為均流池.,根據(jù)污水的流量設(shè)計(jì)均流池的容積及水泵和

12、輸水管的規(guī)格；在一定條件下按照施工成本最小的原則確定均流池的具體尺寸.,調(diào)查和分析,除了節(jié)假日等特殊情況以外，生活污水進(jìn)入均流池的流量是以天為周期變化的.,典型調(diào)查得到以小時(shí)為單位間隔、一天的污水流量(m3/s),污水一天進(jìn)入均流池的平均流量（忽略蒸發(fā)等損失） =從均流池用水泵打入凈化設(shè)備的恒定流量,由以小時(shí)為單位間隔的污水流入量和從均流池到凈化設(shè)備的恒定流出量，可得均流池中污水隨時(shí)間變化的容量.,調(diào)查和分析,均流池的容積應(yīng)該按照污水的最大容量，并考慮留有一定裕量來設(shè)計(jì).,均流池的面積可以由它的容積和深度得到.,均流池的施工成本：底部單位面積的成本，四條邊上單位長度的施工成本.,均流池的形狀一

13、般為矩形，其深度通常按照工程需要（底部需安裝設(shè)備、進(jìn)行清理等）確定.,模型假設(shè)與建立,以調(diào)查得到的一天的污水流量為依據(jù)，并留有25%的裕量進(jìn)行均流池的設(shè)計(jì).,均流池的深度為3m，施工成本：底部面積 340元/m2，兩條長邊及一條短邊250元/m，另一條短邊450元/m.,模型1 均流池的恒定流出量和最大容量模型,流量單位換算成m3/h,記為f(t),平均流入量=恒定流出量,=203.67m3/h,設(shè)計(jì)流量255 m3/h (25%的裕量),f(t),模型1,均流池中污水的容量為c(t) (m3),設(shè)c(0)=0,c(9)最小,c(23)最大,模型1,f(t),c(t),最大容量為892.98m

14、,設(shè)計(jì)容量1116 m3 (25%的裕量),模型2 均流池的具體尺寸模型,設(shè)計(jì)容量1116 m3, 深度3m,施工成本：底部面積 340元/m2, 兩長邊及一短邊250元/m,另一短邊450元/m. l長邊長度， w短邊長度,底部面積 l w=372, w =372/ l,建造一個(gè)23 m16.5m的均流池，成本約15萬元.,2.6 交通流與道路通行能力,現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長長的汽車隊(duì)伍等待放行.,背景和問題,通過信號燈控制等管理手段提高道路通行能力，已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一.,介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系; 討論

15、一般道路及信號燈控制的十字路口的通行能力.,交通流的基本參數(shù)及其特性,流量q某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過道路某斷面的車輛數(shù)(輛/h ),密度k某時(shí)刻通過道路某斷面單位長度內(nèi)的車輛數(shù)(輛/km ),速度v 某時(shí)刻通過道路某斷面的車輛速度(km/h),交通流 標(biāo)準(zhǔn)長度的小型汽車在單方向道路上行駛形成的車流，沒有外界因素如岔路、信號燈等的影響.,借用物理學(xué)概念, 將交通流看作一輛輛汽車組成的連續(xù)流體, 用流量、速度、密度3個(gè)參數(shù)描述其基本特性.,3個(gè)參數(shù)之間的基本關(guān)系,交通流的基本參數(shù)及其特性,速度v 與密度k 的關(guān)系,線性模型,vf 暢行車速(k=0時(shí)),kj阻塞密度(v=0時(shí)),適合車流密度適中的情況,

16、對數(shù)模型,車流密度較大時(shí)適用,指數(shù)模型,車流密度較小時(shí)適用,v1 k=kj/e時(shí)的車速(理論上), 由觀測數(shù)據(jù)確定.,交通流的基本參數(shù)及其特性,km=kj/2 最大流量時(shí)的密度,vm=vf/2 最大流量時(shí)的速度,城市干道的通行能力,道路通行能力單位時(shí)間內(nèi)通過某斷面的最大車輛數(shù).,交通流量遠(yuǎn)小于通行能力時(shí)，車速高，呈自由流狀態(tài),交通流量接近通行能力時(shí)，車速低，呈強(qiáng)制流狀態(tài)，出現(xiàn)交通擁堵.,飽和度流量與通行能力的比值, 表示道路的負(fù)荷程度.,城市干道的通行能力在理想的道路和交通條件下，當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長度和技術(shù)指標(biāo)的車輛，以前后兩車最小車頭間隔連續(xù)行駛時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過道路某斷面的最大車輛數(shù)N (輛/h

17、).,城市干道的通行能力,v車速 (km/h)， d最小車頭間隔(m),d 主要由剎車距離決定，剎車距離與車速密切相關(guān).,d1剎車時(shí)司機(jī)在反應(yīng)時(shí)間t0 內(nèi)汽車行駛的距離.,d2剎車時(shí)從制動器起作用到汽車停止行駛的距離.,c與路面阻力、車重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù).,d3兩車之間的安全距離，d4車輛的標(biāo)準(zhǔn)長度.,單位時(shí)間內(nèi)通過的最大車輛數(shù)N,城市干道的通行能力,交通工程的專業(yè)教材: 司機(jī)剎車的反應(yīng)時(shí)間t0 =1s，系數(shù)c=0.01,安全距離 d3=2m，小型車輛的標(biāo)準(zhǔn)長度d4=5m.,當(dāng)t0，c，d3，d4變大時(shí)最大通行能力Nm減小.,最大通行能力,最大制動力與車的質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動

18、.,制動距離與車速的模型,制動距離：制動器作用力、車重、車速、道路、氣候,設(shè)計(jì)制動器的合理原則：,剎車時(shí)使用最大制動力F，F(xiàn)作的功等于汽車動能的改變，且F與車的質(zhì)量m成正比.,F d2= m v2/2,F m,模型假設(shè),信號燈控制的十字路口的通行能力,相位A,相位B,相位C,相位D,信號燈控制采用4相位方案,典型的十字路口,東西方向有3條車道：左轉(zhuǎn)、直行、直右混行,南北方向有2條車道：左轉(zhuǎn)、直右混行,某一相位下每小時(shí)通過停止線的最大車輛數(shù)(單行道) S (輛/h),信號燈控制的十字路口的通行能力,假設(shè)紅燈時(shí)車輛在停止線后排成一列等待，綠燈后第1輛車立即啟動通過停止線，其余車輛按照固定時(shí)間間隔通

19、過停止線.,T(s)信號燈周期， tg(s)某相位的綠燈時(shí)間 t0(s)綠燈后第1輛車通過停止線的時(shí)間 ts(s)直行或右轉(zhuǎn)車輛通過停止線的時(shí)間 反映車輛通過路口不均勻性的折減系數(shù).,信號燈控制的十字路口的通行能力,t0=2.3s，ts=2.5s(小型車輛)3.5s(大型車輛)， 對直行或右轉(zhuǎn)=0.9(左轉(zhuǎn)更小),G=tg/T綠燈時(shí)間與信號燈周期之比(綠信比),Q= 3600/ts小時(shí)流量(按每ts(s) 通過一輛車計(jì)算),每小時(shí)通過停止線的最大車輛數(shù),實(shí)地調(diào)查高峰時(shí)段 4個(gè)相位通行的實(shí)際流量qA, qB, qC, qD,調(diào)整4個(gè)相位的綠信比, 使GA:GB:GC:GD qA:qB:qC:qD

20、,2.7 核軍備競賽,冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全, 實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”, 核軍備競賽不斷升級.,隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束, 雙方通過了一系列核裁軍協(xié)議.,在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴(kuò)張, 而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài).,當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí), 平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化.,估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響.,背景與問題,以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.,假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：,認(rèn)為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；,己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，

21、給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.,在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地.,摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定.,模型假設(shè),圖的模型,y=f(x)甲有x枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線),x=g(y)乙有y枚導(dǎo)彈,甲所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(甲安全線),當(dāng) x=0時(shí) y=y0，y0乙方的威懾值,y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).,P(xm,ym),乙安全區(qū),甲安全區(qū),雙方 安全區(qū),P平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)),乙安全線,分析模型,乙方殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀

22、的概率.,sx個(gè)基地未被摧毀，yx個(gè)基地未被攻擊.,xy,甲方以 x枚導(dǎo)彈攻擊乙方 y個(gè)基地中的 x個(gè),y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy個(gè)基地被攻擊2次, s2(xy)個(gè)未被摧毀; y (xy)=2y x個(gè)被攻擊1次, s(2y x )個(gè)未被摧毀.,y0= s2(xy)+ s(2y x ),x=2y,y0=s2y,yx2y,x=a y,分析模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0威懾值,s殘存率,利用微積分知識可知 y是一條上凸的曲線，且,y0變大，曲線上移、變陡.,s變大，y減小，曲線變平.,xy, y= y0+(1-s)x,yx2y,甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏

23、散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).,乙方威懾值 y0變大,甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級.,（其他因素不變）,乙安全線 y=f(x)上移,模型解釋,平衡點(diǎn)PP,甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動發(fā)射架.,乙安全線y=f(x)不變,甲方殘存率變大,威懾值x 0不變,x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近,模型解釋,甲方這種單獨(dú)行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少.,PP,雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).,(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量),雙方威懾值x 0, y0和殘存率s均減小.,y0減小 y下移且變平,s變小 y增加且變陡,雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析.,模型解釋,乙安全

24、線 y=f(x),核 軍 備 競 賽,對“核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡化假設(shè)，用圖的模型描述雙方核武器相互制約、達(dá)到平衡的過程.,提出安全曲線概念，給出它的一般形式.,通過更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值和殘存率，給出安全線的分析表達(dá)式.,利用模型對核軍備競賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.,帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.,簡化問題,海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向，,2.8 揚(yáng)帆遠(yuǎn)航,模型分析,風(fēng)(通過帆)對船的推力w,風(fēng)對船體部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假設(shè),w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2

25、成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2 .,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,模型假設(shè),w2與帆面平行，可忽略.,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消.,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正東方向速度分量v1=vcos,航向速度v與力f=f1-p1成正比.,v=k1(f1-p1),2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 當(dāng)固定時(shí)求使f1最大,f1=wcos(-2)-cos/2,= k1(f1-p1)cos,f1=w1si

26、n=wsin sin(-),p1=pcos,求, ,使 v1最大,模型建立,v1=vcos,模型求解,60 75,1 t 2,備注,只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型. 航行過程中終點(diǎn)B將不在正東方，應(yīng)調(diào)整和 .,記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2,=( k1w/2)1-(1+2p/w)coscos ,w=ks1, p=ks2,1/4cos 1/2,模型求解,v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos ,s1 s2,2.8 天氣預(yù)報(bào)的評價(jià),明天是否下雨的天氣預(yù)報(bào)以有雨概率形式給出.,問題,已得到某地一個(gè)月4種預(yù)報(bào)方法的有雨概率預(yù)報(bào)，和實(shí)際上有雨或無雨的觀測結(jié)果.,怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)

27、對4種預(yù)報(bào)方法給以評價(jià),計(jì)數(shù)模型,根據(jù)明天是否有雨的實(shí)測，統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)的正確率,有雨概率=50% 毫無意義, 不予統(tǒng)計(jì),正確率 0.57,正確率 0.71,正確率 0.81,正確率 0.93,計(jì)數(shù)模型,從實(shí)用角度看，更重要的是誤報(bào)率.,預(yù)報(bào)無雨而實(shí)測有雨的概率P2,預(yù)報(bào)有雨而實(shí)測無雨的概率P1,設(shè)兩種后果的損失之比為1 : 2,P1=10/16,P2=3/14,誤報(bào)率P=P1/3+2P2/3=0.35,誤報(bào)率P=0.20,誤報(bào)率P=0.06,缺點(diǎn): 未考慮預(yù)報(bào)概率的具體值,記分模型,將預(yù)報(bào)有雨概率與實(shí)測結(jié)果比較并記分,模型1,pk第k天預(yù)報(bào)有雨概率,vk=1第k天有雨， vk=0無雨,第k天的預(yù)報(bào)

28、得分,對k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S1,S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7,實(shí)測有雨,S1越大越好,記分模型,模型2,pk第k天預(yù)報(bào)有雨概率,vk=1第k天有雨， vk=0無雨,第k天的預(yù)報(bào)得分,對k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S2,S2越小越好,S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8,模型3,第k天的預(yù)報(bào)得分,對k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S3,S3越小越好,S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21,記

29、分模型,S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8,S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21,S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7,模型1, 2對4種預(yù)報(bào)的優(yōu)劣排序、相對分差都相同,f理論上的有雨概率,模型3的期望分?jǐn)?shù),p預(yù)報(bào)有雨概率,v=1有雨， v=0無雨,P(v=1)= f, P(v=0)= 1- f,比較模型3與模型2的優(yōu)劣,p=f 時(shí)E(S)最小,考察一般模型,求E(S)的極值,此意義下模型3最佳！,圖形模型,*號幾乎隨機(jī)分布, 預(yù)報(bào)效果很差,模型1,*號的p沒有變化, 毫無用途,v=0*號在p=0.6左邊,無雨預(yù)報(bào)較好; v=1 *號分散 ,有雨預(yù)報(bào)較差,v=0 *號在p=0.5左邊,v=1 *號在p=0.4右邊,無雨、有雨預(yù)報(bào)都好,*上( )中數(shù)字是坐標(biāo)在*的天數(shù),圖形模型