1、2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì),07.01.05,前面我們已學(xué)過(guò)橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì),它們都是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方程的形式研究的,現(xiàn)在請(qǐng)大家想想拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點(diǎn)及準(zhǔn)線是什么?,一、復(fù)習(xí)回顧：,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,練習(xí)：填空（頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）,開(kāi)口向右,開(kāi)口向左,開(kāi)口向上,開(kāi)口向下,一、拋物線的幾何性質(zhì),拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，y也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。,1、范圍,由拋物線y2 =2px（p0）,所以拋物線的范圍為,2、對(duì)稱性,定義：拋物線和它的軸的交點(diǎn)

2、稱為拋物線 的頂點(diǎn)。,由y2 = 2px （p0）當(dāng)y=0時(shí),x=0, 因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。,注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。,、頂點(diǎn),4、離心率,拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離 之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義，可知e=1。,下面請(qǐng)大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。,5、開(kāi)口方向,拋物線y2 =2px（p0）的開(kāi)口方向向右。,+X，x軸正半軸，向右,-X，x軸負(fù)半軸，向左,+y，y軸正半軸，向上,-y，y軸負(fù)半軸，向下,特點(diǎn)：,1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)限延伸,但它沒(méi)有漸近線;,2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有 對(duì)稱

3、中心;,3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、 一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;,4.拋物線的離心率是確定的,為1;,思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.,（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì),y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x軸,y軸,1,例：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，并用描點(diǎn)法畫出圖形。,所以設(shè)方程為：,因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：,（三）、例題講解：,作圖：,(1)列表（在第一象限內(nèi)列表）,(2)描點(diǎn)：,(3)連線：

4、,變式題：求并頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（，），拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。,（三）、例題講解：,（三）、例題講解：,練習(xí)：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4,)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,（三）、例題講解：,練習(xí)2：頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是X軸，點(diǎn)M（-5, )到焦點(diǎn)距離為6,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,變式題2：已拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在X軸的正半軸上,若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到A(2, 1/3),F兩點(diǎn)的距離之和最小值為4,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。,（三）、例題講解：,課本例4P61：斜率為1的直線l 經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn),且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)。,（三

5、）、例題講解：,課本例題推廣： 直線l 經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn),且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)|AB|=x1+x2+P.,練習(xí)3：已知過(guò)拋物線y2=9x的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12,則弦所在直線的傾斜角是,（三）、例題講解：,練習(xí)4：若直線l 經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn), 與拋物線相交于A，B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求線段AB的長(zhǎng).,（三）、例題講解：,課本例5P62：已知拋物線的方程為y2=4x,直線l 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-2,1),斜率為k.當(dāng)k為何值時(shí),直線與拋物線:只有一個(gè)公共點(diǎn);有兩個(gè)公共點(diǎn):沒(méi)有公共點(diǎn).,（三）、例題講解：,變式題3：已知直線y=(a+1)x與曲線y2=

6、ax恰有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.,（三）、例題講解：,練習(xí)5：已知直線y=kx+2與拋物線y2=8x恰有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的值為,（三）、例題講解：,例4：已知過(guò)點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直線方程.,（三）、例題講解：,練習(xí)6：求以Q(1,-1)為中點(diǎn)的拋物線y2=8x的弦AB所在的直線方程.,（三）、例題講解：,變式題4：求過(guò)點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程.,（三）、例題講解：,例5：求拋物線y2=64x上的點(diǎn)到直線4x+3y+46=0的距離的最小值,并求取得最小值時(shí)的拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo).,（三）、例題講解：,練習(xí)7：

7、拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是,（三）、例題講解：,練習(xí)8： 拋物線y2=x和圓(x-3)2+y2=1上最近的兩點(diǎn)之間的距離是( ),（三）、例題講解：,例6：已知拋物線y=2x2上兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)關(guān)于直線y=x+m對(duì)稱,若x1x2=-1/2,則m的值為( ),（三）、例題講解：,變式題6：已知直線y=x+b與拋物線x2=2y交于A,B兩點(diǎn),且OAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求b的值.,（三）、例題講解：,例7(習(xí)題2.3B組2P64)：正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2=2px(p0)上,求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng).,分析: 觀察圖,

8、正三角形及拋物線都是軸對(duì)稱圖形,如果能證明x軸是它們的公共的對(duì)稱軸,則容易求出三角形的邊長(zhǎng).,（三）、例題講解：,變式題7(復(fù)習(xí)參考題A組7P68)：正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y2=2px(p0)焦點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上,求這個(gè)三角形的邊長(zhǎng).,分析: 觀察圖,正三角形及拋物線都是軸 對(duì)稱圖形,如果能證明x軸是它們的 公共的對(duì)稱軸,則容易求出三角形的邊長(zhǎng).,課堂練習(xí)：,求適合下列條件的拋物線的方程：,（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F為（0，5）; （2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱,并且 經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(5,-4).,例2、探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口圓的直徑為60

9、cm,燈深40cm，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點(diǎn)的位置。,F,y,x,O,解：如圖所示，在探照燈的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，x軸垂直于燈口直徑。,A,B,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是： 由已知條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)是（40，30），代入方程可得,所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為 焦點(diǎn)坐標(biāo)為,補(bǔ)充（1）通徑：,通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線， 與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這 兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。,|PF|=x0+p/2,F,P,通徑的長(zhǎng)度：2P,P越大,開(kāi)口越開(kāi)闊,（2）焦半徑：,連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。,焦半徑公式：,（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）,利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。,1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱 軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-