1、第九節(jié) 常微分方程的數(shù)值解法,一階常微分方程的初值問(wèn)題： 節(jié)點(diǎn)：x1x2 xn 步長(zhǎng) 為常數(shù),一 歐拉方法（折線(xiàn)法） yi+1=yi+hf(xi,yi)(i=0,1, , n 1) 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單。 缺點(diǎn)：精度不高。 二 改進(jìn)的歐拉方法,三 龍格庫(kù)塔法(Runge-Kutta) 歐拉公式可改寫(xiě)為 （它每一步計(jì)算f(xi,yi) 一次，截?cái)嗾`差為O(h2),改進(jìn)的歐拉公式可改寫(xiě)為 （它每一步計(jì)算f(x,y)兩次，截?cái)嗾`差為O(h3),標(biāo)準(zhǔn)四階龍格庫(kù)塔公式 （每一步計(jì)算f(x,y)四次，截?cái)嗾`差為O(h5),例 分別用改進(jìn)的歐拉格式和四階龍格庫(kù)塔格式解初值問(wèn)題（取步長(zhǎng)h=0.2）：,表74 節(jié)點(diǎn)

2、改進(jìn)歐拉法 四階龍格庫(kù)塔法 準(zhǔn)確解 0 1 1 1 0.2 1.186667 1.183229 1.183216 0.4 1.348312 1.341667 1.341641 0.6 1.493704 1.483281 1.483240 0.8 1.627861 1.612514 1.612452 1 1.754205 1.732142 1.732051 （注：書(shū)中P60已指出過(guò)準(zhǔn)確解 ）,四 誤差的控制 我們常用事后估計(jì)法來(lái)估計(jì)誤差，即從xi出發(fā)，用兩種辦法計(jì)算y(xi+1)的近似值。 記 為從xi出發(fā)以h為步長(zhǎng)得到的y(xi+1)的 近似值，記 為從xi出發(fā)以 h/2 為步長(zhǎng)跨 兩步得到的

3、y(xi+1)的近似值。設(shè)給定精度為 。如果不等式 成立，則 即為y(xi+1)的滿(mǎn)足精度要求的近似值。,為了使初值問(wèn)題的數(shù)值解達(dá)到事先指定的精度要求，我們采用不斷縮短步長(zhǎng)的辦法（類(lèi)似于變步長(zhǎng)梯形法則所做的那樣）。 從xi出發(fā)求y(xi+1)的滿(mǎn)足精度要求的近似值的具體步驟如下： 第一步 由xi出發(fā)，以xi+1為目標(biāo)， 計(jì)算 及 第二步 如果 ， 即為 y(xi+1)的滿(mǎn)足精度要求的近似值，否則，繼續(xù)下一步,第三步 如果 ，則將步長(zhǎng)h折半， 從xi出發(fā)以區(qū)間xi,xi+1的中點(diǎn)（記為 ） 為目標(biāo)，判別 如果 ，則得 的滿(mǎn)足精度要求 的近似值 ，然后從 出發(fā)，以 xi+1為 目標(biāo)，重復(fù)上述步驟，

4、否則繼續(xù)下一步,第四步 如果 ，則將步長(zhǎng)再 折半，從xi出發(fā)以區(qū)間 的中點(diǎn) （記為 ）為目標(biāo)，判別 如果 ，則得 的滿(mǎn)足精度 要求的近似值 ，然后從 出發(fā)， 以xi+1為目標(biāo)，重復(fù)上述步驟，否則繼續(xù) 下一步,第N+2步 必有 ，從而得 的滿(mǎn)足精度要求的近似值 ， 然后從 出發(fā)，以xi+1為目標(biāo)，重復(fù)上 述步驟， ，最后得到y(tǒng)(xi+1)的滿(mǎn)足精度 要求的近似值yi+1,卷積,在求拉氏逆變換的過(guò)程中，卷積往往有著重要的應(yīng)用價(jià)值。 定義 稱(chēng) 為函數(shù)f1(t)與f2(t)的卷積。 注意：當(dāng)t0時(shí)，f1(t)=f2(t) 0,交換律 f1*f2=f2*f1 例1 求t*sint 分配律 f1*(f2+f3)=f1*f2+f1*f3,例2 求 函數(shù)是卷積的“單位元”。,卷積定理 Lf1(t)*f2(t)=Lf1(t)Lf2(t)=F1(p)F2(p) (或 F1(p)F2(p)=f1(t)*f2(t) ) 即：卷積的拉氏變